路面不平順激勵(lì)下車(chē)輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)譜矩的簡(jiǎn)明封閉解

李創(chuàng)第 李宇翔 葛新廣

摘? 要：工程上常將路面不平順看作具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.針對(duì)路面不平順激勵(lì)下車(chē)輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)無(wú)封閉解的問(wèn)題，提出了一種簡(jiǎn)明封閉解法.綜合運(yùn)用復(fù)模態(tài)法和虛擬激勵(lì)法將基于不平順路面譜激勵(lì)下的車(chē)輛系統(tǒng)的響應(yīng)功率譜二次正交化，獲得了車(chē)輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)方差、0—2階譜矩及絕對(duì)加速度方差的簡(jiǎn)明封閉解.運(yùn)用本文方法對(duì)一類(lèi)車(chē)輛系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行分析，并與虛擬激勵(lì)法進(jìn)行對(duì)比.研究表明本文方法所得方差和譜矩的封閉解法的正確性.

關(guān)鍵詞：路面不平順;譜矩;簡(jiǎn)明封閉解;功率譜二次正交化

中圖分類(lèi)號(hào)：U461.56? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.003

0? ? 引言

工程上將路面不平順作為一種平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)[1-3]，是引起行駛中的車(chē)輛系統(tǒng)振動(dòng)的根源，影響著駕乘人員的舒適度[4-6]，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者近年來(lái)對(duì)此進(jìn)行了大量的研究[3-4，7].方同等[8]從時(shí)域法的角度研究了車(chē)輛系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題，但響應(yīng)方差的表達(dá)式較為復(fù)雜.桂水榮等[9-10]將一類(lèi)車(chē)輛系統(tǒng)等效為九自由度彈簧-阻尼-質(zhì)量模型，運(yùn)用虛擬激勵(lì)法研究了車(chē)輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的功率譜.張寶海等[11-12]則是由虛擬激勵(lì)法對(duì)車(chē)輛隨機(jī)振動(dòng)平穩(wěn)性進(jìn)行了分析，獲得了響應(yīng)的功率譜.上述基于虛擬激勵(lì)法所獲得的車(chē)輛系統(tǒng)振動(dòng)的功率譜，需要經(jīng)過(guò)數(shù)值積分才能獲得車(chē)輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的方差和譜矩，存在計(jì)算精度不高和效率低下的問(wèn)題，不易于工程應(yīng)用.

針對(duì)已有方法分析路面激勵(lì)下車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)分析存在的不足，基于功率譜的二次正交化法[13-14]成功獲得了車(chē)輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的0—2階譜矩及加速度方差的簡(jiǎn)明封閉解法.首先，基于留數(shù)定理[15]提出了路面譜的二次正交式;其次，利用復(fù)模態(tài)方法[3]和虛擬激勵(lì)法[16]提出了車(chē)輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的頻率響應(yīng)特征值函數(shù)的二次正交式，進(jìn)而獲得車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的二次正交式;最后，根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論中譜矩的定義，獲得了車(chē)輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的0階、2階和4階譜矩的簡(jiǎn)明封閉解.

1? ? ?車(chē)輛系統(tǒng)受路面不平順激勵(lì)下的統(tǒng)一

頻域解

1.1? ?車(chē)輛系統(tǒng)受路面不平順激勵(lì)下的振動(dòng)方程

目前我國(guó)于公路行駛的載重車(chē)輛主要是二軸、三軸汽車(chē).本文選擇較為常見(jiàn)的三軸民用自卸汽車(chē)作為研究對(duì)象，考慮車(chē)體豎向振動(dòng)、俯仰翻轉(zhuǎn)以及車(chē)輪的振動(dòng)，將車(chē)輛簡(jiǎn)化為5個(gè)自由度的振動(dòng)體系，車(chē)輛簡(jiǎn)化模型如圖1所示.

