橢圓型方程系數(shù)識(shí)別問題正則化解的收斂速度

王 謙， 何 琴

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

橢圓型偏微分方程是用于描述物理平衡穩(wěn)定狀態(tài)的一類方程[1]。偏微分方程的正問題是由已知方程的定解條件求定解問題的解，而反問題[2]是由部分已知信息求定解問題中的某些未知量。由于大部分反問題是不適定的，正則化方法就成為解反問題的主要工具[3-6]。雖然有許多學(xué)者致力于研究正則化方法，但很少研究正則化解的收斂速度[7-10]。

本文研究了橢圓型方程的系數(shù)識(shí)別問題，考慮如下橢圓型方程Dirichlet問題：

-div(q?u)+c(x)u=finΩ，

(1)

u=0 on ?Ω。

(2)

其中：q是未知系數(shù)，利用u在Ω上的觀測(cè)值來反演q。將Tikhonov正則化應(yīng)用于新的凸能量泛函Jzδ， 并求出其解的收斂速度。 對(duì)于凸能量泛函的設(shè)定是處理該問題的難點(diǎn)， 既要保證泛函的凸性， 又要易于求解收斂速度。

通過多次檢驗(yàn)， 構(gòu)造如下泛函：

(3)

其中：ρ>0 是正則化參數(shù)，q*是q的先驗(yàn)估計(jì)。

本文的主要貢獻(xiàn)：證明了泛函(3)的嚴(yán)格凸性，從而在容許集內(nèi)極小化問題有唯一解；提出了形式上相對(duì)簡(jiǎn)單的源條件，進(jìn)而證明了最優(yōu)解的收斂性，并給出了收斂階。

1 反問題設(shè)置

成立，則稱u為問題(1)和問題(2)的弱解。如果系數(shù)q屬于下列集合

(4)

(5)

(6)

其中：

(7)

且CΩ是一個(gè)僅依賴于區(qū)域Ω的常數(shù)。在Poincaré-Friedrichs不等式中，有

(8)

2 Tikhonov 正則化

(9)

其中：δ>0。于是問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛蓏δ重構(gòu)q。為了解決問題，在集合Q上最小化凸泛函是

(10)

由于問題是不適定的，使用穩(wěn)定的Tikhonov正則化方法求解它，即解決最小化問題

(11)

在證明之前，先引入q*最小范數(shù)解的概念，以及U(q)的一些性質(zhì)。

(12)

(13)

引理證畢。

-div(q?η)+c(x)η=div(h?U(q)) inΩ，η=0 on ?Ω

(14)

此外， 對(duì)于所有h∈L∞(Ω)， 有

(15)

(16)

其中:α由式(7)定義， 且α>0。 對(duì)于任何h∈L∞(Ω)， 根據(jù)Lax-Milgram引理， 得到變分方程

(17)

(18)

由不等式(18)和不等式(14)， 得到

(19)

成立。 因此，

令v=U(q+h)-U(q)-η，由等式(16),得到

α‖U(q+h)-U(q)-η‖H1(Ω)≤‖h‖L∞(Ω)‖η‖H1(Ω)。

(20)

由不等式(19)和不等式(20)，得

引理證畢。

引理3 由式(9)定義的泛函Jzδ(q)在凸集Q上是凸的。

證明：對(duì)所有q∈Q和h∈L∞(Ω)有

(21)

那么，對(duì)所有的q∈Q和h,k∈L∞(Ω)，Jzδ的二階Fréchet導(dǎo)數(shù)為

因此， 根據(jù)式(5)， 對(duì)所有q∈Q和h∈L∞(Ω)有

即泛函Jzδ(q)在集合Q上是凸的。

引理證畢。

證明：首先，證明泛函Jzδ(q)在集合Q上關(guān)于L2(Ω)-范數(shù)是連續(xù)的。

(22)

根據(jù)不等式(15)，得

(23)

(24)

根據(jù){qn}在L2(Ω)-范數(shù)下收斂于q和式(23)，當(dāng)n→∞時(shí)，方程(24)右邊第一項(xiàng)趨近于零。另一方面，由于{U(qn)}在H1(Ω)內(nèi)弱收斂趨于θ，當(dāng)n→∞時(shí)，得到

(25)

結(jié)合式(22)和式(25)，斷定θ=U(q)。

現(xiàn)在證明當(dāng)n→∞時(shí)， 有Jzδ(qn)→Jzδ(q)。由方程(3)得

=Jzδ(q)。

定理證畢。

證明：由{qn}的定義，對(duì)每個(gè)q∈Q，有

(26)

(27)

和

(28)

另外，

(29)

當(dāng)n→∞時(shí)，因?yàn)閧zn}在H1(Ω)中收斂于zδ，所以右邊兩個(gè)括號(hào)中的項(xiàng)趨于零。因此，

(30)

根據(jù)式(27)～式(29)，對(duì)任意q∈Q有

(31)

(32)

(33)

(34)

聯(lián)立式(34)和式(30)， 以及不等式(32)有

這與式(27)矛盾。

定理證畢。

3 收斂速度

由于L∞(Ω)=L1(Ω)*?L∞(Ω)*，那么對(duì)任意q∈L∞(Ω)，有q∈L∞(Ω)*。 對(duì)所有h∈L∞(Ω)有

(35)

即對(duì)所有ω*∈H-1(Ω)和h∈L∞(Ω)有

(36)

-div(q?φρ)+c(x)φρ=ψρ-ΔψρinΩ,φρ=0 on ?Ω。

(37)

(38)

設(shè)v=φρ，由集合Q的定義，有

由Cauchy-Schwarz不等式，可得

于是

(39)

根據(jù)假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)K1>0，對(duì)所有ρ∈(0,1)有

(40)

由式(39)和式(40)，對(duì)所有ρ∈(0,1)有

(41)

由不等式(41)與Poincaré-Friedrichs不等式，得到式(38)。

引理證畢。

定理3 假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)ω*∈H-1(Ω)使得

qχ-q*=U′(qχ)*ω*。

(42)

則，當(dāng)ρ→0和ρ～δ時(shí)，有

證明：根據(jù)正則化解的定義，得到

因此

(43)

(44)

對(duì)式(42)的第二項(xiàng)，由式(35)和式(42)，得

(45)

由式(36)和式(45)可得

(46)

(47)

‖ω-ψρ‖H1(Ω)≤ρ。

(48)

考慮下列橢圓型方程的Dirichlet問題：

-div(qχ?φρ)+c(x)φρ=ψρ-ΔψρinΩ，

(49)

φρ=0 on ?Ω。

(50)

(51)

(52)

(53)

由不等式(35)和式(53)， 得到

(54)

應(yīng)用不等式(36)和式(43)，有

(55)

根據(jù)式(13)和集合Q的定義， 有

(56)

由式(3)和式(12)，得

根據(jù)式(9)， 得

利用Cauchy-schwarz不等式， 有

(57)

由式(53)～式(55)得到

(58)

根據(jù)集合Q的定義和Poincaré-Friedrichs不等式(8)，有

(59)

結(jié)合不等式(32)、不等式(33)、不等式(58)和不等式(59)，可得

(60)

由式(58)， {ψρ}ρ∈(0,1)在H1(Ω)-范數(shù)下有界和引理2， 存在一個(gè)僅依賴于Ω的常數(shù)K>0， 使得對(duì)所有ρ∈(0,1)， 有

(61)

由式(60)和式(61)得到， 當(dāng)δ→0和ρ～δ， 有

定理證畢。