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    基于網(wǎng)絡(luò)可控性的地鐵客流控制站點(diǎn)識別研究

    2021-07-09 07:10:06吳開信吳子航馮家匯
    關(guān)鍵詞:可控性客流站點(diǎn)

    吳開信,吳子航,馮家匯

    (1.五邑大學(xué) 軌道交通學(xué)院,廣東 江門 529020;2.深圳地鐵運(yùn)營集團(tuán)有限公司,廣東 深圳 518040)

    地鐵在優(yōu)化城市空間布局、緩解道路交通擁堵、改變居民出行方式等方面發(fā)揮了重要的作用,已成為城市居民出行的首選,但在北上廣深等一線城市早晚高峰期,地鐵有限的運(yùn)輸能力與迅猛增長的客流需求之間的矛盾日漸突出,給車站運(yùn)營和乘客安全帶來了嚴(yán)重挑戰(zhàn).對部分站點(diǎn)實(shí)施客流控制,使其服務(wù)水平保持在合理的范圍之內(nèi)是城軌系統(tǒng)高峰期采取的常見措施之一.控流方案的制定主要是基于對客流時(shí)空特征的分析,從單個(gè)站點(diǎn)[1-2]、整條線路[3-4]、關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)[5-6]等角度對站點(diǎn)選擇、控流時(shí)間、控流強(qiáng)度等指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,這種采取優(yōu)化模型的方法在遇到大規(guī)模問題時(shí),需要以較大的計(jì)算代價(jià)來獲得問題的滿意解,其控流效果有待提升.

    地鐵運(yùn)營線路和客流加載過程可用賦權(quán)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)描述,而目前網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與工程的研究對象集中于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),多基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)的脆弱性、魯棒性、可靠性等結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行研究,將控制理論與網(wǎng)絡(luò)科學(xué)相結(jié)合的研究起步較晚,且其中的控制策略也由傳統(tǒng)控制理論中的蜂擁控制轉(zhuǎn)到現(xiàn)在的牽制控制[7].Kalman[8]指出,一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)只需找到合適的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)集并加以控制,就能從初始狀態(tài)到達(dá)任意理想狀態(tài).Liu等[9-10]首次將線性時(shí)不變系統(tǒng)的可控性應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制,并提出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制中心分布取決于網(wǎng)絡(luò)的度分布.Meng[11]基于改進(jìn)的LB模型研究了鐵路列車服務(wù)網(wǎng)絡(luò)在出現(xiàn)應(yīng)急情況下的可控性問題,但對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和邊權(quán)等屬性特征的探討不夠深入.綜上,既有文獻(xiàn)大多是基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的物理結(jié)構(gòu)、側(cè)重于網(wǎng)絡(luò)特性指標(biāo)分析,從系統(tǒng)可控性角度提出網(wǎng)絡(luò)控制方法和應(yīng)對策略并應(yīng)用于實(shí)際的文獻(xiàn)較少;另外,既有研究的網(wǎng)絡(luò)多數(shù)是靜態(tài)網(wǎng)絡(luò),對節(jié)點(diǎn)之間的交互作用和時(shí)效特征等缺乏考慮.選擇合適的站點(diǎn)進(jìn)行客流控制有利于提高城軌系統(tǒng)高峰期客流時(shí)空分布均衡度和運(yùn)力資源的有效利用率,本文基于網(wǎng)絡(luò)可控性原理采取定量分析方法,從有向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性分析入手,綜合考慮各車站客流狀態(tài)及其動(dòng)態(tài)變化過程,以有效識別客流控制站點(diǎn)的個(gè)數(shù)與具體站點(diǎn).

    1 模型的構(gòu)建

    1.1 有向客流網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)建模

    根據(jù)地鐵物理網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及客流特性,構(gòu)建有向網(wǎng)絡(luò)圖G=(V,E),圖中節(jié)點(diǎn)集V={v1,v2,…,vi,…,vj,…,vN}對應(yīng)于車站集 {1,2,…,i,…,j,…,N},如果從車站i去往車站j存在客流量,則連接一條有向弧E(vi,vj).定義網(wǎng)絡(luò)中幾個(gè)指標(biāo):節(jié)點(diǎn)vi的度是0-1變量,當(dāng)nij=1時(shí),表示E(vi,vj)存在,否則表示不存在;度的值反映了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的可達(dá)性,值越大說明乘客有更多的出行路徑選擇.網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度表示i站和j站之間的最短路徑距離,L反映了從車站i去往車站j平均經(jīng)過的車站數(shù),是網(wǎng)絡(luò)連通性的一個(gè)指標(biāo).pij(t)分別表示t時(shí)刻i站的進(jìn)站乘客數(shù)、出站乘客數(shù)以及從i站去往j站的乘客數(shù).由于高峰期常態(tài)大客流通常以通勤通學(xué)為目的,乘客起訖點(diǎn)相對固定,的值可由AFC實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析獲得,設(shè)為常數(shù).考慮地鐵對居民職住地選擇和通勤出行行為的影響,本文利用在路網(wǎng)規(guī)劃中常用的基于旅客空間相互作用的重力模型對pij(t)進(jìn)行估計(jì),即:

