選擇：決定到達(dá)方式的不同樣態(tài)

賈敏

【摘 要】學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程猶如GPS導(dǎo)航，只要輸入目的地，可以有不同的到達(dá)路徑。即使過(guò)程中出現(xiàn)了失誤，還可以重新規(guī)劃新的路線再出發(fā)。相同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生的認(rèn)識(shí)選擇不同，教師的處理方式也不盡相同。而決定到達(dá)方式的不同路徑，主要取決于當(dāng)下的選擇。不同的選擇會(huì)有不同的學(xué)習(xí)過(guò)程，不同的數(shù)學(xué)思考，不同的體驗(yàn)與收獲。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是生動(dòng)的、豐富的、生長(zhǎng)的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí) 教學(xué) 選擇

（一）

筆者在執(zhí)教蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)加兩位數(shù)口算”一課時(shí)，讓學(xué)生研究45+23和45+28兩道算式。

大部分學(xué)生的算法如下。算法①：先算5+3=8，再算40+20=60，最后算8+60=68。算法②：先算5+3=8，再算4+2=6，合起來(lái)是68。算法③：先算45+20=65，65+3=68。算法④：先算40+23=63，63+5=68。

比較小結(jié)：先對(duì)加數(shù)進(jìn)行分解，再將稍難的口算轉(zhuǎn)化成之前學(xué)習(xí)過(guò)的比較簡(jiǎn)單的口算。

這時(shí)（如下圖）學(xué)生1說(shuō)：“我把45湊成50，先把23個(gè)位上的3給45，還剩20，再?gòu)?0里面拿走2個(gè)。這樣就算出來(lái)是68?！?/p>

多數(shù)學(xué)生滿臉迷茫，教師問(wèn)：“聽(tīng)懂他說(shuō)的方法了嗎？他用了以前學(xué)過(guò)的什么？”“湊十法?！睂W(xué)生感嘆：“還能這么算！”接下來(lái)部分學(xué)生受啟發(fā)有了新想法。

（二）

“解決問(wèn)題的策略——假設(shè)”一課上，小組匯報(bào)交流環(huán)節(jié)，學(xué)生出現(xiàn)了不同的想法?；虍?huà)圖，或列式，或方程，解釋得頭頭是道。

提問(wèn)：“還有不同的想法嗎？”學(xué)生2猶豫舉手，表達(dá)了她的想法。

表格一出現(xiàn)，同學(xué)們齊說(shuō)：“這是湊數(shù)！”

教師示意安靜，聽(tīng)她說(shuō)完。

學(xué)生2：“我用的是列表的方法。先把小杯的容量當(dāng)作10毫升，小杯的容量是大杯的三分之一，大杯是30毫升，6小杯和1大杯的總量是60+30=90，不等于720毫升。再把小杯當(dāng)作20毫升，大杯是60毫升，6個(gè)小杯和1個(gè)大杯的總量是6×20+60=180，不是720毫升。這樣一直找下去，發(fā)現(xiàn)80和240正確?！?/p>

“聽(tīng)出什么了？”“用到假設(shè)了嗎？”“如果用了假設(shè)，是怎樣假設(shè)的？”

（三）

執(zhí)教蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“平移和旋轉(zhuǎn)”一課時(shí)出示了一道練習(xí)：右面的這個(gè)圖案可以通過(guò)平移得到嗎？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題學(xué)生的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了分歧，教師讓學(xué)生展示、討論、交流、質(zhì)疑、反駁。

A組：我們可以先把每個(gè)圓標(biāo)上序號(hào)（圖2）。把上邊的三個(gè)圓看作一個(gè)整體，在平移前拆分開(kāi)三個(gè)圓分別平移得到左邊的圖（圖1）。

（B組認(rèn)為對(duì)，并鼓掌）

師：好像有道理，真的可以嗎？

C組反駁：平移前的圖案看成三個(gè)部分，可以分別進(jìn)行平移。平移后，圖形的形狀和大小沒(méi)有發(fā)生變化，只有位置發(fā)生了變化。假如這樣，許多通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的圖案就可以通過(guò)“這樣的平移”得到，那還學(xué)旋轉(zhuǎn)做什么呢？所以我們認(rèn)為A組不對(duì)，雖然三個(gè)圓平移的方向是一致的，但是平移的距離卻不一樣呀！

