用給定轉(zhuǎn)角分步實(shí)現(xiàn)剛體任意有限轉(zhuǎn)動(dòng)的研究

鞏浩然 武 迪 龔勝平 李俊峰

?(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

?(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191)

1775年，Euler[1]使用球面幾何方法首次證明了任意有限剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都可以等價(jià)為一次繞某固定轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)歐拉創(chuàng)造性地提出了歐拉角的概念，即剛體的任意姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，都可以分解為3次繞固連系坐標(biāo)軸的定軸旋轉(zhuǎn)之疊加(連續(xù)兩次的轉(zhuǎn)軸不可相同)，經(jīng)典的分解順序包括依次繞z-x-z軸旋轉(zhuǎn)的進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)、自轉(zhuǎn)，和依次繞z-y-x軸旋轉(zhuǎn)的偏航、俯仰、滾轉(zhuǎn)等。這種分解方法清晰易懂、方便可視化，尤其為工程應(yīng)用帶來(lái)了諸多便利。1973年，NASA研究人員Davenport[2]在歐拉角正交分解的基礎(chǔ)上，研究了將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)分解為幾次繞非正交軸旋轉(zhuǎn)的可行性及分解方法。2003年，Wittenburg等[3]進(jìn)一步將問(wèn)題拓展到一般的螺旋位移運(yùn)動(dòng)分解。

這幾種姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的分解雖有不同，但基本出發(fā)點(diǎn)一致：已知?jiǎng)傮w某有限轉(zhuǎn)動(dòng)并給定幾根轉(zhuǎn)動(dòng)軸(正交或非正交的)，將該有限轉(zhuǎn)動(dòng)分解為繞這幾根給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)之疊加。與上述研究的問(wèn)題不同，本文研究的問(wèn)題則是：已知?jiǎng)傮w某有限轉(zhuǎn)動(dòng)，給定旋轉(zhuǎn)角度大小，問(wèn)該轉(zhuǎn)動(dòng)是否可以分解為一系列轉(zhuǎn)角為給定角度的定軸運(yùn)動(dòng)(轉(zhuǎn)軸的方向自由選取)之疊加。為了使問(wèn)題闡述得更清楚形象，用三維歐式空間中的質(zhì)點(diǎn)位移做個(gè)類比。上述已有的研究類似于已知質(zhì)點(diǎn)某有限位移，給定幾個(gè)空間方向(正交或非正交)，將該有限位移分解為沿這幾個(gè)給定方向的位移之和。而本文的研究問(wèn)題則類似于，已知質(zhì)點(diǎn)某有限位移，給定單步運(yùn)動(dòng)步長(zhǎng)，是否可以將該有限位移分解為一系列步長(zhǎng)為給定步長(zhǎng)的位移運(yùn)動(dòng)之疊加。

舉例來(lái)說(shuō)，假設(shè)剛體需要繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)10°，如限定單次轉(zhuǎn)角只能為5°，則可以拆分為2次繞z軸的旋轉(zhuǎn)之和，如限定單次轉(zhuǎn)角只能為2°，則可以拆分為5次繞z軸的旋轉(zhuǎn)之和，如限定單次轉(zhuǎn)角為3°，那么幾次繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)就無(wú)法實(shí)現(xiàn)需求，這時(shí)還需要去尋找z軸之外的其他轉(zhuǎn)軸，將目標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)拆分為幾次轉(zhuǎn)角為3°的轉(zhuǎn)動(dòng)之和。

本問(wèn)題屬于較為經(jīng)典的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，既有其力學(xué)理論價(jià)值，也有工程實(shí)踐意義。例如在依靠步進(jìn)電機(jī)旋轉(zhuǎn)的機(jī)構(gòu)中，步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)軸方向可以任意變化，但步進(jìn)電機(jī)的最小步長(zhǎng)有限制，對(duì)于某些微型步進(jìn)電機(jī)，最小單步步長(zhǎng)可以達(dá)到18°，此時(shí)依靠步進(jìn)電機(jī)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)就不得不考慮本文研究的問(wèn)題。此外，本文作者也在做空間多體系統(tǒng)通過(guò)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動(dòng)的研究，在這類問(wèn)題中，有些情形下多體系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角是一定的，而轉(zhuǎn)軸方向的選取則有較大自由，本文所研究的問(wèn)題也與之密切相關(guān)。

