磁浮車橋耦合振動性能模擬的離線混合試驗(yàn)方法

國 巍， 龍 巖， 邵 平， 曾 晨， 喻澤紅

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院， 長沙 410000； 2.高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室， 長沙 410000)

磁浮軌道交通作為一種新興的交通方式，車橋耦合振動問題突出. 在高速運(yùn)動下，令僅有10 mm磁浮間隙的上部列車保持穩(wěn)態(tài)懸浮需要良好的控制系統(tǒng)，若車橋耦合產(chǎn)生強(qiáng)烈振動，磁浮控制可能會失效進(jìn)而導(dǎo)致事故發(fā)生，因此控制系統(tǒng)是需要進(jìn)行測試的重要環(huán)節(jié)[1-2]. 在理論研究的基礎(chǔ)上，需在現(xiàn)場和實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行大量測試，以檢驗(yàn)磁浮控制、車橋耦合振動等性能. 現(xiàn)場測試需耗費(fèi)大量財(cái)力，組織難度大，在無法保證橋梁結(jié)構(gòu)、控制系統(tǒng)等可靠性時進(jìn)行現(xiàn)場實(shí)測會造成人財(cái)浪費(fèi)甚至危險(xiǎn)，因此有必要發(fā)展實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的測試方法.

混合試驗(yàn)技術(shù)近年來被認(rèn)為是可實(shí)現(xiàn)橋上行車測試的手段之一[3]，已應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)室內(nèi)高速鐵路橋上行車相關(guān)試驗(yàn)測試，采用實(shí)時混合試驗(yàn)以準(zhǔn)確模擬橋上行車狀態(tài). 此外，實(shí)時混合試驗(yàn)也被廣泛應(yīng)用在土木工程中其他領(lǐng)域，如Jiang等[4]對物理磁流變阻尼器及數(shù)值公路橋梁進(jìn)行實(shí)時混合試驗(yàn)測試，驗(yàn)證了磁流變阻尼器控制公路橋梁疲勞振動的有效性；Friedman等[5]在裝有磁流變阻尼器的大型框架中進(jìn)行了實(shí)時混合試驗(yàn)；Najafi等[6]提出一種基于模型的輕阻尼和高非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)實(shí)時混合試驗(yàn)方法，其用于屋頂軌道非線性能量吸收器性能研究. 實(shí)時混合試驗(yàn)具有較高的實(shí)時性要求，大型伺服液壓系統(tǒng)作為混合試驗(yàn)中車輛等物理子系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，需要高精度控制系統(tǒng)，同時大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算也要求在毫秒內(nèi)完成，具有很高挑戰(zhàn). 相比于實(shí)時混合試驗(yàn)，學(xué)者們提出了離線迭代的混合試驗(yàn)新思路，并應(yīng)用于汽車輪胎耐久性測試、非結(jié)構(gòu)構(gòu)件等試驗(yàn)中，如Maddaloni等[7]提出基于傳遞函數(shù)的開環(huán)補(bǔ)償模型，對安裝吊頂?shù)目蚣茼敳縳、y和z向進(jìn)行離線迭代補(bǔ)償；Zhou[8]等提出一種多自由度離線耦合迭代法用于非結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動臺試驗(yàn)中樓面響應(yīng)譜的再現(xiàn)；MTS公司提出一種混合系統(tǒng)響應(yīng)收斂方法，利用混合試驗(yàn)對汽車輪胎進(jìn)行了疲勞和耐久性測試[9]；Li等[10]采用離線耦合試驗(yàn)方法應(yīng)用于偏置電力變壓器性能評估. 非結(jié)構(gòu)構(gòu)件往往是大型建筑或汽車系統(tǒng)中的設(shè)備與部件，從構(gòu)成來看其類似于橋上行駛的車輛，區(qū)別在于橋上行車為移動設(shè)備，非結(jié)構(gòu)構(gòu)件往往為固定設(shè)備.

