導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

王元昆

貴陽市第一中學(xué)

一、引言

作為數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，導(dǎo)數(shù)可以幫助人們分析因變量隨自變量的變化速率。在分析電場(chǎng)強(qiáng)度、化學(xué)反應(yīng)速率、確定某一種群中雌性個(gè)體的數(shù)量變化規(guī)律時(shí)，人們都需要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)?？梢哉f，導(dǎo)數(shù)在科學(xué)研究、工業(yè)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

經(jīng)濟(jì)學(xué)家常常需要對(duì)市場(chǎng)中經(jīng)濟(jì)資源的利用進(jìn)行研究。自由經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)的政府工作人員也需要根據(jù)經(jīng)濟(jì)變量的變化情況，評(píng)估當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)狀況。經(jīng)濟(jì)分析通常被定義為確定稀缺或有限經(jīng)濟(jì)資源的最佳利用的系統(tǒng)方法，它是用來評(píng)估企業(yè)、地區(qū)、國家的經(jīng)濟(jì)狀況的主要工具。應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家可以高效地闡述關(guān)于經(jīng)濟(jì)體系的學(xué)術(shù)觀點(diǎn)，分析復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)學(xué)問題。企業(yè)的管理者可以高效地對(duì)多種經(jīng)營問題進(jìn)行定量，準(zhǔn)確地把握經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，從而制定正確的戰(zhàn)略。

二、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的優(yōu)勢(shì)

（一）準(zhǔn)確地把握經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系

應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識(shí)，人們可以準(zhǔn)確、高效地把握變量之間的關(guān)系。在研究某一國家或地區(qū)的居民的消費(fèi)習(xí)慣時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常常需要分析，當(dāng)人們的收入水平提高時(shí)，他們的消費(fèi)水平將如何發(fā)生變化。這兩個(gè)變量的單位是相同的，但是它們的關(guān)系卻不是線性的。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，人們可以計(jì)算當(dāng)收入每增加一個(gè)非常微小的單位時(shí)，消費(fèi)將會(huì)發(fā)生什么方向、多大的變化，這種變化與收入的增量的比值是多少。導(dǎo)數(shù)可以幫助經(jīng)濟(jì)學(xué)研究者準(zhǔn)確地把握消費(fèi)與收入的關(guān)系。類似地，當(dāng)人們需要分析成本、收入、利潤與產(chǎn)量或雇傭人數(shù)的關(guān)系時(shí)，或者投資收益和投入資金的關(guān)系時(shí)，他們都可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，定量地、高效地分析相關(guān)問題，得到準(zhǔn)確的結(jié)論。

（二）預(yù)測(cè)某些經(jīng)濟(jì)變量的發(fā)展趨勢(shì)

導(dǎo)數(shù)還能夠幫助人們預(yù)測(cè)某些經(jīng)濟(jì)變量的發(fā)展趨勢(shì)。讓我們來分析著名的古諾問題：在壟斷市場(chǎng)中有兩家企業(yè)，它們生產(chǎn)的某種商品幾乎完全相同，且它們的生產(chǎn)工藝、生產(chǎn)成本也是相同的。其定價(jià)必然也是相同的。因?yàn)槿绻骋环降亩▋r(jià)低于另一方，那么人們就會(huì)購買將價(jià)格定得較低的廠商的商品。在制定生產(chǎn)策略時(shí)，這兩家企業(yè)的決策者可能需要分析在擴(kuò)大產(chǎn)量后對(duì)方的決策—對(duì)方的產(chǎn)量將會(huì)如何變化。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，決策者可以建立含有兩個(gè)變量—己方銷量和對(duì)方銷量的模型，并結(jié)合博弈論的知識(shí)進(jìn)行推演，從而預(yù)測(cè)對(duì)手對(duì)自己的增產(chǎn)決策的反應(yīng)，以及該種商品的市場(chǎng)價(jià)格的變化。如果不應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，那么人們很難準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)這些經(jīng)濟(jì)變量的變化趨勢(shì)。

（三）制定最優(yōu)解決方案

導(dǎo)數(shù)還可以幫助企業(yè)的經(jīng)營者管理者確定最佳價(jià)格、最佳產(chǎn)量及最佳銷量，從而實(shí)現(xiàn)利潤的最大化。當(dāng)人們想要通過改變某一影響因素，實(shí)現(xiàn)成本最小化、收入最大化或利潤最大化時(shí)，他們可以將這一影響因素量化，并建立能夠描述該因素與成本、收入或利潤的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。然后，就可以通過求解成本、收入或利潤對(duì)該因素的導(dǎo)數(shù)，找出相關(guān)函數(shù)的駐點(diǎn)，從而確定如何控制上述影響因素可以達(dá)到成本最小化、收入最大化或利潤最大化的目的[1]。

