“化繁為簡(jiǎn)”在數(shù)學(xué)中的價(jià)值分析與教學(xué)思考

袁曉萍

【摘 要】本文基于三個(gè)年級(jí)同做一題的調(diào)查啟示，提出需要為學(xué)生構(gòu)建“化繁為簡(jiǎn)”的學(xué)習(xí)路徑，基于廣泛而深入的課堂教學(xué)實(shí)踐，優(yōu)化了搭建進(jìn)退有序的思考路線、實(shí)施進(jìn)退有節(jié)的教學(xué)干預(yù)等一系列“化繁為簡(jiǎn)”的導(dǎo)學(xué)技術(shù)，以期在教學(xué)中使教師和學(xué)生能夠高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會(huì)和體驗(yàn)“以簡(jiǎn)馭繁”的數(shù)學(xué)價(jià)值和思考魅力。

【關(guān)鍵詞】化繁為簡(jiǎn) 價(jià)值分析 范式建構(gòu) 策略探究

“化繁為簡(jiǎn)”是數(shù)學(xué)教材中隱藏著的重要的數(shù)學(xué)思想：無(wú)論多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，肯定都是從簡(jiǎn)單的知識(shí)起步，只要學(xué)生能找到這個(gè)問(wèn)題的原點(diǎn)，那問(wèn)題也就迎刃而解。本文所要敘述的，就是數(shù)學(xué)教學(xué)中如何基于教材，豐富過(guò)程，將教材教薄，讓每一個(gè)學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)“化繁為簡(jiǎn)”的精簡(jiǎn)、清爽的數(shù)學(xué)特性。

一、范式構(gòu)建：搭建“化繁為簡(jiǎn)”的學(xué)習(xí)路徑

“退”是解決問(wèn)題的一種策略和方法，要“退”到事物的最起點(diǎn)換一個(gè)角度思考，“退”是為了更好地“進(jìn)”。 雖然“化繁為簡(jiǎn)”作為一種隱性方法，會(huì)因高度個(gè)性化而難以形式化，但是，教師仍可以結(jié)合實(shí)際教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“融化—感應(yīng)—碰撞—挖掘”的過(guò)程。

1.思有“起點(diǎn)”： 讓學(xué)生遇到復(fù)雜問(wèn)題產(chǎn)生“退”的需要

通過(guò)創(chuàng)設(shè)一些難度適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，有意識(shí)地制造一個(gè)個(gè)懸疑，當(dāng)學(xué)生面對(duì)這些紛繁復(fù)雜的題目毫無(wú)頭緒、束手無(wú)策時(shí)，自然產(chǎn)生知“難”而退的需要，變被動(dòng)思考為主動(dòng)應(yīng)用。

明顯的新舊關(guān)聯(lián)可以啟動(dòng)思考。數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)與方法間是相互聯(lián)系的，將“新知”與需要用到的“舊法”關(guān)聯(lián)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生對(duì)原有思考模型進(jìn)一步拓展與延伸的需求。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了三年級(jí)的《數(shù)學(xué)廣角——組合問(wèn)題》，教師可以并列構(gòu)建以下新舊關(guān)聯(lián)的三個(gè)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考。

題1：六年級(jí)四個(gè)班進(jìn)行拔河比賽，每?jī)蓚€(gè)班賽一場(chǎng)，一共要賽多少場(chǎng)？

題2：圖中各有多少個(gè)長(zhǎng)方形？

題3：圖中各有多少個(gè)角？

以題組對(duì)比的形式，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步檢索、提煉方法，在新知問(wèn)題的運(yùn)用中進(jìn)一步清晰化，產(chǎn)生有序的數(shù)學(xué)思考。