    大多數(shù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)雖然具有非線性特征,但是在結(jié)構(gòu)上與線性系統(tǒng)有相似性質(zhì)[9].假設(shè)對限流的時(shí)間段進(jìn)行細(xì)分,在一個(gè)充分小的Δt時(shí)間段內(nèi),系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間的變化而變化,則客流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可用線性時(shí)不變動(dòng)力系統(tǒng)微分方程表示為:

    模型具有線性和時(shí)不變性兩個(gè)特征,向量x(t)=(x1(t),x2(t),…,xN(t))T表示t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各車站的客流狀態(tài),xi(t)可看作車站i實(shí)際客流強(qiáng)度;A=(aij(t) )N×N為基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的客流轉(zhuǎn)移矩陣,其中aij(t)≠ 0 表示網(wǎng)絡(luò)圖中存在從節(jié)點(diǎn)vj指向節(jié)點(diǎn)vi的邊,其值表示站間的客流轉(zhuǎn)移情況;式(2)刻畫了Δt時(shí)間段內(nèi)客流變化過程.

    在[t,t+Δt]區(qū)間內(nèi),若存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t),使系統(tǒng)由初始狀態(tài)x(t)轉(zhuǎn)移到期望狀態(tài)x(t+Δt),則稱系統(tǒng)在此狀態(tài)是可控的.若所有狀態(tài)皆可控,則稱系統(tǒng)可控.高峰時(shí)段的客流分布和運(yùn)能之間通常不匹配,若以外界實(shí)施的控流措施作為輸入條件,則控流效果可表示為:

    其中,輸入矩陣B=(bij(t) )N×M表示t時(shí)刻被選擇進(jìn)行客流控制的M(M≤N)個(gè)車站;輸入信號u(t)=若t時(shí)刻j站限流,則取b(t)=1 (i=j),否則為0;u(t)為j ijj站的控流強(qiáng)度.

    1.2 客流網(wǎng)絡(luò)可控性分析

    在有向網(wǎng)絡(luò)中,帶有控制輸入的節(jié)點(diǎn)為控制節(jié)點(diǎn),只有單一輸入的控制節(jié)點(diǎn)為驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn),如果從控制節(jié)點(diǎn)到狀態(tài)節(jié)點(diǎn)至少存在一條鏈,則稱此狀態(tài)節(jié)點(diǎn)為被控節(jié)點(diǎn).系統(tǒng)可控情形下,輸入信號可通過某條路徑到達(dá)所有的節(jié)點(diǎn).基于系統(tǒng)可控性優(yōu)化主要解決兩個(gè)問題:最少需要多少驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)Nd使系統(tǒng)可控;如何進(jìn)行驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的選擇以使控制效果更好.

    文獻(xiàn)[8]提出,線性系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是由A和B構(gòu)成的 Kalman判別矩陣c的行秩是滿秩,即滿足:

    以圖1的網(wǎng)絡(luò)為例,在圖1-a中:

    圖1 有向網(wǎng)絡(luò)可控性判別

    此時(shí)rank(c)=4,網(wǎng)絡(luò)可控.而圖1-b中 rank(c)=3<4,網(wǎng)絡(luò)處于不可控狀態(tài).

    文獻(xiàn)[9]提出了網(wǎng)絡(luò)可控性與最大匹配相關(guān)聯(lián)的最小輸入理論,即控制一個(gè)有向網(wǎng)絡(luò)所需的最少輸入數(shù)量(驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù))等于二分圖的最大匹配中未匹配節(jié)點(diǎn)數(shù)量.若存在完全匹配,則最少驅(qū)動(dòng)點(diǎn)Nd=1;如果不存在完全匹配,則Nd為網(wǎng)絡(luò)最大匹配集所對應(yīng)的未匹配節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù).