基于實(shí)時混合試驗(yàn)所存在的問題，本文發(fā)展了一種基于不動點(diǎn)迭代算法的離線迭代混合試驗(yàn)方法，其可以避免實(shí)時計(jì)算難題，同時可以在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行磁浮車橋耦合振動性能的模擬.

1 基于不動點(diǎn)迭代的離線混合試驗(yàn)方法

與實(shí)時混合試驗(yàn)在每一時間步內(nèi)實(shí)時模擬橋上行車狀態(tài)相比，離線混合試驗(yàn)通過在數(shù)值物理子系統(tǒng)間迭代修正力或位移時程響應(yīng)誤差，令其在邊界處平衡協(xié)調(diào)，進(jìn)而模擬橋上行車真實(shí)狀態(tài). 本文在離線混合試驗(yàn)中用于迭代修正響應(yīng)誤差的方法為不動點(diǎn)迭代算法. 基于不動點(diǎn)迭代的離線混合試驗(yàn)方法是在振動臺系統(tǒng)包含的內(nèi)環(huán)控制器[11]基礎(chǔ)上，搭建外環(huán)控制器，原理如圖1所示.

圖1中，外環(huán)輸入是z方向的系統(tǒng)初始位移時程，u為外環(huán)不動點(diǎn)迭代控制器輸入給內(nèi)環(huán)控制器的位移命令，ut為振動試驗(yàn)臺自身所帶內(nèi)環(huán)控制器以u為期望響應(yīng)經(jīng)迭代修正后復(fù)現(xiàn)的位移響應(yīng)，即內(nèi)環(huán)控制器下達(dá)至振動臺的控制命令，u′為數(shù)值- 物理劃分界面處的位移響應(yīng)，即振動臺臺面位移，F(xiàn)為磁浮車輛模型在振動臺激勵下反饋的磁浮力.

磁浮車橋離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)將數(shù)值- 物理切分界面選定為車輛與軌道梁之間，磁浮車輛作為物理子系統(tǒng)，磁浮軌道橋梁作為數(shù)值子系統(tǒng)，子系統(tǒng)間以參照實(shí)際行車，以磁浮力的大小與其在軌道梁作用點(diǎn)處所受力的大小相等作為邊界條件，即2個子系統(tǒng)通過磁浮力連接.因磁浮列車與軌道間的力作用關(guān)系不同于傳統(tǒng)的輪軌接觸，且數(shù)值- 物理子系統(tǒng)切斷了實(shí)際磁浮車橋系統(tǒng)間力磁浮力的傳遞，因此將車輛子系統(tǒng)反饋回來的磁浮力以移動荷載的形式加載至數(shù)值橋梁子系統(tǒng).內(nèi)環(huán)控制器用于實(shí)現(xiàn)振動試驗(yàn)臺對于其輸入信號的高精度復(fù)現(xiàn)；外環(huán)控制器通過不動點(diǎn)迭代收斂算法[12]，逐步減小混合試驗(yàn)中數(shù)值橋梁子系統(tǒng)與物理車輛子系統(tǒng)之間的動態(tài)響應(yīng)誤差，從而在數(shù)值- 物理劃分界面處實(shí)現(xiàn)一定精度的磁浮車橋耦合振動復(fù)現(xiàn).

實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的混合試驗(yàn)依托于振動試驗(yàn)臺系統(tǒng)，因其自帶的液壓系統(tǒng)控制器可高精度復(fù)現(xiàn)輸入至振動臺的期望信號，故在模擬磁浮車橋耦合振動時忽略振動臺復(fù)現(xiàn)誤差，即僅對磁浮車橋系統(tǒng)間響應(yīng)誤差進(jìn)行迭代修正.在磁浮橋上行車試驗(yàn)中，因子系統(tǒng)間以磁浮力協(xié)調(diào)為邊界條件，因此在進(jìn)行收斂判別時選擇車輛位移與磁浮力作用點(diǎn)處軌道梁的位移響應(yīng)，當(dāng)兩者間計(jì)算的均方根誤差小于限值時，則認(rèn)為離線混合試驗(yàn)收斂，即可在一定精度上復(fù)現(xiàn)磁浮車橋動態(tài)耦合.外環(huán)不動點(diǎn)迭代控制器的原理如圖2所示.

