一種基于變分模態(tài)分解和樣本熵的MEMS陀螺去噪方法

劉 洋，李 杰，張德彪，馮凱強(qiáng)，魯正隆

(中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西太原 030051)

0 引言

MEMS陀螺儀廣泛應(yīng)用于捷聯(lián)慣導(dǎo)、工業(yè)控制和消費(fèi)電子等領(lǐng)域。但由于受到MEMS敏感理論、工藝水平及使用環(huán)境的影響，噪聲成為制約MEMS陀螺儀性能的主要因素。構(gòu)建陀螺的誤差模型并補(bǔ)償對(duì)提高精度至關(guān)重要，然而真實(shí)信號(hào)和漂移通常都淹沒在高斯白噪聲中，且因?yàn)榇嬖谶@種非線性非平穩(wěn)的隨機(jī)過程導(dǎo)致難以建立精確的誤差補(bǔ)償模型，所以研究適用于非平穩(wěn)隨機(jī)誤差的去噪算法具有重要意義。目前許多學(xué)者都致力于解決相關(guān)問題，提出了采用例如卡爾曼濾波器(KF)[1]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)[2-3]和小波變換(WT)[4]等方法進(jìn)行濾波，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)它們在處理陀螺輸出信號(hào)時(shí)，都能提供良好的去噪效果，但也都存在各自的不足。KF方法需要在具有完整信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性下分別建立狀態(tài)方程和量測方程，結(jié)構(gòu)和初始參數(shù)的確認(rèn)都較為復(fù)雜，且其本質(zhì)上更適合處理穩(wěn)態(tài)信號(hào)，濾除非線性非穩(wěn)態(tài)信號(hào)噪聲的能力相對(duì)較弱?；赪T的時(shí)頻分析方法需要事先選定一個(gè)小波基，特定的小波基在全局可能是最佳的，但針對(duì)信號(hào)的某些局部特征卻很難分離出來，即小波基的選取對(duì)整個(gè)分析的結(jié)果影響很大，缺乏靈活性的同時(shí)也存在濾波時(shí)延問題。EMD可以看作一種不需要構(gòu)造任何先驗(yàn)基礎(chǔ)的自適應(yīng)濾波器[5]，但其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)還不完善，且對(duì)噪聲敏感，表現(xiàn)為在后期的分解中可能得到不準(zhǔn)確的固有模態(tài)函數(shù)(IMF)分量，產(chǎn)生模態(tài)混疊等現(xiàn)象。受EMD思想的啟發(fā)，K.Dragomiretskiy和D.Zosso提出了一種非遞歸的變分模態(tài)分解(VMD)方法，克服了EMD的很多缺點(diǎn)。該方法具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，復(fù)雜度低，不會(huì)造成模態(tài)混疊現(xiàn)象的發(fā)生。其假設(shè)復(fù)雜原始信號(hào)可以表示為幾個(gè)單組分(IMF)震蕩和趨勢的線性疊加[6]。換句話說，它可以將一個(gè)信號(hào)f(t)分解為特定數(shù)量的具有不同中心頻率和有限帶寬的AM-FM信號(hào)，并且對(duì)噪聲具有魯棒性。因此有助于得到給定信號(hào)的有效分解成分，利于后續(xù)分析處理。目前多用于非平穩(wěn)信號(hào)瞬時(shí)時(shí)頻特征的提取。

本文探討了VMD方法在陀螺隨機(jī)噪聲降噪方面的應(yīng)用，首先詳細(xì)分析了VMD的原理，并利用仿真信號(hào)驗(yàn)證了方法的可行性。然后對(duì)實(shí)際的MEMS陀螺靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將原始信號(hào)分解為IMF的集合，陀螺的真實(shí)信號(hào)主要集中在比較低的頻率范圍內(nèi)，針對(duì)不同的固有模態(tài)序列建立基于樣本熵理論的信號(hào)組分篩選標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)求解的各個(gè)IMF的樣本熵值，判斷并將其劃分為低頻有效信息IMFs、信息和噪聲混合IMFs和高頻噪聲主導(dǎo)IMFs3個(gè)具有不同特征的部分。如果僅剔除高頻噪聲IMFs后重構(gòu)會(huì)導(dǎo)致誤差較大，所以后續(xù)利用軟區(qū)間閾值降噪方法實(shí)現(xiàn)對(duì)混合分量的進(jìn)一步處理，同時(shí)舍棄高頻噪聲分量，最后通過重構(gòu)得到最終的信號(hào)。比較結(jié)果表明該算法的去噪性能優(yōu)于同等條件下的EMD方法。

1 基本原理與分析

1.1 VMD原理

VMD的核心思路總體分為2部分：一是先構(gòu)建變分問題；二是求解變分問題。該方法有一個(gè)重要假設(shè)，對(duì)于一個(gè)信號(hào)f，它都能夠分解為K個(gè)具有不同中心頻率和有限帶寬的IMF，即每個(gè)IMF都緊湊的圍繞在其中心頻率ωk附近，具有窄帶特性。如式(1)所示，此時(shí)重新定義IMF為一個(gè)調(diào)頻調(diào)幅信號(hào)。

uk(t)=Akcos(φk(t))

