概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用探討

許奕喆

【摘要】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)類相關(guān)專業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，在數(shù)學(xué)建模中有著廣泛的運(yùn)用.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)過(guò)程中我們需要加入實(shí)際的例子來(lái)進(jìn)行研究分析，以數(shù)學(xué)模型的方式進(jìn)行學(xué)習(xí).可見(jiàn)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)應(yīng)用是相輔相成的.基于此，本文將淺談概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用和在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想及其具體實(shí)踐.

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);建模思想;數(shù)學(xué)建模

引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的一門(mén)學(xué)科.隨著信息技術(shù)的進(jìn)步，很多學(xué)科都建立起了自己的數(shù)據(jù)庫(kù)，這樣概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)科在其中所發(fā)揮的作用就顯得更為重要了.經(jīng)過(guò)不斷嘗試與探索，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想如果能夠靈活地運(yùn)用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，將會(huì)有意想不到的效果，并且在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)也能很好地被運(yùn)用.針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，本文將淺談概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用和在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想及其具體實(shí)踐.

一、概率論與數(shù)學(xué)建模的定義及其作用

概率統(tǒng)計(jì)是指通過(guò)收集生活中的大量實(shí)際現(xiàn)象，用結(jié)果分析、猜測(cè)，對(duì)我們的生活起著十分重要的作用.比如對(duì)未來(lái)天氣的預(yù)測(cè)就是基于大量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出的，另外，在金融經(jīng)濟(jì)中，對(duì)股票升降的預(yù)測(cè)也是通過(guò)大量的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行猜測(cè)的，其在我們的生活中應(yīng)用得十分廣泛.而建模思想是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的學(xué)習(xí)方法，主要是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析還原，找到問(wèn)題的本質(zhì)，然后再模擬出一個(gè)相同的模型，通過(guò)對(duì)模型的分析研究，類比到實(shí)際問(wèn)題中，解決實(shí)際問(wèn)題.它具有將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，降低我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中的難度的作用.但是，無(wú)論是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，還是建模思想的運(yùn)用都具有許多困難，我們想要真正地把二者結(jié)合起來(lái)是十分困難的，還需要進(jìn)行很長(zhǎng)時(shí)間的探索，不斷地改進(jìn)建模方式，完善學(xué)習(xí)方式.

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中的運(yùn)用

對(duì)于生活中的實(shí)際問(wèn)題的解決，我們往往要對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中有著廣泛的運(yùn)用，如分析處理數(shù)據(jù)，對(duì)模型做預(yù)測(cè)和解決決策問(wèn)題等.

（一）概率論在數(shù)學(xué)建模中的運(yùn)用

概率論的知識(shí)在數(shù)學(xué)建模中有著廣泛的運(yùn)用，如非常經(jīng)典的報(bào)童賣報(bào)問(wèn)題，報(bào)童早上以a元/份購(gòu)進(jìn)報(bào)紙，白天以b元/份零售給顧客，晚上將沒(méi)有賣出的報(bào)紙以c元/份退回.若報(bào)童不知這一天的顧客數(shù)量，購(gòu)進(jìn)太多報(bào)紙，賣不完會(huì)賠錢(qián)，購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣會(huì)少掙錢(qián).報(bào)童要怎么對(duì)購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙數(shù)量做出決策呢？這時(shí)我們就可以運(yùn)用概率論的知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，即概率模型，對(duì)銷售額做出預(yù)測(cè)，找到使得銷售額最大的報(bào)紙數(shù)量，從而做出購(gòu)進(jìn)報(bào)紙數(shù)量的決策.可見(jiàn)，概率模型可以有效地解決這一類決策問(wèn)題，同時(shí)，概率模型體現(xiàn)了概率論在數(shù)學(xué)建模中的運(yùn)用，并能很好地解決實(shí)際問(wèn)題.

（二）數(shù)理統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中的運(yùn)用

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)以概率論為基礎(chǔ)的應(yīng)用學(xué)科，當(dāng)面對(duì)數(shù)以萬(wàn)計(jì)的數(shù)據(jù)時(shí)，人們往往希望通過(guò)少數(shù)的樣本包含的相關(guān)信息來(lái)反映樣本總體的規(guī)律.當(dāng)面對(duì)大量數(shù)據(jù)時(shí)，我們往往可以通過(guò)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題.在常用的數(shù)學(xué)模型中，有許多都體現(xiàn)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和運(yùn)用回歸分析對(duì)數(shù)據(jù)做預(yù)測(cè)等.