圖1? ?整車(chē)模型

圖1中車(chē)輛各參數(shù)的含義如下：

[kf1、kf2、kf3]為車(chē)輛前、中、后軸懸架彈簧剛度;[kt1、kt2、kt3]為前、中、后軸車(chē)輪剛度;[cf1、cf2、cf3]為車(chē)輛前、中、后軸懸架阻尼系數(shù);[ct1、ct2、ct3]為車(chē)輛前、中、后軸車(chē)輪阻尼系數(shù);[mf1、mf2、mf3]為車(chē)輛前、中、后軸懸架系統(tǒng)質(zhì)量;[Icx]為車(chē)廂俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;[θ]為俯仰角;[mt1、mt2、] [mt3]為車(chē)輛前、中、后輪胎質(zhì)量;[a、b、c]為前、中、后軸到車(chē)輛質(zhì)心的距離;[zf1、zf2、zf3]為車(chē)輛前、中、后軸懸架系統(tǒng)相對(duì)于地面的位移;[zcx]為車(chē)廂質(zhì)心相對(duì)于地面的位移.

建立五自由度整車(chē)模型振動(dòng)方程為：

[Mz+Cz+Kz=αr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中：[z、z、z]分別為車(chē)輛系統(tǒng)各自由度相對(duì)于地面的加速度、速度和位移，[M]為車(chē)輛系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，[C]為車(chē)輛系統(tǒng)的阻尼矩陣，[K]為車(chē)輛系統(tǒng)的剛度矩陣，[r]為路面不平度.其表達(dá)式分別為[M=diag（mf1， mf2， mf3， mcx， Icx）]，

1.2? ?車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)的頻域統(tǒng)一解

引入狀態(tài)變量：

[y=zzT]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

可將車(chē)輛系統(tǒng)（1）改寫(xiě)為：

[My+Ky=αr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

式中：

[M=01MMC，? K=-M0101K，α=02αT]

其中：[01]為5×5矩陣，其元素均為0;[02]為5×1矩陣，其元素均為0 ;T為矩陣轉(zhuǎn)置.

由復(fù)模態(tài)法理論可知，存在左右特征向量[V]、[U]和特征矩陣[p]使方程（3）解耦.特征矩陣[p]可由方程（3）的特征值方程解得：

[Mp+K=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

式中，[·]表示行列式.

左、右特征向量也可由式（3）的特征值方程得：

[Mp+KU=0，? Mp+KTV=0]? ? ? ? ?（5）

式中，特征矩陣[p]：

[p=VTKUVTMU]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

引入復(fù)模態(tài)變換：

[y=Ux]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

將式（7）代入式（3）得：

[MUx+KUx=αr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

簡(jiǎn)化得：

[x+px=ηr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

式中：[η=VTαVTMU]，為[10×10]矩陣.

由于[p]為對(duì)角矩陣，可得出式（9）的分量形式如下：

[xk+pkxk=ηk，ir（k=1， 2， …， 10）]? ? ? ? ?（10）

式中，[ηk，i]表示[η]矩陣中第[k]行第[i]列的元素.

由虛擬激勵(lì)法可以得出式（10）的頻域解如下：

[xk（ω）=ηkpk+jωSr（ω）ejωt]? ? ? ? ? ?（11）

其中：[j=-1].

由式（2）和式（7），車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)的頻域解：

[z=k=110（Ul，kxk（ω））]? ? ? ? ? ? ? ? ?（12a）

[z=k=110（Ul+5，kxk（ω））]? ? ? ? ? ? ?（12b）

其中：[Ul，k]表示右特征向量[U]第[l]行第[k]列的元素.

從式（12）可知車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)的位移及速度，可統(tǒng)一表示為：

[D=k=110（Ul，kxk（ω））]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

2? ? 車(chē)輛系統(tǒng)頻域響應(yīng)特征函數(shù)

的正交式

由虛擬激勵(lì)法，則[D]的響應(yīng)功率譜為：

[SD（ω）=k=110i=110（Ul，kUl，ixk（ω）x?i（ω））]? ? ? ?（14）

其中：[z?k（ω）]是[zk（ω）]的共軛項(xiàng)，即[z?k（ω）=zk（-ω）].

由式（11）可知， [D]的響應(yīng)功率譜為：

[SD（ω）=k=110i=110（Ul，kUl，iηkpk+jωSr（ω）×ejωt×]

[ηipi-jωSr（ω）×e-jωt）=Sr（ω）HD（ω）]? ?（15）

式中：

[HD（ω）=k=110i=110（Ul，kUl，iηkpk+jω×ηipi-jω）]? ? ?（16）

由式（16）可知，[H（ω）]與激勵(lì)無(wú)關(guān)，與系統(tǒng)的模態(tài)特征值和要分析的響應(yīng)量的模態(tài)參與系數(shù)有關(guān)，故稱(chēng)之為系統(tǒng)頻域響應(yīng)特征函數(shù).