(1)

式中：uk為第k個(gè)IMF(1≤k≤K)；φk為相位；Ak為調(diào)制信號(hào)幅度的包絡(luò)(Ak(t)≥0)。

根據(jù)式(1)和提出的假設(shè)，可以得出VMD方法分解的實(shí)質(zhì)是一種有約束的優(yōu)化過程，在所有IMF線性疊加等于給定原始信號(hào)的約束條件限制下，讓這些具有不同中心頻率的IMF帶寬之和盡可能的小，理想狀態(tài)下每個(gè)IMF只包含一個(gè)頻率的函數(shù)分量。

為了評(píng)估其帶寬，執(zhí)行以下3個(gè)操作：

(1)對(duì)uk作Hlibert變換求解其分析信號(hào)以獲得單邊頻譜。

(2)乘以調(diào)諧到對(duì)應(yīng)ωk的指數(shù)諧波，從而把頻譜轉(zhuǎn)移至基帶。

(3)利用Gauss平滑估計(jì)ωk的帶寬(梯度的平方L2范數(shù))。

由此產(chǎn)生的變分約束優(yōu)化問題可以用式(2)表示：

(2)

式中：?t為梯度；δ(t)為單位脈沖函數(shù)。

要求獲得的IMF帶寬盡可能窄的同時(shí)要保證分解之后的IMF重構(gòu)后不能嚴(yán)重失真。為了解決這個(gè)變分約束問題，在此使用能提升重構(gòu)逼真度的二次懲罰項(xiàng)并引入使約束條件保持嚴(yán)格性的拉格朗日乘數(shù)λ(t)。如式(3)描述的擴(kuò)展拉格朗日方程所示，將提出的有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成等效的無約束輔助函數(shù)最小化求解問題。其中α表示二次懲罰因子，此處可理解為調(diào)節(jié)數(shù)據(jù)保真度的平衡參數(shù)。

本組新生兒均執(zhí)行產(chǎn)科常規(guī)護(hù)理,包括監(jiān)測、記錄新生兒體溫、體重、皮膚與呼吸有無異常等,當(dāng)發(fā)現(xiàn)新生兒存在患病表現(xiàn)時(shí),應(yīng)及時(shí)給予病情監(jiān)護(hù)、生命體征監(jiān)護(hù)、給藥護(hù)理等。

(3)

利用乘法算子交替方向法，結(jié)合Parseval/Plan-cherel傅里葉等距變換交替迭代得到子問題的解為：

(4)

式中：n為迭代次數(shù)；ωk為中心頻率。

ωk可通過式(5)進(jìn)行更新。拉格朗日乘數(shù)可通過式(6)進(jìn)行更新。

(5)

(6)

式中τ為設(shè)定的噪聲容限。

綜上所述，獲得模態(tài)分量和中心頻率的迭代過程可簡述為：

(4)根據(jù)式(7)判斷是否符合精度要求(ε為設(shè)定的收斂閾值)，若不符合則繼續(xù)重復(fù)步驟(2)至步驟(4)，若符合，退出迭代過程，輸出K個(gè)模態(tài)分量。

(7)

1.2 仿真信號(hào)分析

為了驗(yàn)證VMD算法的有效性，構(gòu)造仿真信號(hào)如下：

f(t)=sin(2πtf1)+0.4sin(2πtf2)+0.15sin(2πtf3)+η

式中：頻率成分f1=2 Hz、f2=30 Hz和f3=100 Hz；η為高斯白噪聲，η=15 dB。

VMD方法存在一個(gè)局限性，即使用前需根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定分解IMF的數(shù)量K。針對(duì)此信號(hào)設(shè)定K=6，二次懲罰因子α=4 000，噪聲容限τ=0.1，收斂閾值ε=10-7。圖1為仿真原始信號(hào)。分解之后得到的模態(tài)分量及對(duì)應(yīng)的頻譜如圖2所示。

圖1 仿真原始信號(hào)

圖2展示了信號(hào)中的幾個(gè)頻率成分可以通過VMD算法從低到高依次被分解提取出來。以便于進(jìn)行后續(xù)分析處理。

1.3 樣本熵與區(qū)間閾值濾波

實(shí)際上，當(dāng)VMD應(yīng)用于真實(shí)的陀螺信號(hào)輸出時(shí)，分解結(jié)果中必定包含有效信號(hào)與隨機(jī)噪聲混合的模態(tài)，且陀螺輸出的有效信號(hào)主要集中在低頻段，那么全部模態(tài)序列整體上可以用低頻有效信息IMFs、信息和噪聲混合IMFs和高頻噪聲主導(dǎo)IMFs3個(gè)具有不同特征的部分來概括。因此如果能建立相應(yīng)的篩選標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地劃分歸屬范圍，降噪過程就會(huì)更加的清晰具體。