    本文將地鐵客流控制站點(diǎn)的識別問題轉(zhuǎn)化為:如何從網(wǎng)絡(luò)中找出有限個(gè)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn),使不可控網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為可控網(wǎng)絡(luò).基于以上分析,可采取如下思路:將圖G(V,E)轉(zhuǎn)化為二分圖,節(jié)點(diǎn)vi分為由此構(gòu)成兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)集邊集E=設(shè)M為二分圖邊集的一個(gè)子集,若M中的任意兩條邊都沒有公共的起點(diǎn)和終點(diǎn),則稱M是一個(gè)匹配,如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)是M中的一條邊的終點(diǎn),則該節(jié)點(diǎn)就是匹配節(jié)點(diǎn),否則為非匹配節(jié)點(diǎn),非匹配節(jié)點(diǎn)即為驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn).網(wǎng)絡(luò)的所有邊沒有共享的頭節(jié)點(diǎn)或尾節(jié)點(diǎn)時(shí),網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最大匹配.圖2給出了圖1-b所示網(wǎng)絡(luò)到二分圖之間的映射關(guān)系,根據(jù)最大匹配原理求得非匹配節(jié)點(diǎn)為{v1,v4}.對非匹配節(jié)點(diǎn)(驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn))給予相同數(shù)量的輸入信號,可實(shí)現(xiàn)對整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的有效控制.

    圖2 網(wǎng)絡(luò)到二分圖的映射關(guān)系

    從示例可以看出,系統(tǒng)可控與否主要取決于其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和外界輸入條件,但在實(shí)踐運(yùn)用中會(huì)遇到以下問題:1)對于簡單有向網(wǎng)絡(luò),可以利用枚舉法通過不斷添加和判斷兩個(gè)過程尋找最少控制點(diǎn),計(jì)算其復(fù)雜度為2N-1,對于大型網(wǎng)絡(luò)此方法在理論上可行,實(shí)際卻不可行;2)由于客流是動(dòng)態(tài)變化的,aij(t)的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)具有滯后性,只能取得近似值.針對以上兩種情形,本文進(jìn)一步提出優(yōu)化算法.

    2 基于最小驅(qū)動(dòng)點(diǎn)集的控流車站識別優(yōu)化方法

    由于在地鐵網(wǎng)絡(luò)高峰期,不同線路、同一線路的上下行方向以及線路各斷面之間會(huì)存在客流空間分布不均衡現(xiàn)象;另外由前面分析可知,客流的實(shí)時(shí)精確數(shù)據(jù)難以獲得.為了解決問題的主要矛盾,針對有向弧上的流量引入閾值q0,基于q0對初始網(wǎng)絡(luò)矩陣中的有向弧進(jìn)行刪減,當(dāng)pij≥q0時(shí),取aij(t)=pij(t),保留弧E(vi,vj);當(dāng)pij(t)<q0時(shí),取aij(t)=0,剔除弧E(vi,vj),將初始網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為骨干網(wǎng)絡(luò).

    當(dāng)r ank (c)=ra nk (B,AB,A2B,…,AN-1B) <N時(shí),說明系 統(tǒng)處 于不可 控狀 態(tài),此 時(shí)添 加新的 虛 擬輸入節(jié)點(diǎn)vk,連接有向弧E(vi,vk),新系統(tǒng)的輸入-輸出模型可定義為:

    其中B'=(Ek),Ek為單位矩陣的第k列的列向量,u'(t)為新增的輸入信號.令 r ank (c')=rank([B,B'],A[B,B'],A2[B,B'],…,AN-1[B,B']),稱f(i)=ra nk(c')-r ank(c)為節(jié)點(diǎn)vi的控制能力.若f(i)≠ 0,則稱節(jié)點(diǎn)vk的添加為節(jié)點(diǎn)vi的有效添加,否則為無效添加.遍歷vk的所有有效添加的節(jié)點(diǎn),稱max{f(i)i=1,2,…,N}對應(yīng)的連接為節(jié)點(diǎn)vk的最優(yōu)連接.

    具體算法如下:

    步驟1:構(gòu)造骨干網(wǎng)絡(luò)矩陣A.

    步驟2:對化簡后的骨干網(wǎng)絡(luò)求最小驅(qū)動(dòng)點(diǎn)集.

    1)初始化,令S=0,U=[ ],b=[ ],v={}.計(jì)算節(jié)點(diǎn)vi(i=1,2,…,N)的控制能力f(i),按值的降序?qū)?jié)點(diǎn)進(jìn)行排列.