強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突可以啟動(dòng)思考。通過(guò)呈現(xiàn)與學(xué)生原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)相矛盾的現(xiàn)象，設(shè)置懸念;或提供幾個(gè)相互矛盾的方案、解答，由外在的情境沖突，引發(fā)認(rèn)知的不平衡，從而激起學(xué)生“退”的需求。例如，在《用計(jì)算器探索規(guī)律》一課學(xué)習(xí)中，教師可以將原有的規(guī)律探索改為極大算式：你能通過(guò)計(jì)算器計(jì)算出的結(jié)果嗎？當(dāng)學(xué)生知道計(jì)算器上數(shù)位有限、不能直接解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，自然會(huì)想到要從簡(jiǎn)單的情況或從小一點(diǎn)的數(shù)入手，由易到難，從中獲得某些啟示后，再來(lái)考慮原題的解答，自然過(guò)渡、水到渠成。

獨(dú)特的數(shù)學(xué)排列可以啟動(dòng)思考。獨(dú)特的數(shù)學(xué)排列就是一種良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)排列的元素可以是數(shù)、符號(hào)、式或者圖形，可以給學(xué)生一種強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)沖突，便于學(xué)生去“檢索”，引發(fā)“退”的需求，啟動(dòng)有序化的思考。

數(shù)的排列：3，5，7，9，…，_____（第2021個(gè)數(shù)）

式的排列：=（）

2.思有“結(jié)構(gòu)”：掌握“化繁為簡(jiǎn)”的技術(shù)范式

毋庸置疑，學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”的思考水平和技術(shù)能力的培養(yǎng)，離不開(kāi)教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥。適當(dāng)構(gòu)建“化繁為簡(jiǎn)”的階段層次和基本技術(shù)范式（如圖1），借助合乎邏輯的技術(shù)范式不僅能使學(xué)生獲得知識(shí)，而且有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，增強(qiáng)其對(duì)“化繁為簡(jiǎn)”思想方法的感應(yīng)能力。

下面，以“一個(gè)大正方形用十字形連續(xù)均分20次，能得到幾個(gè)小正方形”一題為例，具體闡述一下教師在課堂教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思考如何進(jìn)行“適時(shí)介入”和“合理引導(dǎo)”，幫助學(xué)生構(gòu)建、掌握“化繁為簡(jiǎn)”的基本技術(shù)范式。

簡(jiǎn)約階段：化繁為簡(jiǎn)，簡(jiǎn)化探究素材。簡(jiǎn)約階段是指把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、條理化，記錄表達(dá)基本的數(shù)據(jù)規(guī)律。如上例，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖分析，從第一次均分開(kāi)始研究，記錄基本規(guī)律，如圖2。

符號(hào)階段：化數(shù)為式，探索數(shù)學(xué)模型。符號(hào)階段，要引導(dǎo)學(xué)生去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物在內(nèi)的一類(lèi)事物。如根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律，將“結(jié)論數(shù)”改寫(xiě)成“算式”，用數(shù)學(xué)符號(hào)的方式構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，如圖3。

普適階段：無(wú)中生有，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。普適階段是指通過(guò)假設(shè)和推理建立法則或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物和復(fù)雜問(wèn)題。比如，引導(dǎo)學(xué)生在均分一次的前面再增加一種初始狀態(tài)，數(shù)形結(jié)合，完善數(shù)學(xué)模型，如圖4。

3.思有“延伸”：形成“化繁為簡(jiǎn)”的思維慣性

“前延后展”的學(xué)習(xí)方法能夠讓學(xué)生“觸景生思”，誘發(fā)學(xué)生積極思維，引發(fā)更多的數(shù)學(xué)聯(lián)想，逐步向數(shù)學(xué)思想的掌握靠近。在思維的“延展”階段，教師可以用以下的方法和策略：

操作了，不妨再“瞻前”比一比。學(xué)會(huì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)后，引導(dǎo)學(xué)生再回頭比一比，整體關(guān)注，由零散的方法到整體的求同構(gòu)建，感受其中相同的數(shù)學(xué)思考與學(xué)習(xí)方法，從而“力透紙背”。例如，在學(xué)習(xí)五年級(jí)“平面圖形的面積”時(shí)，學(xué)完了所有平面圖形的面積后，我們可以通過(guò)假設(shè)和推理，把圖形的面積計(jì)算統(tǒng)一到梯形的面積計(jì)算上，三角形即為上底為零的梯形，平行四邊形即為上下底相等的梯形等，在學(xué)生的頭腦中建立更高層次的模型，如圖5。