(a)模態(tài)分量

在與VMD類似的EMD算法的應(yīng)用過程中，文獻(xiàn)[7]提出可以通過計(jì)算給定原始信號(hào)概率密度函數(shù)與IMF分量的2范數(shù)距離來度量兩者之間的相似性，進(jìn)而確定噪聲分量，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明這種方案具有良好的效果。同樣在EMD中，計(jì)算原始信號(hào)與IMF的相關(guān)系數(shù)來確認(rèn)組分也是被廣泛接受的一種解決辦法，但是它受信噪比和信號(hào)中趨勢項(xiàng)的影響比較大。本文提出應(yīng)用樣本熵理論來區(qū)分信號(hào)的組分。樣本熵是度量非穩(wěn)態(tài)時(shí)間序列復(fù)雜性的一種算法，熵值Se越低說明序列自似性越高，熵值越大說明序列越不規(guī)則、越復(fù)雜。Se可以通過文獻(xiàn)[8]介紹的方法在指定相似度閾值r和嵌入維數(shù)m后獲得。在獲取分解結(jié)果后，分別計(jì)算每個(gè)IMF的樣本熵值，對(duì)于近似高斯分布的高頻噪聲主導(dǎo)IMFs，Se較小且具有相近的值，隨著低頻成分在模態(tài)中占比的增加，Se逐漸增大。

在憑借上述方法確認(rèn)信號(hào)組分后，對(duì)高頻噪聲主導(dǎo)的IMFs予以舍棄，并采用軟區(qū)間閾值濾波方法對(duì)信息與噪聲混合IMFs進(jìn)行去噪，將小于閾值的部分置零，大于閾值的部分經(jīng)過計(jì)算保留。相比于硬區(qū)間閾值去噪方法，經(jīng)由軟區(qū)間閾值濾波處理的信號(hào)能夠保持連續(xù)性，可以有效提取混合分量中的有用信息。具體過程可參照式(8)完成[9]。

(8)

Ti可根據(jù)式(9)和式(10)確定。

(9)

(10)

式中：EL為最后一個(gè)高頻噪聲IMF的能量；N為數(shù)據(jù)長度；β和ρ為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)值，β=0.719，ρ=2.01[10]。

最后將混合分量去噪結(jié)果與低頻有效信息IMFs進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)得到最終信號(hào)。總體方案的流程可用圖3表示。

圖3 總體方案流程圖

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

采集一段MEMS陀螺的靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)，系統(tǒng)采樣率為1 000 Hz，為避免啟動(dòng)誤差影響結(jié)果分析，在1 h后取50 s的數(shù)據(jù)利用本方案進(jìn)行處理。設(shè)定分解模態(tài)個(gè)數(shù)K=8，二次懲罰因子α=5 000，噪聲容限τ=0.1，收斂閾值ε=10-7。首先得到VMD分解結(jié)果如圖4所示，為了有直觀清晰的體現(xiàn)，僅展示其中的1 000個(gè)采樣點(diǎn)。計(jì)算所得各模態(tài)樣本熵Se的變化趨勢如圖5所示?？梢钥闯龌跇颖眷氐呐卸ǚ椒梢苑直娉鲇嘘P(guān)趨勢項(xiàng)的特征拐點(diǎn)，所以定義IMF1和IMF2為低頻信息分量。具有高頻屬性的第6、7和8個(gè)固有模態(tài)擁有相近且相對(duì)最小的Se的值，所以定義IMF6、IMF7和IMF8為高頻噪聲分量。第3～5個(gè)模態(tài)是混合分量，應(yīng)用區(qū)間閾值濾波方法對(duì)該部分進(jìn)行降噪處理，處理完成后IMF1與IMF2和疊加重構(gòu)獲得最終信號(hào)。

圖4 陀螺數(shù)據(jù)VMD分解結(jié)果

圖5 各模態(tài)的樣本熵值

在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，該方案與同為模態(tài)分解去噪的EMD方法進(jìn)行對(duì)比(EMD分解后舍棄高頻噪聲分量并重構(gòu))，去噪結(jié)果如圖6所示，其中噪聲最大的原始信號(hào)顯示為深灰色，經(jīng)EMD處理的信號(hào)顯示為黑色，經(jīng)提出的方案處理的信號(hào)顯示為淺灰色。計(jì)算其各自的均方差并列在表1中。通過均方差值的對(duì)比可以證明基于VMD和樣本熵的去噪方案的性能顯著優(yōu)于EMD去噪方案。

圖6 去噪結(jié)果對(duì)比

表1 去噪結(jié)果均方差

3 結(jié)論

VMD可以自適應(yīng)地把數(shù)據(jù)分解為包含不同頻率成分的模態(tài)，樣本熵能夠有效地篩選評(píng)價(jià)模態(tài)信息。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證實(shí)基于2種方法的去噪方案對(duì)MEMS陀螺的隨機(jī)噪聲有明顯的抑制作用，同等條件下性能優(yōu)于EMD方案。因此通過提出的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，慣導(dǎo)系統(tǒng)的精度和可靠性可在一定程度上得到提升。