對(duì)式（16）簡(jiǎn)化為：

[H（ω）=k=110（U2l，kAk）+k=19i=k+110（Ul，kUl，iBi，k）]? ?（17）

式中：

[Ak=xkx?k]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18a）

[Bi，k=xix?k+xkx?i]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18b）

將式（11）代入式（18a）可得：

[Ak=ηkpk+jω×ηkpk-jω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（19）

將式（11）代入式（18b）可得：

[Bik=ηkpk+jωηipi-jω+ηkpk-jωηipi+jω]? ? （20）

對(duì)式（20）以下部分進(jìn)行簡(jiǎn)化：

[1pi+jω1pk-jω+1pi-jω1pk+jω=1pi+pk（1pi+jω+1pk-jω+1pi-jω+1pk+jω）=]

[1pi+pk（2pip2i+ω2+2pkp2k+ω2）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

把式（21）代入式（20）則：

[Bik=ηkηipi+pk（2pip2i+ω2+2pkp2k+ω2）]? ? ? ? （22）

把式（19）、式（22）代入式（17），則結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)頻域響應(yīng)特征函數(shù)為：

[HD（ω）=][k=110U2l，kη2kp2k+ω2+2k=19i=k+110Ul，kUl，iηkηipi+pk（pip2i+ω2+]

[pkp2k+ω2）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

3? ? 路面譜的二次正交式

由文獻(xiàn)[8]提出的車(chē)輛行駛時(shí)的空間域譜表達(dá)式為：

[Sr（k）=1πV（k20+k2）（k20-k2）2+4V2k2]? ? ? ? （24）

式中：[V=0.1] [s-1]，[k20=0.1] [s-2].

式（1）的正交化形式：

[Sr（k）=1πV（k20+k2）（k20-k2）2+4V2k2=1πi=12dik2+k2i]

式中：

[k21=-k21，k22=-k22，d1=V（k20+k21）k21-k22，d2=V（k20+k22）k22-k21，k21=k20-2V2+4VV2-k20，k22=k20-2V2-4VV2-k20]

圓頻率功率譜與空間域功率譜的關(guān)系為：

[Sr（ω）=1vSr（k）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）

式中：[v]為速度.

則可得出路面不平順激勵(lì)下車(chē)輛系統(tǒng)的相應(yīng)功率譜為：

[Sr（ω）=vπ（d1ω2+（vk1）2+d2ω2+（vk2）2）]? ? ? ?（26）

將式（26）和式（23）代入式（15）可知，D的響應(yīng)功率譜為：

[SD（ω）=k=110（U2l，kη2kp2k+ω2vπ（d1ω2+（vk1）2+d2ω2+（vk2）2））+? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k=19i=k+110（Ul，kUl，iηkηipi+pk（pip2i+ω2+pkp2k+ω2）vπ·]

[（d1ω2+（vk1）2+d2ω2+（vk2）2））]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （27）

4? ? 車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)譜矩的新解法

由隨機(jī)振動(dòng)理論[3]可知，隨機(jī)激勵(lì)作用下線(xiàn)性結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的0階譜矩都與位移響應(yīng)的方差相等;位移響應(yīng)的2階譜矩與速度響應(yīng)的方差相等;位移響應(yīng)的4階譜矩與速度響應(yīng)的2階譜矩相等，同時(shí)也與加速度的方差相等，而振動(dòng)加速度是結(jié)構(gòu)舒適度分析的主要參數(shù).位移響應(yīng)的1階譜矩是基于Markov分布的動(dòng)力可靠度分析的重要參數(shù)之一，為此需要對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的0—2階及4階譜矩進(jìn)行分析.