師：有道理，部分要素運(yùn)動(dòng)和整體運(yùn)動(dòng)距離不一致，圖就不是原來(lái)那個(gè)圖了。

一、允許不同想法的差異，尋求共同認(rèn)可的思考

數(shù)學(xué)課堂上，一些同學(xué)有想法，交流了，但并不意味著所有學(xué)生都認(rèn)同了，理解了。某些學(xué)生可能還有其他的想法。這些想法的背后，可能隱藏著對(duì)這個(gè)問(wèn)題的其他認(rèn)識(shí)?？谒銉晌粩?shù)加兩位數(shù)時(shí)，學(xué)生1觀察了數(shù)字的特點(diǎn)，有了別樣“湊十”的思考。雖然也是對(duì)加數(shù)進(jìn)行分解，但是他分解的思路還是有別于其他學(xué)生的。這種方法的出現(xiàn)打開(kāi)了其他學(xué)生的計(jì)算思路，讓我們不禁感嘆：“還能這么算！”湊十的思維是一年級(jí)學(xué)習(xí)“20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法”的基本思維方式，學(xué)生1的介紹讓我們有了耳目一新的感覺(jué)?！凹僭O(shè)”一課中學(xué)生2有新想法，之所以猶豫，是因?yàn)樽约焊杏X(jué)答案正確，又不太確定。更是因?yàn)榇蠹矣X(jué)得她用的不是假設(shè)，是“湊”出來(lái)的答案。是不是假設(shè)，學(xué)生2內(nèi)心有想弄明白道理的愿望，表面又顯得不夠自信。

“學(xué)”是什么？學(xué)就是解惑，解答內(nèi)心的疑惑及別人的疑惑。抓住關(guān)鍵條件720毫升和小杯的容量是大杯的1 —3。學(xué)生呈現(xiàn)六種不同的假設(shè)思考方法和解題過(guò)程，假設(shè)的方法在學(xué)生心中一點(diǎn)點(diǎn)生根，慢慢得到了大家的認(rèn)同。這時(shí)突然出現(xiàn)的“湊數(shù)”，猶如一顆突然落在平靜水池中的石子，激起了層層漣漪，將剛建立起的平衡打破了。學(xué)生心中的疑惑出現(xiàn)了：這個(gè)“湊數(shù)”的方法是假設(shè)嗎？?jī)晌粩?shù)加兩位數(shù)時(shí)，學(xué)生順著分解加數(shù)的思路，想出了不同的口算方法。學(xué)生1的不同方法打破了這種平衡，不僅用了數(shù)的分解，還巧妙地用到了湊十，為以后的簡(jiǎn)便計(jì)算做了鋪墊。所以其他同學(xué)驚嘆：“還可這樣算！”這種湊十分解的方法也啟發(fā)了其他同學(xué)進(jìn)行深入思考，很快出現(xiàn)了不一樣的湊十計(jì)算。學(xué)生思考、解釋的過(guò)程就是解惑的過(guò)程、學(xué)習(xí)的過(guò)程。

“教”是什么？教就是將個(gè)體的想法在組際交流碰撞中，求得大家的理解認(rèn)同?？谒銉晌粩?shù)加兩位數(shù)時(shí)，學(xué)生1的方法一開(kāi)始大家沒(méi)太明白，滿臉迷茫。分解轉(zhuǎn)化是大家認(rèn)同的，分解湊十是個(gè)人的認(rèn)識(shí)。此時(shí)，多數(shù)學(xué)生的思路是加數(shù)分解再轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的口算。教師問(wèn)：“聽(tīng)懂他的方法了嗎？他用了以前學(xué)過(guò)的什么？”這促使學(xué)生思考：原來(lái)學(xué)生1的想法不僅用到了分解，還要用到湊十?！斑€能這么算”的驚嘆實(shí)際上是對(duì)這種新想法的認(rèn)可和理解，因此才有了其他學(xué)生的新湊十法。此時(shí)，學(xué)生的思維由單一水平上升到了關(guān)聯(lián)水平，進(jìn)而向更高的創(chuàng)新水平進(jìn)發(fā)。