解決了，不妨再“瞻前”議一議。更多數(shù)學(xué)問(wèn)題解決后需要我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生回頭想一想，體驗(yàn)其中更簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)和更系統(tǒng)的聯(lián)系。例如，“列方程解決問(wèn)題ax+bx=c”，教師整體呈現(xiàn)學(xué)生本課解決過(guò)的所有問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比：如圖6，整體看一看，你能不能發(fā)現(xiàn)其中相同的地方？你覺(jué)得哪幾個(gè)問(wèn)題可以歸為一類(lèi)？

生1：除了（3），其余可以歸為一類(lèi)，因?yàn)樗鼈兊姆匠绦问蕉际莂x+bx=c。

生2：是的，（1）（2）（4）的數(shù)量關(guān)系都要表示在線段圖（5）的形式里。

生3：我覺(jué)得（3）也可以和它們歸為一類(lèi)，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量關(guān)系都是一個(gè)部分+另個(gè)一部分=總量。

師：如果我們嘗試著把這些題都用一個(gè)式子來(lái)概括的話，你覺(jué)得可以怎么來(lái)寫(xiě)？

生：ax+by=c，不同的是，有些問(wèn)題當(dāng)中的x與y相等，有些x與y不相等。

當(dāng)學(xué)生從解決問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)對(duì)“散裝”的數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行整體思考時(shí)，從特殊ax+bx=c拓展到更一般的ax+by=c當(dāng)中，便于學(xué)生將注意力集中到數(shù)學(xué)研究的核心本質(zhì)上，這應(yīng)該是我們引領(lǐng)學(xué)生要去的地方。

學(xué)會(huì)了，不妨再“顧后”想一想。如果只重視局部訓(xùn)練而淡化整體聯(lián)網(wǎng)的教學(xué)，就會(huì)使學(xué)生缺少高瞻遠(yuǎn)矚的解決謀略和隨機(jī)應(yīng)變的解決智慧。我們應(yīng)有這樣的意識(shí)：將前后知識(shí)進(jìn)行融合，不同的領(lǐng)域內(nèi)容互相滲透，恰當(dāng)“顧后”，既是讓學(xué)生感受教材知識(shí)本身的魅力，還賦予了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的持續(xù)力。例如，“整理與復(fù)習(xí)：小數(shù)的意義和性質(zhì)”一課中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)四年級(jí)第四單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行了整體回顧，體會(huì)了“小數(shù)意義”在其中的核心價(jià)值，構(gòu)建起了具有結(jié)構(gòu)性的知識(shí)網(wǎng)。在學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)整體聯(lián)系后，教師不妨再引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)“顧后”，提前劇透后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)所學(xué)知識(shí)的意義，簡(jiǎn)化未來(lái)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。

師：學(xué)了這么多小數(shù)的知識(shí)，有什么用呢？在第六單元，我們還學(xué)習(xí)了“小數(shù)的加法和減法”， 和今天復(fù)習(xí)的內(nèi)容有什么聯(lián)系呢？

生：其實(shí)，小數(shù)的加減法要求相同數(shù)位相加減，就是運(yùn)用了小數(shù)的意義，用到小數(shù)部分的各個(gè)計(jì)數(shù)單位。

師（出示圖7）：下個(gè)學(xué)期，我們還將學(xué)習(xí)小數(shù)乘法和小數(shù)除法，學(xué)習(xí)它們，會(huì)不會(huì)與我們這個(gè)單元的知識(shí)有聯(lián)系呢？

生：哦，發(fā)現(xiàn)了！原來(lái)小數(shù)乘法這樣就行了。

師：同學(xué)們，“小數(shù)的意義和性質(zhì)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容僅僅只是給我們提供了一棵知識(shí)樹(shù)嗎？