如圖1所示的多體結(jié)構(gòu)太陽(yáng)帆，其姿態(tài)固連系建立在中心十字架上，1和3號(hào)帆可以繞x軸同步旋轉(zhuǎn)，2和4號(hào)帆可以繞y軸同步旋轉(zhuǎn)。整個(gè)帆可以看做一個(gè)由中心十字支架、1和3號(hào)帆、2和4號(hào)帆組成的3剛體系統(tǒng)，通過(guò)帆面的旋轉(zhuǎn)，可以實(shí)現(xiàn)中心十字支撐(即姿態(tài)固連系)的姿態(tài)變化。當(dāng)1和3號(hào)帆位于Oxy平面上時(shí)，2和4號(hào)帆的旋轉(zhuǎn)會(huì)引起整星姿態(tài)(即固連在中心十字支撐上的固連系姿態(tài))繞y軸反轉(zhuǎn)，而當(dāng)1和3號(hào)帆與Oxy平面形成一個(gè)夾角θ1時(shí)，2和4號(hào)帆的旋轉(zhuǎn)也會(huì)引起整星姿態(tài)變化，但由于失去了對(duì)稱性，此時(shí)整星轉(zhuǎn)軸不再是y軸，而是偏離y軸的α軸。考慮如下一組轉(zhuǎn)動(dòng)：初始時(shí)刻4片帆面全部位于Oxy平面內(nèi)，首先，1和3號(hào)帆旋轉(zhuǎn)θ1后保持不動(dòng)，接著，2和4號(hào)帆旋轉(zhuǎn)nπ后保持不動(dòng)(此時(shí)2和4號(hào)帆仍位于Oxy平面內(nèi))，最后1和3號(hào)帆反轉(zhuǎn)θ1回歸原位。經(jīng)歷了這樣一組轉(zhuǎn)動(dòng)后，太陽(yáng)帆的構(gòu)型與初始時(shí)一致，但整星姿態(tài)發(fā)生了變化，其姿態(tài)變化四元數(shù)可以由3次轉(zhuǎn)動(dòng)疊加得到

圖1 由4片直角三角形帆面及相應(yīng)支撐桿構(gòu)成的太陽(yáng)帆

其中，°表示四元數(shù)相乘運(yùn)算。a是第一次轉(zhuǎn)動(dòng)后，整星繞x軸反轉(zhuǎn)的角度，與θ1成正比，b是第二次轉(zhuǎn)動(dòng)后，整星繞α軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，與nπ成正比，c是α軸抬離Oxy平面的角度，也是θ1的函數(shù)。固定b，而令a變化，式(1)顯示，整星姿態(tài)變化的轉(zhuǎn)角是一定的，而轉(zhuǎn)軸的方向可以是Oyz平面內(nèi)的任意方向(通過(guò)選取恰當(dāng)?shù)腶)。試圖通過(guò)一系列這樣的3步組合轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)帆的任意姿態(tài)機(jī)動(dòng)，這就不可避免地要回答一個(gè)問(wèn)題：在多步姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)中，轉(zhuǎn)角固定，而轉(zhuǎn)動(dòng)方向可在一定范圍內(nèi)選取，能否拼出任意想要的姿態(tài)變換？在這個(gè)太陽(yáng)帆的問(wèn)題中，轉(zhuǎn)軸的方向被限定在了Oyz平面內(nèi)，使得問(wèn)題更加復(fù)雜，這里先來(lái)看看轉(zhuǎn)軸方向可以任意選取時(shí)的情況。

在下一節(jié)中，使用姿態(tài)四元數(shù)作為主要工具，通過(guò)構(gòu)造性的證明方式，證明上述分解的可行性，并給出分解方法。

1 問(wèn)題描述及證明

1.1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

對(duì)于某一轉(zhuǎn)軸方向?yàn)閑，轉(zhuǎn)角為m的給定剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(用姿態(tài)四元數(shù)描述)

是否可以通過(guò)一系列轉(zhuǎn)角n i給定，轉(zhuǎn)軸方向e(i)任意的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

拼湊而成？即是否可以通過(guò)恰當(dāng)選取每次轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸e(i)使得q=q(1)°q(2)°...°q(k)？

1.2 一種構(gòu)造性證明

首先，上述問(wèn)題的答案是肯定的，通過(guò)有限次轉(zhuǎn)角依次為n1,n2,···n k的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一定可以拼接出某一轉(zhuǎn)軸方向?yàn)閑，轉(zhuǎn)角大小為m的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且一定可以在k次內(nèi)完成，這里k表示滿足的最小整數(shù)。具體分解方法如下：