圖2 不動點(diǎn)迭代算法流程Fig.2 Flow of fixed-point iterative algorithm

若基于磁浮車橋耦合的離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)的輸入為作用于車輛模型的橋梁位移激勵u，輸出為車輛模型在激勵輸入下生成的磁浮力作用于數(shù)值橋梁模型后的橋梁位移響應(yīng)y，對于此離線混合系統(tǒng)，其輸入輸出間的關(guān)系可由y=H(u)表示，則離線迭代混合試驗(yàn)的目標(biāo)可表示為

error=u-y=u-H(u)=0

(1)

離線混合試驗(yàn)的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)換為求解式(1)的解，且存在唯一解u.將式(1)化為同解方程可得

u=H(u)

(2)

取任意初值u0帶入式(2)右側(cè)

u1=H(u0)

通過迭代可得

u2=H(u1)
?
uk+1=H(uk)k=0,1,2,…

(3)

式中：uk為第k步迭代序列，式(3)為求解式(2)的不動點(diǎn)迭代法.若存在一序列u*，使迭代序列uk滿足

(4)

則稱不動點(diǎn)迭代法收斂，u*為式(2)的解，否則稱為發(fā)散.

將上述不動點(diǎn)迭代法應(yīng)用到磁浮車橋系統(tǒng)的響應(yīng)收斂中，流程如圖3所示.

圖3 基于不動點(diǎn)迭代的離線混合試驗(yàn)操作流程Fig.3 Operation flow of off-line hybrid test based on fixed point iteration

1) 將一組初始位移驅(qū)動信號u0輸入至振動臺，振動臺以初始驅(qū)動位移信號為目標(biāo)進(jìn)行內(nèi)環(huán)控制并加載至磁浮車輛，加載完成后，記錄反饋力.

2) 將反饋力作用于橋梁數(shù)值模型，計(jì)算得到位移響應(yīng)并換算為振動臺臺面位移信號.

3) 比較換算后振動臺臺面位移輸出時程和驅(qū)動位移信號，若計(jì)算均方根誤差小于限值，則離線混合試驗(yàn)收斂，試驗(yàn)結(jié)束；反之，則令換算后的振動臺臺面位移信號作為下一步驅(qū)動位移信號.

4) 循環(huán)執(zhí)行步驟1)～3)，直至驅(qū)動位移信號收斂，結(jié)束試驗(yàn).

5) 以收斂的試驗(yàn)工況為準(zhǔn)給出最終的試驗(yàn)測試結(jié)果.

步驟3)中所述均方根誤差(root mean squared error, RMSE)通過橋梁響應(yīng)相對系統(tǒng)輸入的偏離程度判斷迭代效果，具體計(jì)算公式為

(5)

式中：yk(i)為第k次迭代的系統(tǒng)輸入；xk(i)為第k次迭代的系統(tǒng)輸出響應(yīng).

不動點(diǎn)迭代算法的核心是將本次迭代計(jì)算出的橋梁位移響應(yīng)作為下一次迭代作用于車輛模型的系統(tǒng)輸入，若二者間的均方根誤差小于閾值，則結(jié)束迭代，并以收斂時試驗(yàn)工況的系統(tǒng)輸入作為最終測試結(jié)果，即磁浮車橋耦合振動響應(yīng).