三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

（一）求解最優(yōu)產(chǎn)量及銷量

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到與生產(chǎn)量和銷售量相關(guān)的問題。如何確定最合適的生產(chǎn)量及銷售量，使利潤更高，是一個(gè)非常常見的問題。在遇到這類問題時(shí)，我們可以應(yīng)用邊際分析，結(jié)合生產(chǎn)成本、銷售費(fèi)用、銷售單價(jià)等，確定最合適的生產(chǎn)量及銷售量。這可以使企業(yè)制定更合適的生產(chǎn)計(jì)劃，保持企業(yè)的平穩(wěn)發(fā)展。

1.運(yùn)用邊際分析求解最優(yōu)產(chǎn)量

在確定最優(yōu)產(chǎn)量的過程中，我們需要對(duì)產(chǎn)品的邊際成本進(jìn)行分析。首先，我們對(duì)邊際成本的概念進(jìn)行介紹。我們把某產(chǎn)品的產(chǎn)量作為自變量q，把生產(chǎn)過程中的總成本（包括固定成本及可變成本）作為因變量C，就可以得到總生產(chǎn)成本函數(shù)C=C(q)。當(dāng)產(chǎn)量增加Δq，即產(chǎn)量由q變?yōu)閝＋Δq時(shí)，總成本將由C變?yōu)棣，其變化量即為ΔC，我們對(duì)ΔC與Δq的比值進(jìn)行分析，就可以得知，每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品時(shí)，總成本將上升多少，這就是邊際成本的概念。一般而言，隨著產(chǎn)量的提升，邊際成本會(huì)逐漸下降，這就是生產(chǎn)的規(guī)模效應(yīng)?？梢苑治鲞呺H成本的變化規(guī)律，從而確定最合適的生產(chǎn)規(guī)模，從而求得最優(yōu)產(chǎn)量[2]。

2.運(yùn)用邊際分析求解最優(yōu)銷量

許多人認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)盡量提高銷量。銷量越高，企業(yè)的總收入越高。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，銷量并非越高越好。在一些供過于求的情況下，如果企業(yè)一味追求高銷量，可能會(huì)導(dǎo)致一些產(chǎn)品以低于成本的價(jià)格賣出，這對(duì)企業(yè)的長期發(fā)展非常不利。因此，我們需要運(yùn)用邊際分析，確定最合適的銷量，使企業(yè)在獲得較高收入的同時(shí)，保持平穩(wěn)發(fā)展。

在確定最優(yōu)銷量的過程中，我們同樣需要進(jìn)行邊際分析。應(yīng)當(dāng)同時(shí)考慮價(jià)格和產(chǎn)量，才能得到最優(yōu)銷量，提高銷售收入。可以把某商品的銷量作為自變量q，把銷售過程中的獲得的總收入作為因變量R，用q表示相應(yīng)的價(jià)格p之后，就可以得到銷售收入函數(shù)R=R(q)。通過求解R(q)對(duì)q的導(dǎo)數(shù)，人們就可以得到最佳銷量，以及對(duì)應(yīng)的價(jià)格[3]。

（二）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解最佳定價(jià)

1.經(jīng)濟(jì)學(xué)中彈性的含義

若函f(x)在x0的臨近區(qū)域內(nèi)數(shù)有定義，且且f（x）≠0，若極限存在，則將該極限的值記為函數(shù)f(x)在x0處的彈性，通常記為，則可求出。

2.需求價(jià)格彈性的含義

若用Q 表示某一商品在市場(chǎng)中的需求量，p表示商品的價(jià)格，且二者構(gòu)成的需求函數(shù)存在導(dǎo)函數(shù)，則將稱作該商品的需求價(jià)格彈性，記作εp。

根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，當(dāng)某一商品的價(jià)格上漲時(shí)，顧客可能會(huì)做出減少購買量或者不購買的決策，也就是說，該商品的市場(chǎng)需求量將會(huì)下跌。一些經(jīng)濟(jì)學(xué)研究證實(shí)了這一原理，因此εp的值通常小于0。我們常常以εp的絕對(duì)值為參考，研究對(duì)象，對(duì)市場(chǎng)需求及消費(fèi)者行為做出預(yù)測(cè)，從而制定較為合理的生產(chǎn)及銷售計(jì)劃，避免庫存積壓[4]。

