淺談三根火柴桿懸掛重物的平衡原理1)

余為梁希

(燕山大學(xué)工程力學(xué)系，河北秦皇島066004)

在央視《是真的嗎》電視節(jié)目中曾經(jīng)演示了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：用三根火柴桿和棉線(xiàn)，組成如圖1所示的構(gòu)架形式，可以?huà)鞌?shù)瓶礦泉水而不垮塌?；鸩馩B水平放置在桌面邊緣，一部分在桌面外，與桌面邊緣接觸處為O點(diǎn)；火柴DE水平地將兩棉線(xiàn)撐開(kāi)；火柴BC一端撐住火柴OB的端點(diǎn)，另一端垂直作用在火柴DE的中點(diǎn)C處。節(jié)目最后定性地簡(jiǎn)單解釋了一下原理，并舉例說(shuō)明了一些桿件結(jié)構(gòu)的相關(guān)應(yīng)用。田雁等[1]解釋了與之類(lèi)似的一道全國(guó)物理競(jìng)賽題，但并未得出具體的計(jì)算公式。本文基于理論力學(xué)和材料力學(xué)的基本知識(shí)，從定量計(jì)算的角度解釋其原理。

圖1 三根火柴掛礦泉水

現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)谝黄康V泉水掛上后，火柴OB尾部即發(fā)生了如圖2(a)所示的翹起，然后繼續(xù)增加懸掛礦泉水的瓶數(shù)，雖然系統(tǒng)仍然保持平衡，但桌面那根火柴的翹起角度逐漸增加，見(jiàn)圖2(b)。當(dāng)懸掛到第9瓶礦泉水時(shí)，系統(tǒng)整體不再平衡而發(fā)生了垮塌現(xiàn)象(火柴并未斷裂)。三根火柴系統(tǒng)能懸掛數(shù)瓶礦泉水的原理是什么呢？火柴OB尾部為何出現(xiàn)不同程度的翹起現(xiàn)象呢？

圖2 三根火柴懸掛礦泉水圖(欄目中截圖)

1 理論分析

初始時(shí)，為了能將三根火柴安裝成圖1所示的結(jié)構(gòu)，需要用重物將火柴OB末端壓住，如圖3所示，待掛上一瓶水，并安裝好三根火柴后，再將重物移走。顯然此結(jié)構(gòu)不能保持平衡，而是整體繞火柴與桌面邊緣的接觸點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，使得礦泉水重力的作用點(diǎn)位于桌面邊緣O點(diǎn)的正下方，如圖4所示。這就是掛上一瓶礦泉水后OB尾部立即翹起的原因。

圖3 整體圖(側(cè)視圖)

設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為α0，由圖4整體受力圖可得O點(diǎn)處的摩擦力與支撐力的合力最終與系統(tǒng)重力G平衡，此時(shí)忽略棉線(xiàn)和火柴桿的重量，則有

圖4 初始整體受力圖(側(cè)視圖)

可見(jiàn)，只要火柴傾角α0小于火柴與桌面的摩擦角，該系統(tǒng)即屬于自鎖狀態(tài)，即可保持平衡。其中A點(diǎn)為棉線(xiàn)的作用點(diǎn)，與O點(diǎn)位置很接近，設(shè)OA=d，AB=l，AC=h，此時(shí)∠CAB≈90°。則有

隨著礦泉水瓶數(shù)增加，火柴OB尾部翹起角度逐漸增加，但只要該角度小于摩擦角，系統(tǒng)均可保持平衡。本文認(rèn)為增加重物重量，火柴尾部翹起角度增加的原因是火柴OB和DE發(fā)生了彎曲變形。設(shè)某時(shí)刻火柴OB尾部翹起角度為α，受力圖及其他各處角度如圖5所示。F A為兩根棉線(xiàn)的合力，火柴BC可視為二力桿。本文中不考慮桌面的厚度，因此桌面下邊緣對(duì)棉線(xiàn)無(wú)接觸作用力。

火柴OB發(fā)生彎曲變形使得尾部進(jìn)一步翹起，但不會(huì)引起C處的角度變化。所以由圖5(b)可得

圖5 火柴系統(tǒng)整體及部分受力圖

分析圖5(c)求火柴OB的彎曲變形。為簡(jiǎn)化計(jì)算，此時(shí)可將其看成如圖6所示的外伸梁，此時(shí)火柴已因發(fā)生了初始的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而傾斜，為方便觀測(cè)將其畫(huà)成水平放置形式。

圖6 火柴OB外伸梁

忽略軸向力對(duì)梁變形的影響，設(shè)火柴的抗彎剛度為EI，則可得到O界面受彎曲的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值，即火柴OB尾端因彎曲引起的翹起轉(zhuǎn)角為[2]

將式(5)代入可得

由于d遠(yuǎn)小于l，則式(7)可簡(jiǎn)化為

另外，由圖1可見(jiàn)，火柴DE中點(diǎn)的撓度f(wàn) C可以由簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)受集中力作用計(jì)算，設(shè)火柴的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則有