2 數(shù)值環(huán)境的磁浮車橋離線混合試驗(yàn)

2.1 數(shù)值磁浮車輛模型

以中低速磁懸浮列車為研究對象，其主要構(gòu)件包括車體、空氣彈簧、懸浮架、電磁鐵等. 每節(jié)車由車體及5臺懸浮架組成，車體與懸浮架通過4個空氣彈簧裝置連接，每臺懸浮架有4對電磁鐵. 每對電磁鐵配有4個電磁鐵控制線圈[13]. 圖4(a)所示為中低速磁浮列車實(shí)際構(gòu)造，圖4(b)為其構(gòu)造示意圖.

圖4 中低速磁浮列車Fig.4 Low speed maglev train

因本文研究重點(diǎn)在于驗(yàn)證離線迭代混合試驗(yàn)方法在磁浮車橋系統(tǒng)耦合作用中的可行性，故對磁浮列車進(jìn)行了下列簡化：1)整個磁浮列車簡化為單個移動彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)模型，將磁浮車體簡化為一個質(zhì)量塊，懸浮架(5對)簡化為一個質(zhì)量塊，懸浮電磁鐵(5×4對)簡化為一個質(zhì)量塊；2)整車的空氣彈簧及懸浮架與電磁鐵間的黏彈性連接分別簡化為一組單彈簧阻尼系統(tǒng)；3)整車的電磁懸浮力簡化為單點(diǎn)磁浮力，電磁鐵與軌道梁之間通過使用線性彈簧和阻尼器模擬電磁懸浮關(guān)系. 在該簡化模型中，車體、懸浮架與電磁鐵均只考慮豎向自由度，最終磁浮車輛模型簡化為三自由度模型，如圖5所示.

圖5 簡化的磁浮車輛模型Fig.5 Simplified maglev vehicle model

圖5中，m2、m1、m0分別表示簡化模型中車體、懸浮架和電磁鐵的質(zhì)量；c2、c1、c0分別為二系懸掛、一系懸掛和等效磁浮力的阻尼；k2、k1、k0分別為二系懸掛、一系懸掛和等效磁浮力的剛度；x2、x1、x0、xb分別為車體、懸浮架、電磁鐵和軌道的位移響應(yīng).簡化車輛模型的運(yùn)動方程為

(6)

式中：Mv為車輛運(yùn)動方程的質(zhì)量矩陣；Cv為阻尼矩陣；Kv為剛度矩陣；Xv為車輛的位移響應(yīng)矩陣；Fv為外荷載列向量，即電磁懸浮力列向量.本文磁浮列車模型的具體參數(shù)[14]如表1所示.

表1 磁浮車輛模型參數(shù)

2.2 數(shù)值磁浮橋梁模型

本文研究的磁浮橋梁類型為單向簡支梁橋，其主要由橋墩、支座墊石、混凝土梁、底座、自密實(shí)混凝土層、軌道板等組成[15]，示意圖如圖6所示.

圖6 磁浮橋梁模型三維圖Fig.6 3D drawing of maglev bridge model

基于達(dá)朗貝爾原理可知數(shù)值磁浮橋梁的動力平衡方程為

(7)

式中：mb為磁浮橋梁的質(zhì)量矩陣；cb為阻尼矩陣；kb為剛度矩陣；f為作用于橋梁的外荷載，即磁浮力.

根據(jù)陣型疊加法原理，換算整理后可得到橋梁的振動方程

(8)

表2 混凝土磁浮橋梁模型參數(shù)

2.3 離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)

磁浮橋上行車試驗(yàn)系統(tǒng)中的數(shù)值物理切分界面確定為在車輛與軌道梁之間，如圖7所示，并在數(shù)值環(huán)境中進(jìn)行研究和測試. 因振動臺執(zhí)行機(jī)構(gòu)可通過內(nèi)環(huán)控制實(shí)現(xiàn)信號的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，故在搭建車橋系統(tǒng)時，不對振動平臺進(jìn)行建模.