由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的譜矩的定義：

[αD，q=0∞SD（ω）ωqdω? （q=0， 1， 2）]? ? ? ?（28）

4.1? ?車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)0—2階譜矩分析

把式（27）代入式（28），則結(jié)構(gòu)響應(yīng)的[q]階譜矩：

[αD，q=][k=110（U2l，kη2kχk，q）+k=19i=k+110（Ul，kUl，iηkηipi+pk（2piχi，q+2pkχk，q））]

（29）

其中：

[χk，q=0∞Sr（ω）1p2k+ω2dω]? ? ? ? ? ?（30）

對(duì)[χk，q]進(jìn)行積分，可獲得封閉解，推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄.

[χk，0=d1p2k-（vk1）π2（1（vk1）-1pk）+d2p2k-（vk2）π2（1（vk2）-1pk）];[χk，1=d121p2k-（vk1）ln（p2k（vk1））+d221p2k-（vk2）ln（p2k（vk2））];

[χk，2=d1π2pk-（vk1）χk，0+d2π2pk-（vk2）χk，0].

4.2? ?車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)的4階譜矩分析

車(chē)橋耦合振動(dòng)舒適度取決于車(chē)輛系統(tǒng)的絕對(duì)加速度.由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，車(chē)輛系統(tǒng)絕對(duì)加速度的方差等于車(chē)輛系統(tǒng)絕對(duì)位移的4階譜矩，而絕對(duì)位移的4階譜矩等于絕對(duì)位移變化率的2階譜矩.由式（12b）及式（28）可知，車(chē)廂豎向位移的絕對(duì)加速度可表示為：

[σ2z4=αz4，2=k=110（U9，kU9，kηkηkχk，2）+]

[k=19i=k+110（U9，kU9，iηkηipi+pk（2piχi，2+2pkχk，2））]? ? ?（31）

俯仰轉(zhuǎn)角的絕對(duì)變化率可表示為：

[σ2z5=k=110（U210，kη2kχk，2）+]

[2k=19i=k+110（U10，kU10，iηkηipi+pk×（piχi，2+pkχk，2））]? （32）

由式（28）、式（30）—式（31）可知，本文獲得了車(chē)輛系統(tǒng)響應(yīng)0—2階譜矩和加速度方差的封閉解，在計(jì)算響應(yīng)時(shí)無(wú)需積分，相對(duì)于傳統(tǒng)方法具有良好的計(jì)算精度和效率.

5? ? 算例

本文參考文獻(xiàn)[9]選取一輛三軸民用自卸汽車(chē)以[40] km/h的速度于某公路上行駛時(shí)的情況， 其前、中、后輪質(zhì)量分別為[mt1]=297 kg、[mt2]=466 kg、? ? [mt3]=466 kg;車(chē)廂質(zhì)量[mcx]=30 542 kg;前、中、后軸距車(chē)身的距離和車(chē)輛質(zhì)心的距離分別為[a]=3.4 m、[b]=0.2 m、[c]=1.4 m;車(chē)廂側(cè)翻轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[Icx]=6 893 kg·m2;前、中、后輪的剛度系數(shù)分別為[kt1]=3 390 N·mm-1、[kt2]=3 390 N·mm-1、[kt3]=3 390 N·mm-1;前、中、后軸懸架剛度系數(shù)分別為[kf1]=7 900 N·mm-1、[kf2]=7 900 N·mm-1、[kf3]=27 300 N·mm-1;前、中、后軸懸架阻尼系數(shù)分別為[cf1]=27 300 N·S·mm-1、? ? ? [cf2]=3 800 N·S·mm-1、[cf3]=3 800 N·S·mm-1;前、中、后輪胎阻尼系數(shù)均為[0].

5.1? ?路面譜的等效形式驗(yàn)證

圖2為本文所提路面譜的二次正交式與其有理式的差值趨勢(shì)圖，[ΔS（ω）]值很小，可忽略不計(jì)且逐漸趨近于0，驗(yàn)證了本文所提二次正交式的正確性.圖3為本文方法的路面功率譜與傳統(tǒng)的虛擬激勵(lì)法的路面功率譜的對(duì)比，由圖3可知，功率譜基本重合，從而可知本文方法的功率譜的正確性.