由于DE彎曲使得C向斜下方有位移，導(dǎo)致了火柴系統(tǒng)整體繞O點(diǎn)再次發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，但D和E兩點(diǎn)由于整體受力可知不發(fā)生位移。設(shè)該轉(zhuǎn)角為φ，忽略BC桿的壓縮變形，則

火柴OB尾部總的翹起角度α為

由式(11)可知，隨著懸掛重物增加，火柴OB的彎曲轉(zhuǎn)角θO和轉(zhuǎn)角φ均會(huì)逐漸增大，則火柴的整體翹起角度α隨之增加，當(dāng)α達(dá)到摩擦角時(shí)，所懸掛重量達(dá)到極限值，再增加重量，則系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生垮塌，與實(shí)驗(yàn)過(guò)程完全符合。將式(11)改寫(xiě)成計(jì)算重物重量的形式，則有

由式(12)可知，系統(tǒng)所能懸掛的總重量與火柴的抗彎剛度成正比。當(dāng)火柴與桌面摩擦系數(shù)確定后，摩擦角α為已知量，再根據(jù)初始條件計(jì)算出初始剛體轉(zhuǎn)角α0，即可算出所能懸掛的總重量。

2 算例分析

從資料查得木質(zhì)火柴桿一般采用白楊、松木等制作，其抗彎彈性模量一般在7～13 GPa之間，本文取 10 GPa，普通火柴桿尺寸約為38 mm×1.5 mm×1.5 mm，若取d=2 mm，l=19 mm，木材與硬塑料、鋼之間的靜摩擦系數(shù)f一般在0.2～0.25之間，此處取火柴與桌面摩擦系數(shù)為0.2，即摩擦角為11.3°，則可算得這樣的三根火柴系統(tǒng)可懸掛重物的重量為

即，該系統(tǒng)可懸掛的重量約為3 kg，約5瓶550 mL的礦泉水。由圖2可見(jiàn)，節(jié)目現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)火柴OB外伸長(zhǎng)度未達(dá)到火柴一半，因此懸掛重物可比上述理論值更大一些。所以，可認(rèn)為本文理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為符合。下面進(jìn)行一下強(qiáng)度校核。由整體受力圖可見(jiàn)，此刻桌面的支撐力為

根據(jù)以上結(jié)果可算出A截面的彎矩，再由彎曲正應(yīng)力公式，可得A截面下邊緣最大拉應(yīng)力為

式中，b=1.5 mm，為火柴桿邊長(zhǎng)。由于選擇的棉線(xiàn)具有一定粗度才能將火柴撐住，如圖2所示，此時(shí)棉線(xiàn)的直徑與OA間距離d值已經(jīng)較為接近，因此可以將棉線(xiàn)對(duì)火柴桿的作用力考慮為均布載荷，如圖7所示。

圖7 火柴OB計(jì)算圖

根據(jù)試驗(yàn)情況，可設(shè)棉線(xiàn)直徑為1 mm，A截面位于其中點(diǎn)上，則有

可算得A截面最大正應(yīng)力為

式中，棉線(xiàn)半徑a=0.5 mm。顯然，按均布載荷計(jì)算所得最大應(yīng)力值更小一些。實(shí)際選用哪種計(jì)算方式需要根據(jù)棉線(xiàn)的粗細(xì)來(lái)決定。查閱文獻(xiàn)可知，楊木、松木的拉伸屈服極限一般為88～118 MPa，可見(jiàn)按本文的理論計(jì)算結(jié)果，火柴桿的強(qiáng)度也在范圍之內(nèi)，所以可認(rèn)為理論分析合理。但由于火柴桿選材、棉線(xiàn)與桌面的距離、火柴外伸長(zhǎng)度等參數(shù)均人為選擇，其結(jié)果會(huì)有一些差異。下面將幾種選擇的計(jì)算結(jié)果列于表1中。

由表1可見(jiàn)，摩擦系數(shù)f、棉線(xiàn)與桌面的距離d均對(duì)懸掛重量具有較大影響。如果棉線(xiàn)緊貼桌面，使得距離d很小，則可顯著提高懸掛的重量，當(dāng)摩擦系數(shù)f=0.2時(shí)，文中的火柴系統(tǒng)最多可懸掛13瓶礦泉水，且火柴的最大應(yīng)力還不至于太大。火柴桿與桌面摩擦系數(shù)f增大可提高懸掛的重量，但當(dāng)f=0.25時(shí)，懸掛重物達(dá)到一定重量后，火柴會(huì)先發(fā)生斷裂破壞，而不會(huì)是整體垮塌。

表1 幾個(gè)例子的計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了三根火柴懸掛礦泉水瓶的有趣試驗(yàn)現(xiàn)象，基于理論力學(xué)中的自鎖原理和材料力學(xué)中梁的彎曲理論分析了系統(tǒng)保持平衡的力學(xué)原理，并得出了其極限載荷的計(jì)算公式，為該試驗(yàn)給出了較為合理的理論解釋。通過(guò)幾個(gè)算例可知，摩擦系數(shù)、棉線(xiàn)與桌面距離均對(duì)懸掛的極限載荷具有較大的影響。

致謝感謝田振國(guó)、黃良及張任良等老師的有益討論！