圖7 離線混合試驗(yàn)數(shù)值- 物理系統(tǒng)切分界面示意圖Fig.7 Sketch of interface between numerical and physicalsystem in off-line hybrid test

圖8所示為磁浮車橋離線迭代混合試驗(yàn)系統(tǒng)在SIMULINK中框圖[16-17]，系統(tǒng)輸入位移信號作用于磁浮車輛模型，車輛模型在激勵下生成磁浮力并作用于橋梁模型，記錄橋梁豎向位移響應(yīng)作為系統(tǒng)輸出. 系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)輸出通過外環(huán)不動點(diǎn)迭代修正二者間誤差，最終實(shí)現(xiàn)磁浮車輛- 軌道耦合振動動態(tài)吻合.

圖8 數(shù)值環(huán)境離線混合試驗(yàn)系統(tǒng)Simulink示意圖Fig.8 Simulink schematic diagram of off-line hybrid test system in numerical environment

3 離線混合試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 磁浮橋上行車仿真計(jì)算

3.1.1 無軌道不平順的橋上行車仿真計(jì)算

進(jìn)行離線混合試驗(yàn)前，首先進(jìn)行磁浮橋上行車的仿真計(jì)算，在不添加軌道不平順的前提下，磁浮列車以300 km/h的速度移動過橋，計(jì)算得到磁浮軌道在荷載作用點(diǎn)處的豎向位移作為磁浮橋上行車的標(biāo)準(zhǔn)解，如圖9所示. 圖9(a)即為無軌道不平順時磁浮橋上行車仿真計(jì)算時程結(jié)果，圖9(b)為對應(yīng)的橋梁豎向位移頻譜，可知在不添加軌道不平順時，磁浮橋上行車后橋梁豎向位移頻率為3～5 Hz.

圖9 無軌道不平順磁浮橋上行車后橋梁豎向位移響應(yīng)Fig.9 Vertical displacement response after driving on maglev bridge without irregularity

3.1.2 添加軌道不平順的橋上行車仿真計(jì)算

實(shí)際的交通線路，如傳統(tǒng)輪軌交通線路會因軌道初始彎曲、軌道磨耗損傷、軌枕間距不均、質(zhì)量不一、路基下沉不均勻、剛度變化等因素呈現(xiàn)軌道隨機(jī)不平順[18]. 磁浮線路軌道不平順與傳統(tǒng)輪軌交通的軌道不平順是導(dǎo)致車橋耦合振動的主要激振源，軌道不平順及其他外部激勵源的干擾使得磁浮列車產(chǎn)生振動響應(yīng)，而后通過懸浮電磁鐵所在轉(zhuǎn)向架單元傳遞至下部軌道結(jié)構(gòu)，最終形成車橋耦合振動效應(yīng).

在實(shí)際線路上存在的各種軌道不平順是由不同波長、不同相位和不同幅值的隨機(jī)不平順波疊加而成的，是與線路里程有關(guān)的復(fù)雜隨機(jī)過程，軌道隨機(jī)不平順的統(tǒng)計(jì)特征只能依靠線路實(shí)地測量獲得，但工作量大不便于實(shí)施[19]. 由于缺乏磁浮線路軌道不平順的實(shí)測數(shù)據(jù)，并沒有統(tǒng)一的中低速磁浮軌道譜，學(xué)者[20-21]多采用高速機(jī)場譜、無縫線路軌道譜的改進(jìn)形式作為磁懸浮車輛線路的隨機(jī)不平順形式，張耿等[22]利用檢測到的唐山低速磁浮試驗(yàn)線右軌不平順的采樣數(shù)據(jù)得到了軌道不平順譜. 中國鐵道科學(xué)院擬合了統(tǒng)一的解析式功率譜密度函數(shù)(power spectral density，PSD)來表達(dá)軌道譜特征，即

(9)

式中：k為空間頻率，單位為1/m；A～G為不平順譜的特征參數(shù). 本文采用的唐山中低速試驗(yàn)線軌道譜的特征參數(shù)如表3所示.