生1：老師，我看到了，這棵知識(shí)樹(shù)的背后還有聯(lián)系著的、更多的知識(shí)樹(shù)！

生2：是，是一個(gè)森林……

三、策略探究：優(yōu)化“化繁為簡(jiǎn)”的導(dǎo)學(xué)技術(shù)

為了突出“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)特性，形成學(xué)生數(shù)學(xué)思考的慣性，教師應(yīng)有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)干預(yù)，有的放矢，才能觸及“化繁為簡(jiǎn)”教學(xué)策略的本質(zhì)及其蘊(yùn)含的隱性思想。

素材應(yīng)用：將“簡(jiǎn)單的材料”用出“極致的價(jià)值”?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，小方格、百數(shù)圖、數(shù)軸、格點(diǎn)圖這些簡(jiǎn)單的素材有很多，把簡(jiǎn)單的材料用到極致，可以讓學(xué)生產(chǎn)生“餓”的感覺(jué)，從而伸展向更廣泛的領(lǐng)域。

學(xué)習(xí)前置：從“最近的起點(diǎn)”走向“最遠(yuǎn)的終點(diǎn)”。教材中許多知識(shí)都具有常識(shí)性，學(xué)生在生活中已有很多的經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)又是多義的、模糊的。比如“年、 月、日”一課涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，又大多屬于常識(shí)性知識(shí)，沒(méi)有太大的探究空間，教學(xué)時(shí)會(huì)顯得零碎，如何化繁為簡(jiǎn)呢？教師在課前以“預(yù)學(xué)卡片”的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)說(shuō)一說(shuō)、查一查、理一理的方式，嘗試將與年、月、日有關(guān)的零散知識(shí)進(jìn)行自主的前期學(xué)習(xí)與梳理。

師（出示圖8）：看著這么多同學(xué)與我們分享的預(yù)學(xué)材料，你有什么體會(huì)嗎？

生1：雖然年份是不同的，但是其中一些年、月、日的知識(shí)是不變的。

生2：這么多知識(shí)，原來(lái)可以用表格、圖畫(huà)這些簡(jiǎn)潔的方式來(lái)表示。

在實(shí)際教學(xué)中，我們也看到，有了清晰的預(yù)學(xué)任務(wù)，學(xué)生自然會(huì)回報(bào)以形式多樣、相對(duì)完整、表達(dá)簡(jiǎn)潔的預(yù)習(xí)成果?；趯W(xué)生的預(yù)學(xué)成果，教師自然可以站在學(xué)生已有的認(rèn)知水平和起點(diǎn)上來(lái)展開(kāi)新知學(xué)習(xí)。

結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)：變模糊無(wú)序?yàn)榍逦行颉：芏鄬W(xué)生面對(duì)一些比較繁難的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生退縮情緒，或者在煩瑣的解答過(guò)程中出現(xiàn)失誤。教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個(gè)新陳代謝、吐故納新的過(guò)程，是一些新的有力的工具、更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)，與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被跨越的過(guò)程，是“高級(jí)”的數(shù)學(xué)替代“低級(jí)”的數(shù)學(xué)的過(guò)程。下面，以“階梯式計(jì)價(jià)法”的問(wèn)題解決為例，如圖9。

在這樣的結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)后，教師要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”，尋找問(wèn)題的“原點(diǎn)”，追溯知識(shí)的最初形態(tài)。先思考原始問(wèn)題：這些數(shù)學(xué)問(wèn)題有哪些相似的地方？我們?cè)诮獯饡r(shí)有哪些相同的地方？再還原本來(lái)意義，概括相似的結(jié)構(gòu)關(guān)系，然后尋找生活原型：生活中還有哪些問(wèn)題也用到了這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？

正是這種提綱挈領(lǐng)的描述，讓學(xué)生除了識(shí)記之外，更應(yīng)利用所體現(xiàn)的簡(jiǎn)單形象的直觀模型，將學(xué)生的思維引向更高的層次，用簡(jiǎn)約的結(jié)構(gòu)豐盈學(xué)生的視野。