三、數(shù)學(xué)建模思想在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的運(yùn)用

（一）引導(dǎo)學(xué)生建立建模思維

針對(duì)如何改進(jìn)“學(xué)習(xí)難”的問(wèn)題，我們從學(xué)生的角度去看，又會(huì)有不同的看法.學(xué)生認(rèn)為概率論與統(tǒng)計(jì)的老師在教學(xué)中最主要的任務(wù)就是引導(dǎo)他們建立出有關(guān)概率的最基本的知識(shí)點(diǎn)——不確定、隨機(jī)性，然后再向他們介紹數(shù)學(xué)建模的操作方式及具體作用，讓他們對(duì)這兩個(gè)概念有一定的認(rèn)識(shí)，這樣他們才能更好地運(yùn)用它們.從我們自身的教學(xué)感受上來(lái)看，我們認(rèn)為有必要重新考慮當(dāng)前高?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)導(dǎo)入目前較為熱門(mén)的、與之相關(guān)的科學(xué)技術(shù)、方法和概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，使傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式與現(xiàn)代的先進(jìn)技術(shù)相結(jié)合，促使學(xué)習(xí)方式具有突破性的改變.同時(shí)，我們還可以在常規(guī)的教學(xué)任務(wù)中加入一些反映當(dāng)前社會(huì)熱點(diǎn)的各種實(shí)際問(wèn)題，如社會(huì)中的股票升降問(wèn)題，估計(jì)一種新產(chǎn)品在上市后的銷售情況，工程上的質(zhì)量評(píng)估報(bào)告分析，社會(huì)學(xué)中人民群眾對(duì)艾滋病的了解程度的社會(huì)調(diào)查報(bào)告，某服裝廠上個(gè)季度與這個(gè)季度銷售額的對(duì)比分析及存在的問(wèn)題等，使學(xué)生從本質(zhì)上對(duì)用建模思想解決實(shí)際問(wèn)題有更為直觀的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生極其濃厚的興趣，從而改變?cè)缺粍?dòng)地接受灌輸知識(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，主動(dòng)地去學(xué)習(xí)新知識(shí)，溫習(xí)舊知識(shí).

（二）加強(qiáng)建模思想的運(yùn)用

如何讓學(xué)生在課堂的學(xué)習(xí)中達(dá)到最大效率？我們認(rèn)為應(yīng)該讓學(xué)生拋棄“完全聽(tīng)講”的學(xué)習(xí)方法，而是采取聯(lián)想、啟發(fā)等方式，真正體會(huì)建模思想在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的作用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從根本上解決學(xué)生不愛(ài)學(xué)，不想學(xué)的問(wèn)題.我們想要真正地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，就要深入學(xué)生當(dāng)中，了解學(xué)生的真實(shí)想法，再根據(jù)學(xué)生的想法進(jìn)行備課，具有針對(duì)性地解決問(wèn)題.另外，在如今教育改革的要求下，我們需要對(duì)學(xué)習(xí)課堂進(jìn)行創(chuàng)新.將建模思想應(yīng)用到概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)中，就十分鮮明地體現(xiàn)出了這個(gè)特點(diǎn).當(dāng)然，如何運(yùn)用好建模思想，是我們應(yīng)該好好考慮的問(wèn)題，學(xué)生也應(yīng)該自己主動(dòng)配合老師的工作，共同建立起良好的課堂氛圍，把建模思想真正運(yùn)用起來(lái).這時(shí)，我們需要把教材中所呈現(xiàn)的例子還原、分解，用最原始的思路去考慮問(wèn)題，把困難的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，用虛擬的方式建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)模型分析，找出我們所需要的內(nèi)容，再還原到例子中，看是否符合我們的具體需要.

例如在講解《二項(xiàng)分布》這一章節(jié)時(shí)，我們可以先通過(guò)電腦互聯(lián)網(wǎng)找到一個(gè)實(shí)際生活中的具體問(wèn)題，再模擬出一個(gè)類似的模型，接著運(yùn)用歸納類比的方法，得出這樣一個(gè)結(jié)論：小球被投出5000次后的落點(diǎn)分布的集散程度與二項(xiàng)分布在理想條件下的圖形是有點(diǎn)類似的，這既讓學(xué)生從中明白了二項(xiàng)分布是如何產(chǎn)生的，又讓學(xué)生明白了如何用已知的、明確的實(shí)際問(wèn)題去檢驗(yàn)處于猜想中的、理論的模型，同時(shí)使學(xué)生加深了對(duì)“頻率近似于概率”這一知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知，了解了如何用計(jì)算機(jī)去模擬實(shí)際問(wèn)題，建立模型的方法.又如在講解正態(tài)分布時(shí)，我們需要先提出問(wèn)題：“為什么我們需要假設(shè)我們的研究對(duì)象服從正態(tài)分布呢？是因?yàn)檫@樣才能建立模型嗎？為什么可以這樣假設(shè)呢？”然后我們向?qū)W生介紹此定理，主要是介紹該定理在社會(huì)生活中的實(shí)際運(yùn)用情況.另外，我們還可以通過(guò)計(jì)算機(jī)功能，來(lái)模擬某個(gè)正態(tài)分布的具體延展，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的思考，也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維.我們還認(rèn)為，對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)知識(shí)的講授，不應(yīng)該僅僅只是以傳播知識(shí)為目的，還應(yīng)注意對(duì)知識(shí)的拓展與延伸，注意對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)，解除學(xué)生思想上的束縛，讓學(xué)生可以用創(chuàng)新型的思維來(lái)思考問(wèn)題.例如，事件問(wèn)題中有關(guān)事件的獨(dú)立性和互斥性是兩個(gè)完全不同的概念，我們?cè)谏险n的時(shí)候要著重地講這一點(diǎn)，直到學(xué)生都能分清，更需要采用嚴(yán)格證明和舉實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明，以確保在知識(shí)點(diǎn)傳授中學(xué)生對(duì)知識(shí)認(rèn)知的完整性與緊密性.總而言之，在課堂上，教師采用誘導(dǎo)式的方法來(lái)教學(xué)，不僅能培養(yǎng)學(xué)生積極的思維，還能以一種全新的方式改變學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，使學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣，從根本上提高學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行問(wèn)題的研究分析，以及自己利用建模方式解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