表3 磁浮軌道譜特征參數(shù)

由于軌道不平順譜函數(shù)只適用于進(jìn)行頻域分析，在對系統(tǒng)進(jìn)行時域分析時，需對軌道不平順譜進(jìn)行反演生成時域上的不平順激勵輸入. 目前國內(nèi)外最常用的軌道不平順時域樣本數(shù)值模擬方法有三角級數(shù)法、白噪聲濾波法、二次濾波法和逆Fourier變換法(inverse fast Fourier transform，IFFT)等[23]，本文采用逆Fourier變換法進(jìn)行模擬. 逆Fourier變換法由D.Cebon首次提出，是通過時間序列估計(jì)功率譜密度的Blackman Turkey周期圖法，反推離散后的PDS與時間序列的關(guān)系為

(10)

式中：s(k)為離散化的功率譜密度；N為總的取樣點(diǎn)數(shù)；D(xs)為對時間序列xs取離散Fourier變換后的復(fù)序列；X(k)為時間序列xs的Fourier頻譜；X*(k)為X(k)的共軛.

式(10)直接建立了時域樣本頻譜與軌道不平順功率譜密度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.由此可知，當(dāng)已知功率譜密度時，可通過式(10)反演隨機(jī)過程的Fourier頻譜值，再對復(fù)序列X(k)進(jìn)行Fourier逆變換，得到軌道不平順在時域上的樣本序列.

(11)

(12)

(13)

ε(k)=exp(iΦk)

(14)

式中：ε(k)為獨(dú)立序列，其各分量均值為0；t為模擬時間；Φk為在[0,2π]上均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.

根據(jù)式(11)～(14)可以計(jì)算得到功率譜函數(shù)s(k)的時域反演樣本，當(dāng)磁浮車輛運(yùn)行速度為300 km/h、運(yùn)行過帶有左右各50 m過渡段的13跨32 m簡支梁時，磁浮軌道豎向不平順時域信號結(jié)果如圖10所示.

圖10 磁浮豎向不平順軌道譜反演時域信號Fig.10 Time domain signal inversion of vertical irregularity track spectrum of maglev

將逆Fourier變換法模擬出的軌道豎向不平順時域樣本序列作為磁浮橋上行車模型的豎向外部激勵，計(jì)算磁浮列車以300 km/h的速度移動過橋后，磁浮軌道在荷載作用點(diǎn)處的豎向位移，并以此結(jié)果作為添加軌道不平順的磁浮橋上行車標(biāo)準(zhǔn)解，如圖11所示. 圖11(a)為添加軌道不平順后磁浮橋上行車仿真計(jì)算時程結(jié)果，圖11(b)為對應(yīng)的橋梁豎向位移頻譜，可知添加軌道不平順時，磁浮橋上行車后橋梁豎向位移頻率以軌道不平順頻率為主要成分，范圍為0.3～10.0 Hz.

圖11 添加軌道不平順磁浮橋上行車后橋梁豎向位移響應(yīng)Fig.11 Vertical displacement response after driving on maglev bridge with irregularity

3.2 離線迭代混合試驗(yàn)驗(yàn)證

3.2.1 無軌道不平順的離線迭代混合試驗(yàn)

對于無軌道不平順的離線迭代混合試驗(yàn)，系統(tǒng)初始輸入為零，但考慮到磁浮車橋模型建模時的簡化處理會對結(jié)果造成一定的影響，且混合試驗(yàn)系統(tǒng)的搭建以振動臺能夠穩(wěn)定復(fù)現(xiàn)為前提，未考慮振動臺復(fù)現(xiàn)精度降低所造成的誤差，故將存在的誤差以隨機(jī)白噪聲的形式添加到系統(tǒng)初始輸入.