需求價(jià)格彈性反映了顧客對(duì)價(jià)格變化的敏感程度，且由于需求價(jià)格彈性并非需求對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)，而是需求對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)與價(jià)格需求比的乘積，它可以較為精準(zhǔn)地反映顧客對(duì)價(jià)格變化的敏感程度[5]。

一些商品是維持企業(yè)運(yùn)轉(zhuǎn)所必須的，或者是維持人類生活所必須的，這類商品的需求價(jià)格彈性通常較小。在價(jià)格發(fā)生變動(dòng)時(shí)，顧客將基本維持原來的購買量，總需求量將不會(huì)發(fā)生很大的變化；還有一些商品是奢侈品，很多人在日常的生活中可能不需要這種商品。這類商品的需求價(jià)格彈性通常較大。在商品的價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，顧客會(huì)根據(jù)價(jià)格的變化幅度，做出相應(yīng)的決策，總需求量將發(fā)生較大的變化。利用導(dǎo)數(shù)，我們可以較為直觀地描述市場(chǎng)規(guī)律，從而為企業(yè)的經(jīng)營者和決策者提供制定銷售計(jì)劃的依據(jù)[6]。

需要注意的是，在一些情況下，我們要根據(jù)實(shí)際情況靈活地處理問題。在不同時(shí)期，某一商品的需求價(jià)格彈性可能不同，企業(yè)的經(jīng)營者應(yīng)當(dāng)綜合考慮可能影響市場(chǎng)情緒的因素，從而制定最佳的銷售策略，增加企業(yè)的收入。

3.導(dǎo)數(shù)在商品需求價(jià)格彈性與總收入關(guān)系中的應(yīng)用

一般來講，在商品的銷售過程中，企業(yè)最關(guān)注的是價(jià)格變化給收益帶來的影響.假設(shè)某商品的單價(jià)為p，銷售總收入為R，則有R＝Q＊p.若此時(shí)對(duì)價(jià)格進(jìn)行 Δp的改變，則有。

因此，當(dāng)產(chǎn)品處于高彈性狀態(tài)時(shí)，我們可以通過降低價(jià)格來增加總收入，此時(shí)雖然商品的單價(jià)較低，但是銷量的增幅較大，企業(yè)的收入將提高；當(dāng)產(chǎn)品處于低彈性狀態(tài)時(shí)，我們可以通過提高價(jià)格來增加總收入。

某企業(yè)的經(jīng)營者在市場(chǎng)調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，其生產(chǎn)的A商品的需求函數(shù)為，試求：

（1）該產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性函數(shù)。

（2）求當(dāng)p＝2，p＝4，p＝10時(shí)的需求價(jià)格彈性值，并闡述其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。

解：

（2）當(dāng)p＝2時(shí)，εp＝－0.5＞－1，此時(shí)商品處于低彈性狀態(tài)，說明此時(shí)顧客對(duì)價(jià)格不敏感，商品屬性接近生活必需品。提高價(jià)格，商品的總收益將會(huì)增加。

當(dāng)p＝4時(shí)，εp＝－1，此時(shí)商品處于單位彈性狀態(tài)，改變價(jià)格將不會(huì)影響總收益。

當(dāng)p＝10時(shí)，εp＝－2.5＜－1，此時(shí)商品處于高彈性狀態(tài)，說明此價(jià)格區(qū)間內(nèi)，顧客對(duì)價(jià)格比較敏感。如果繼續(xù)提高價(jià)格，銷量將大大降低，說明此時(shí)提高價(jià)格將會(huì)降低商品的總收益。

四、結(jié)語

作為微積分學(xué)的重要概念，導(dǎo)數(shù)可以反映一個(gè)變量相對(duì)于其他變量的變化率。在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，這種對(duì)變量間關(guān)系的分析是至關(guān)重要的，它可以幫助人們分析復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)體系的特征，為企業(yè)的戰(zhàn)略制定者提供理論參考。經(jīng)濟(jì)學(xué)家和企業(yè)的管理者應(yīng)當(dāng)具備應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的能力，才能在不同的場(chǎng)景中高效地進(jìn)行定量分析，找到可靠的解決方案。