    2)添加新的輸入節(jié)點(diǎn)vk,按下列規(guī)則尋找最優(yōu)連接:若vk是關(guān)于某節(jié)點(diǎn)的無效添加,則考慮下一個(gè)點(diǎn),直至找到所有有效添加節(jié)點(diǎn)集合,選擇vk的最優(yōu)連接E(vi,vk).此時(shí)有:S=vi,U=

    3)循環(huán),直到所有添加的輸入節(jié)點(diǎn)都找到最優(yōu)連接.

    4)終止條件:判別矩陣行秩為滿秩.

    高峰期客流控制時(shí)間設(shè)為[0,T],將其等分成長度為δ的個(gè)小時(shí)間段,滿足=T.在每個(gè)δ時(shí)間段內(nèi),依據(jù)本文提出的算法對控制站點(diǎn)進(jìn)行識別,重復(fù)上述過程,可得出整個(gè)高峰時(shí)段的最優(yōu)控流策略.由于車站客流強(qiáng)度是時(shí)間的函數(shù),因此,控流車站的選擇在實(shí)施過程中也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程.

    3 算例實(shí)驗(yàn)

    深圳地鐵目前已運(yùn)營線路共設(shè)有283座車站,為減少問題復(fù)雜度,本文以客運(yùn)量較大的3號線為例.3號線全長42 km,共30座車站,采用6節(jié)編組的B型地鐵列車,早晚高峰期列車追蹤間隔時(shí)間已縮減至150 s,區(qū)間最高運(yùn)營速度85 km/h.某4個(gè)連續(xù)工作日18:30到18:45實(shí)測15 min斷面客流分布如圖3所示,沿線潮汐客流特征明顯,小時(shí)客流不均衡系數(shù)和區(qū)間斷面客流不均衡系數(shù)皆較大,其下行方向部分區(qū)間擁擠度峰值高達(dá)121%.

    圖3 晚高峰斷面客流分布

    根據(jù)換乘節(jié)點(diǎn)所通過線路的條數(shù),針對所有換乘節(jié)點(diǎn),添加相應(yīng)個(gè)數(shù)相關(guān)聯(lián)的虛擬節(jié)點(diǎn),以表示線網(wǎng)間存在的客流轉(zhuǎn)換關(guān)系.基于沿線各站進(jìn)出的平均數(shù)據(jù)及站間距離,依據(jù)式(1)估計(jì)出晚高峰15min內(nèi)客流OD數(shù)據(jù),可得狀態(tài)矩陣:

    取車站日均客流量15 min內(nèi)的平均值為閾值(q0=0.0213),算得骨干矩陣為:

    根據(jù)Kalman可控性判別條件可知系統(tǒng)處于不可控狀態(tài),主要原因在于:當(dāng)q0的值逐漸增大時(shí),骨干網(wǎng)絡(luò)中有向弧逐漸減少,許多點(diǎn)會(huì)變成孤立點(diǎn),對應(yīng)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)也將隨之增多;其次,該線路有11個(gè)換乘節(jié)點(diǎn),由最大匹配理論可知,換乘節(jié)點(diǎn)周圍的不匹配節(jié)點(diǎn)較多,所需驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量不夠.

    根據(jù)本文提出的搜索算法,當(dāng)添加的輸入節(jié)點(diǎn)達(dá)到7個(gè)及以上時(shí),系統(tǒng)處于可控狀態(tài),此時(shí)限流車站達(dá)到 23%以上,路網(wǎng)在可控狀態(tài)下的最優(yōu)連接,即最小控流車站集合為{蓮花村、老街、曬布、翠竹、田貝、布吉、六約},這與該線路目前常態(tài)化限流車站的站點(diǎn)數(shù)量和實(shí)際站點(diǎn)基本吻合.

    4 結(jié)論

    本文結(jié)合圖論和系統(tǒng)可控性原理研究了地鐵高峰期客流控制站點(diǎn)的選擇問題,給出了網(wǎng)絡(luò)可控與否的判別方法,針對不可控情形,基于節(jié)點(diǎn)的控制能力提出最小驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)集合的搜索算法,算例驗(yàn)證了算法的合理性和有效性.

    本文對客流控制只作了宏觀方面的研究,具體的控流強(qiáng)度和控流措施沒有涉及;在將原始客流網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為骨干網(wǎng)絡(luò)時(shí),閾值的選取也帶有一定的主觀性;另外,驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目與節(jié)點(diǎn)的度分布之間的關(guān)系值得進(jìn)一步探討.這三個(gè)方面在今后的地鐵客流控制量化分析中再作深入研究.

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