（三） 加強(qiáng)實(shí)踐性學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)

針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中缺乏實(shí)踐活動(dòng)的問(wèn)題，我們要加強(qiáng)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的引進(jìn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生積極采用建模的思想去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.我們加入具體的實(shí)踐性較強(qiáng)的案例，讓學(xué)生自身去領(lǐng)悟建模的整個(gè)過(guò)程，即從最基本的問(wèn)題還原做起，然后分析問(wèn)題，建立一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的模型，對(duì)模型進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)研究數(shù)據(jù)，得出結(jié)論，最后再驗(yàn)證結(jié)果是否符合需求.原則上，整個(gè)過(guò)程都應(yīng)該由學(xué)生獨(dú)立完成，遇到確實(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題時(shí)再尋求老師的幫助.我們有理由相信，在這樣結(jié)合實(shí)際的學(xué)習(xí)方式下，學(xué)生對(duì)建模思想的領(lǐng)悟程度會(huì)有質(zhì)的變化，同時(shí)也讓學(xué)生對(duì)建模過(guò)程有了一個(gè)更為完整的了解，這為學(xué)生以后進(jìn)行相關(guān)的科學(xué)研究或者社會(huì)調(diào)查時(shí)運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，打下了一個(gè)可靠的基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)學(xué)生建模思想的培養(yǎng)也有了一個(gè)全面的發(fā)散性，對(duì)提升學(xué)生自身的素質(zhì)具有重要作用.

（四）建立開(kāi)放的考核方式

在當(dāng)前大學(xué)的學(xué)習(xí)制度中，期末考試是檢驗(yàn)一個(gè)學(xué)生是否認(rèn)真學(xué)習(xí)的重要方式，它從側(cè)面反映出了學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中的學(xué)習(xí)效率及學(xué)習(xí)的認(rèn)真度.其對(duì)任何一個(gè)學(xué)科都具有非常重要的作用，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié).在當(dāng)今的教育下，考核制度一般由兩個(gè)部分組成：閉卷考和形成性考核.形成性考核主要是指學(xué)生在一個(gè)學(xué)期中的學(xué)習(xí)情況，包括考勤情況、日常作業(yè)、課堂回答問(wèn)題的情況等等，其考核結(jié)果占到總成績(jī)的五分之二.而閉卷考占總成績(jī)的五分之三.在這樣一個(gè)基本現(xiàn)狀下，我們希望學(xué)?？梢苑艑捒己肆Χ?，建立更為靈活和開(kāi)放的考核制度，主要是加大日常作業(yè)的比重，同時(shí)加大日常作業(yè)的開(kāi)放性，增加學(xué)生課外的實(shí)踐作業(yè).當(dāng)然，對(duì)于概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)，我們可以開(kāi)展難度更大的社會(huì)調(diào)查任務(wù)，要求學(xué)生通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析的方式做出報(bào)告，最后的考核也可以依據(jù)學(xué)生的社會(huì)調(diào)查來(lái)給予評(píng)價(jià)，給出分?jǐn)?shù)，作為學(xué)生形成性考核的結(jié)果.這樣的方式更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，相信學(xué)生都會(huì)更加重視、更加認(rèn)真地完成社會(huì)調(diào)查，同時(shí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真做事，不驕不躁的品格.

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，我們將建模思想應(yīng)用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)的好習(xí)慣，這對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量有著重要的意義，并且將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)運(yùn)用在數(shù)學(xué)建模中，有利于解決實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)，建模思想的運(yùn)用也對(duì)我們提出了更高的要求，要求我們對(duì)問(wèn)題的分析研究等要更加細(xì)致認(rèn)真，對(duì)學(xué)生的關(guān)注度更高，與學(xué)生的聯(lián)系更加緊密.總之，數(shù)學(xué)建模思想的發(fā)展是遠(yuǎn)大的，更是艱難的，需要老師與學(xué)生一起努力.

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