將系統(tǒng)初始輸入作用于磁浮列車模型，進(jìn)行離線混合試驗(yàn)，記錄同次迭代中的系統(tǒng)輸入信號和橋梁響應(yīng)信號，與無軌道不平順的橋上行車仿真結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)解進(jìn)行對比，并計(jì)算橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的誤差，結(jié)果如圖12所示.

圖12 無軌道不平順離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)解對比Fig.12 Comparison of off-line iterative hybrid test results without track irregularity with standard solutions

圖12展示了不同迭代次數(shù)中系統(tǒng)輸入、橋梁響應(yīng)與無軌道不平順橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果的對比，以及橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的響應(yīng)誤差. 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的波形逐漸吻合，響應(yīng)誤差顯著下降，并基本維持在10-3毫米級.

3.2.2 添加軌道不平順的離線迭代混合試驗(yàn)

首先確定試驗(yàn)的初始輸入信號，為保證離線迭代混合試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果與上文磁浮橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果具有對比性，將系統(tǒng)初始輸入信號選定為上文反演計(jì)算得到的磁浮軌道豎向不平順時程. 同樣考慮簡化模型及振動臺復(fù)現(xiàn)精度所帶來的誤差，對軌道不平順時程添加低幅寬頻白噪聲以模擬該影響.

將系統(tǒng)初始輸入作用于磁浮列車模型，進(jìn)行離線混合試驗(yàn)，記錄同次迭代中的系統(tǒng)輸入信號和橋梁響應(yīng)信號，與添加軌道不平順的橋上行車仿真結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)解進(jìn)行對比，并計(jì)算橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的誤差，結(jié)果如圖13所示.

圖13 添加軌道不平順離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)解對比Fig.13 Comparison of off-line iterative hybrid test results with standard solutions for adding track irregularity

圖13展示了不同迭代次數(shù)中系統(tǒng)輸入、橋梁響應(yīng)與添加軌道不平順橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果的對比，以及橋梁響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)解的響應(yīng)誤差. 可以看出，即使系統(tǒng)初始輸入有白噪聲的影響，在迭代3次后，橋梁響應(yīng)與添加軌道不平順的橋上行車仿真結(jié)果之間的響應(yīng)誤差明顯下降，并基本保持在10-2毫米級. 為更好地說明離線迭代混合試驗(yàn)方法的收斂效果，計(jì)算不添加軌道不平順和添加軌道不平順時每次迭代結(jié)果的RMSE，結(jié)果如圖14所示.

圖14 前10次迭代離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的RMSEFig.14 RMSE of the first 10 iterations of off-line iterativehybrid test results and simulation results

對比有無軌道不平順工況下前10次迭代的RMSE結(jié)果可以進(jìn)一步得出，隨著迭代次數(shù)的增加，離線迭代混合試驗(yàn)結(jié)果與橋上行車仿真計(jì)算結(jié)果間的相對誤差逐漸減小. 對于無軌道不平順工況，迭代6次后，誤差對數(shù)值下降到-4.5并基本保持不變；對于添加軌道不平順工況，迭代4次后，誤差對數(shù)值由-1.83下降到-2.98并基本保持不變，2種工況誤差結(jié)果滿足誤差小于閾值，可收斂至標(biāo)準(zhǔn)解的要求.

4 結(jié)論

1) 基于不動點(diǎn)迭代算法的離線迭代混合試驗(yàn)方法可以用于橋上行車的混合試驗(yàn)研究.

2) 研究結(jié)果均基于振動臺能夠穩(wěn)定復(fù)現(xiàn)的前提，振動臺復(fù)現(xiàn)精度的降低會對最終收斂結(jié)果造成一定的誤差.

3) 不動點(diǎn)迭代算法可實(shí)現(xiàn)信號快速收斂，對于代表實(shí)際干擾的白噪聲輸入和軌道不平順輸入，分別經(jīng)過6次和4次迭代，可以穩(wěn)定收斂.