二、直面不同選擇的表象，剖析相同本質(zhì)的理解

上“假設(shè)”一課時(shí)，開(kāi)始大家的直觀感覺(jué)學(xué)生2的方法就是“湊數(shù)”，聽(tīng)她解釋以后，大部分同學(xué)仍然覺(jué)得是湊出來(lái)的。一開(kāi)始，只是學(xué)生2一個(gè)人的思考和想法，從答案來(lái)說(shuō)她的方法與前幾種方法是相印證的，但感覺(jué)說(shuō)不清楚，所以不太確定。此時(shí)教師不在各種方法上糾纏，而是直奔核心的問(wèn)題理解：“用到假設(shè)了嗎？如果假設(shè)了，是怎樣假設(shè)的？”這樣促使原來(lái)沒(méi)朝這個(gè)方向思考的學(xué)生，突然有了新發(fā)現(xiàn)：“湊數(shù)”里用了假設(shè)。這樣從原來(lái)個(gè)體模糊認(rèn)識(shí)的“湊數(shù)”，經(jīng)過(guò)接力思考解釋?zhuān)统闪瞬糠秩说漠?dāng)下認(rèn)識(shí)：湊數(shù)里有假設(shè)。最后一言驚醒夢(mèng)中人，得到所有人的認(rèn)同：這里的湊數(shù)實(shí)際上就是用了假設(shè)?！扒懊娣椒ㄖ心睦镉昧思僭O(shè)？”進(jìn)而進(jìn)一步聚焦對(duì)比，剝離非本質(zhì)屬性干擾，讓所有同學(xué)都認(rèn)識(shí)到無(wú)論是畫(huà)圖、列式、方程還是列表，其實(shí)都用到了假設(shè)。這樣從個(gè)體差異的“學(xué)”到部分認(rèn)可再到集體認(rèn)同的過(guò)程，所有人的認(rèn)識(shí)都得到了補(bǔ)充和完善，是有意義的學(xué)。學(xué)習(xí)好比導(dǎo)航，輸入目的地，你可以有不同的選擇。你先到了，這很好，但說(shuō)明不了什么問(wèn)題，重要的是最后都到了目的地，即使中途走錯(cuò)了，又有什么關(guān)系，重新搜索仍然可以到達(dá)目的地。

很多時(shí)候，我們都受制于一種短板理論的思維。教學(xué)時(shí)讓所有學(xué)生都按統(tǒng)一的教材、統(tǒng)一的要求齊步走，同時(shí)出發(fā)，也要求學(xué)生同時(shí)到達(dá)?！斑€能這么算！”提供的是長(zhǎng)板理論！學(xué)習(xí)時(shí)，可能在一些方面有些板都短，比如語(yǔ)言表達(dá)、解決問(wèn)題、實(shí)踐欠缺。但是有一根長(zhǎng)，就是有不一樣的思考。面對(duì)這種不一樣的思考，教師要給予學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，這能帶給學(xué)生光榮，帶給學(xué)生榮譽(yù)，足以彌補(bǔ)學(xué)生在其他方面的缺陷。這樣，人格在學(xué)習(xí)過(guò)程中才不會(huì)扭曲，性格成長(zhǎng)才可能是良好的。這就有了成功的重新定義：成功是感到學(xué)得幸福、感到學(xué)得有意義、感到學(xué)習(xí)沒(méi)有那么多的挫敗、感到還不錯(cuò)?！斑€能這么算”是學(xué)生的感嘆，有驚奇和發(fā)現(xiàn);是老師的贊許，有意料之外的驚喜;是不經(jīng)意推開(kāi)的一扇窗，看到不一樣的風(fēng)景?！皽悢?shù)用了假設(shè)嗎？”是不同思想交流的場(chǎng)，讓不同的想法在課堂上飛。這時(shí)的想法猶如許多金色的沙子，每一種看上去都很美，都想抓住，越是緊攥越留不住。這時(shí)學(xué)生的交流、溝通、理解、認(rèn)同和選擇，就像攥著的拳頭慢慢舒展，讓不適合自己的，不能理解認(rèn)同的想法像流沙一樣，順著指縫流走，最后留下的是適合自己的能理解的想法。這樣的教學(xué)，提供了不同的可能，讓不同的人有不同的收獲。