(1)當(dāng)m≥n1+n2時(shí)，取轉(zhuǎn)軸方向e(1)=e，靠近目標(biāo)姿態(tài)，設(shè)在第i?1步后，距離目標(biāo)姿態(tài)的一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角為m i-1，如m i-1≥n i+n i+1，繼續(xù)取轉(zhuǎn)軸方向e(i)=e；如m i-1

(2)當(dāng)m

不失一般性地，可以假設(shè)目標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)q的轉(zhuǎn)軸e=[0,0,1]T，因?yàn)閷?duì)于任意轉(zhuǎn)動(dòng)，總能找到一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，使得在該坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)軸方向?yàn)閇0,0,1]T。令兩次轉(zhuǎn)動(dòng)之疊加等于目標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)

注意，這里e1，e2并非在同一坐標(biāo)系下的兩個(gè)方向，e1是在空間慣性坐標(biāo)系下的方向投影，e2則是基于e1轉(zhuǎn)動(dòng)之后的剛體固連系上的方向投影。方程(4)可展開(kāi)為

因?yàn)閱挝凰脑獢?shù)模為1的天然約束，如式(5)所示的4個(gè)標(biāo)量方程中，只有3個(gè)獨(dú)立方程，而獨(dú)立未知量則有4個(gè)(每個(gè)轉(zhuǎn)軸方向含2個(gè)獨(dú)立未知量)，故方程(4)的解并不唯一。設(shè)

代入方程(5)整理可得四個(gè)解

上述4個(gè)未知量的解只有3個(gè)是獨(dú)立的，方便起見(jiàn)，取式(7)～式(9)為一組解，觀察該解，式(8)和式(9)說(shuō)明e1，e2在z方向的分量可以確定，式(7)說(shuō)明e1，e2兩方向的夾角可以確定，滿足式(7)～式(9)均為可行解。解存在的條件為

與情況(2)的條件相符。

2 例子

設(shè)目標(biāo)剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)為繞初始z軸旋轉(zhuǎn)2π/3，依靠步進(jìn)電機(jī)實(shí)現(xiàn)該運(yùn)動(dòng)，假設(shè)該步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)軸方向可以任意取定，最小單步轉(zhuǎn)角為π/5。根據(jù)上一節(jié)的討論，由于2π/3>π/5+π/5，首先令步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)軸方向取為z軸，經(jīng)1次轉(zhuǎn)動(dòng)后距離目標(biāo)姿態(tài)2π/3?π/5=7π/15，因?yàn)?π/15>π/5+π/5，繼續(xù)令步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)軸方向?yàn)閦軸，經(jīng)第2次轉(zhuǎn)動(dòng)后距離目標(biāo)姿態(tài)7π/15?π/5=4π/15。此時(shí)因4π/15<π/5+π/5，將m=4π/15，n i=π/5代入方程(7)～方程(9)可得

滿足式(12)的解均為可行解，不妨取兩次轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)為

綜上，步進(jìn)電機(jī)的4次定步長(zhǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，圖2為第3和第4兩步旋轉(zhuǎn)分解的示意圖。初始姿態(tài)固連坐標(biāo)系(經(jīng)過(guò)前2步轉(zhuǎn)動(dòng)后的剛體固連坐標(biāo)系)Ox0y0z0，目標(biāo)姿態(tài)固連坐標(biāo)系Oxfyfzf，經(jīng)過(guò)前3次旋轉(zhuǎn)后的剛體固連坐標(biāo)系Ox1y1z1。為了展示清晰，除坐標(biāo)系外，還畫(huà)出了一個(gè)假想的手機(jī)狀剛體。圖中e1，e2為第3和第4兩次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸(均已轉(zhuǎn)換到第2次旋轉(zhuǎn)后的剛體固連坐標(biāo)系下)。

圖2 實(shí)驗(yàn)案例中的旋轉(zhuǎn)分解示意圖

3 結(jié)論

關(guān)于姿態(tài)運(yùn)動(dòng)分解的過(guò)往研究，多集中于給定“基方向”，如何選擇適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)角以實(shí)現(xiàn)任意姿態(tài)變換；本文則是給定旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)，自行尋找適合的“方向”以實(shí)現(xiàn)任意姿態(tài)變換。本文通過(guò)四元數(shù)運(yùn)算證明，通過(guò)有限次旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)給定、旋轉(zhuǎn)軸方向任選的定軸旋轉(zhuǎn)，可以實(shí)現(xiàn)任意的剛體空間旋轉(zhuǎn)。這種分解的可行性將為姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)的理論分析和實(shí)踐運(yùn)用帶來(lái)一些新思路。