5.2? ?本文方法的驗(yàn)證

虛擬激勵(lì)法分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差和譜矩時(shí)需對(duì)功率譜密度函數(shù)在[0， ∞）區(qū)間進(jìn)行積分，常采用在顯著頻率范圍內(nèi)進(jìn)行數(shù)值積分，而顯著頻率范圍是隨著激勵(lì)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征有關(guān)，為了達(dá)到精度要求，常需要對(duì)顯著區(qū)間進(jìn)行試算.積分步長(zhǎng)越小，積分上限越大，虛擬激勵(lì)法越準(zhǔn)確.為此，通過(guò)虛擬激勵(lì)法的積分區(qū)間和積分步長(zhǎng)對(duì)精度的影響進(jìn)行分析來(lái)驗(yàn)證本文方法的正確性.

5.2.1? ?積分區(qū)間對(duì)虛擬激勵(lì)法精度的影響分析

虛擬激勵(lì)法的積分區(qū)間分別取[0， 2] rad/s、? [0， 5] rad/s、[0， 25 ]rad/s，計(jì)算車(chē)輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)位移的譜矩并與本文方法進(jìn)行對(duì)比，如圖4—圖7所示.從各圖可知，隨著積分步長(zhǎng)的增加，虛擬激勵(lì)法所得結(jié)果逼近本文方法，從而說(shuō)明本文方法為封閉解.

從圖4可知，對(duì)于0階譜矩，虛擬激勵(lì)法的積分區(qū)間取[0， 5] rad/s，即可達(dá)到很高的精度;對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)1—2階譜矩、加速度方差，從圖6和圖7可知，虛擬激勵(lì)法的積分區(qū)間取[0， 25] rad/s才可以達(dá)到很高的精度.

5.2.2? 積分步長(zhǎng)對(duì)虛擬激勵(lì)法的影響

根據(jù)4.2.1的分析可得，積分區(qū)間為[0，25] rad/s時(shí)，虛擬激勵(lì)法與本文方法在計(jì)算譜矩時(shí)完全吻合.為了分析虛擬激勵(lì)法積分步長(zhǎng)對(duì)其精度的影響，分別取3種積分步長(zhǎng)為1.000 rad/s、0.100 rad/s、0.001 rad/s.圖8—圖11所示為不同積分步長(zhǎng)下虛擬激勵(lì)法分析譜矩與本文方法的對(duì)比圖.從圖中可以得出，隨著積分步長(zhǎng)的減小，計(jì)算結(jié)果與本文方法越接近，由此可以驗(yàn)證本文方法的正確性.

6? ? 結(jié)論

本文研究了基于方同路面譜的車(chē)輛隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)0—2階譜矩及加速度方差的簡(jiǎn)明封閉解，獲得如下結(jié)論：

1）本文綜合運(yùn)用復(fù)模態(tài)法和虛擬激勵(lì)法將基于不平順路面譜激勵(lì)下的車(chē)輛系統(tǒng)的響應(yīng)功率譜表示成系統(tǒng)復(fù)模態(tài)振動(dòng)特征值與頻率自變量平方和的倒數(shù)的線(xiàn)性組合，即響應(yīng)功率譜的二次正交化，為車(chē)輛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)0—2譜矩及加速度方差的封閉解奠定基礎(chǔ).

2）利用本文方法可以方便獲得結(jié)構(gòu)位移、結(jié)構(gòu)位移變化率的統(tǒng)一顯式簡(jiǎn)明表達(dá)式，并得出了車(chē)輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)位移的0階、2階和4階譜矩的封閉解析解，與虛擬激勵(lì)法進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性.

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Concise closed-form solution of vibration response spectral moment of vehicle system under road irregularity excitation

LI Chuangdi， LI Yuxiang， GE Xinguang*

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： Aiming at the problem that there is no closed-form solution for the random vibration? ? ? ? ? ?response of vehicle system under the excitation of road roughness， a concise closed-form solution is proposed. Pavement irregularity is often regarded as a stationary stochastic process with zero mean? ?value in engineering. In this paper， the complex mode method and virtual excitation method are used to orthogonalize the response power spectrum of vehicle system based on spectrum excitation of uneven pavement. The simple closed-form solutions of variance of random vibration response， 0-2 order? ? ?spectral moment and absolute acceleration variance of vehicle system are obtained. The vibration of a kind of vehicle system is analyzed by using this method and compared with the virtual excitation? ? ?method. The results show that the closed-form solution of variance and spectral moment obtained by this method is correct.

Key words： road roughness; spectral moment; concise closed-form solution; quadratic orthogonalization of power spectrum