三、寬容不同學(xué)習(xí)的路徑，檢視共同目標(biāo)的達(dá)成

當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知出現(xiàn)分歧時(shí)，教師選擇寬容不同學(xué)習(xí)的路徑，讓學(xué)生們交流、討論、質(zhì)疑、反駁。學(xué)生對(duì)平移的認(rèn)知是有差異的，多數(shù)學(xué)生關(guān)注的是圖案運(yùn)動(dòng)前后位置、形狀、大小變化，很少關(guān)注到運(yùn)動(dòng)前后距離的要求。A組想到了“給每個(gè)圓標(biāo)序號(hào)”的更簡(jiǎn)潔、更方便的符號(hào)化表達(dá)方式。他們將整體拆分成三個(gè)要素，分別平移再組合。這樣的認(rèn)識(shí)過(guò)程有一定的迷惑性和欺騙性：將①號(hào)、②號(hào)和③號(hào)所形成的組合圖形看作一個(gè)整體。忽略了它們大小不同，易出現(xiàn)零散狀的認(rèn)識(shí);每次提取單個(gè)圓平移易受圓的運(yùn)動(dòng)特殊性的限制。單個(gè)圓從一個(gè)位置到另一個(gè)位置，既可以看成是平移運(yùn)動(dòng)，也可以看成繞點(diǎn)進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)把三個(gè)圓看成整體，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，其內(nèi)部要素會(huì)產(chǎn)生與A組同學(xué)想法一致的平移運(yùn)動(dòng)，只是這種運(yùn)動(dòng)就圖形的整體而言不符合平移要求，因?yàn)槊恳粋€(gè)要素運(yùn)動(dòng)的距離不一致。

面對(duì)現(xiàn)狀，教師及時(shí)引導(dǎo)：“好像有道理，真的可以嗎？”這引起了學(xué)生自省式反思，才有了“看上去像是平移得到，還學(xué)旋轉(zhuǎn)做什么呢？平移的方向一致但平移的距離不同”“運(yùn)動(dòng)前后距離不同導(dǎo)致圖變形了，形狀變了當(dāng)然不是平移”的思考。這樣的平移學(xué)習(xí)，引導(dǎo)了學(xué)生關(guān)注點(diǎn)的轉(zhuǎn)移。從教師提煉“部分要素運(yùn)動(dòng)和整體運(yùn)動(dòng)距離不一致”開(kāi)始，學(xué)生從關(guān)注要素本身的移動(dòng)到關(guān)注平移本質(zhì)——位置變化，形狀、大小、距離不能變，關(guān)注點(diǎn)發(fā)生了質(zhì)的變化。平移時(shí)，讓學(xué)生在觀察實(shí)際操作中感知并進(jìn)行概念建構(gòu)。建構(gòu)學(xué)習(xí)的過(guò)程中教者不做過(guò)多約束，讓學(xué)生自主探索不同的學(xué)習(xí)路徑，讓學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，通過(guò)交流、碰撞、質(zhì)疑和反駁，最后形成共同的比較全面的思考過(guò)程。這樣的思考過(guò)程，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了幾度跨越：從單個(gè)要素認(rèn)識(shí)向整體要素認(rèn)識(shí)的跨越，從單個(gè)圓到整個(gè)圖案的平移運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)跨越，從單一方向認(rèn)識(shí)向多方向運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)的跨越，從單一層面思考向全方位思考的跨越。經(jīng)歷多次思維碰撞后，學(xué)生從內(nèi)部自覺(jué)改變認(rèn)識(shí)上的偏差，形成了對(duì)平移概念的本質(zhì)理解：平移可以是單一圖形的移動(dòng)，也可以是組合圖形的整體移動(dòng)。平移可以是水平或垂直或斜向移動(dòng)，圖案可以一次平移得到，也可以多次平移得到。達(dá)成共同的認(rèn)知：無(wú)論是什么平移，平移前后，圖形的位置發(fā)生變化，形狀和大小不變，運(yùn)動(dòng)距離相同。

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]潘小福.小學(xué)數(shù)學(xué)教材的專(zhuān)業(yè)化解讀[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.