一道解析幾何模擬試題的探究與推廣*

廣東省中山市濠頭中學(xué)(528437) 閆偉

圓錐曲線與直線的位置關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結(jié)論,這些結(jié)論看似特殊,實(shí)則都具普遍性,而且往往具有豐富的命題背景和深厚的內(nèi)涵,研究此類試題不僅能夠更好的把握解析幾何的本質(zhì),還能透過試題挖掘隱含的命題規(guī)律,更能將其拓展到一般情況,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面借助GeoGebra 技術(shù)對一道解析聯(lián)考試題的探究為例進(jìn)行說明.

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目(2021年佛山市一模) 已知橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且過點(diǎn)A(?2,0).

(1)求橢圓C的方程;

(2)點(diǎn)P,Q分別在橢圓C和直線x= 4 上,OQ//AP,M為AP的中點(diǎn),求證:直線OM與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

分析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理以及橢圓中的動點(diǎn)軌跡問題等內(nèi)容,能力層面突出考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.試題結(jié)構(gòu)清晰,問題設(shè)置層次分明,內(nèi)涵豐富;試題第(2)問強(qiáng)化探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法,彰顯數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng),較好地檢測了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 解法探究

3 基于GeoGebra 的探究及反思

通過以上的分析和解答,直線OM與直線QF的交點(diǎn)在定圓上,那么該結(jié)果是偶然還是必然呢? 兩直線交點(diǎn)的軌跡和題目中橢圓的參數(shù)a,b以及直線AP,FQ的位置有關(guān)系嗎? 如果將參數(shù)a,b以及直線AP,FQ一般化,又會得到什么結(jié)果呢? 由于涉及到的運(yùn)算和直線AP,FQ的方程較為復(fù)雜,探究兩直線交點(diǎn)的軌跡有一定的難度,因此筆者借助于GeoGebra 平臺進(jìn)行探究,通過實(shí)驗(yàn)演示來找到與上述參數(shù)相關(guān)的定曲線方程,同時為后面的代數(shù)證明提供更加直觀的思路支持.

4 推廣結(jié)論,揭示本質(zhì)

結(jié)論5-6 的證明因篇幅原因,在此不一一贅述,留給有興趣的讀者;根據(jù)有心二次曲線極點(diǎn)和極線的性質(zhì),我們將結(jié)論5-6 統(tǒng)一概括為:

結(jié)論7已知不平行于坐標(biāo)軸的直線與有心二次曲線C交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F異于曲線中心O且不在曲線C上的一點(diǎn),點(diǎn)F關(guān)于曲線C的極線為l,點(diǎn)Q在直線l上,且OQ//AB,則直線OM與直線QF的交點(diǎn)恒在定曲線上.

極點(diǎn)與極線是解析幾何中的一條重要性質(zhì),它在圓錐曲線問題的探究中有十分重要的應(yīng)用,本文借助GeoGebra 平臺對這一類動點(diǎn)軌跡問題的探究很好地佐證了這一點(diǎn).

5 解后反思,總結(jié)提升

5.1 數(shù)學(xué)解題應(yīng)強(qiáng)化運(yùn)算能力的培養(yǎng)直線與圓錐曲線的綜合問題一直是各類考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn),因其靈活多變,常令學(xué)生望而生畏;當(dāng)涉及到繁冗運(yùn)算的考題,即使學(xué)生思路順暢,都難于得出結(jié)果,因此如何提高解析幾何的運(yùn)算能力就至關(guān)重要;要解決復(fù)雜的幾何運(yùn)算,需要選擇合適的算理;如解法1 中的設(shè)線法是解析幾何中的常規(guī)方法,解法2利用動點(diǎn)坐標(biāo)并借助向量運(yùn)算來解題就顯得相對簡潔,解法3 則是借助中點(diǎn)弦的斜率性質(zhì)解題,極大地降低了運(yùn)算復(fù)雜度.其實(shí)優(yōu)化解析幾何的方法很多,比如,借用平面幾何的性質(zhì)、高等幾何理論知識等,這就需要我們在平常的課堂教學(xué)中打破那種總是用直線和圓錐曲線聯(lián)立的類似驗(yàn)證的慣性思維,嘗試一題多解,尋求最優(yōu)的解法.

5.2 數(shù)學(xué)解題應(yīng)關(guān)注問題的本質(zhì)本題依托高等幾何中的極點(diǎn)極線知識命制而成,內(nèi)涵深刻.其實(shí)很多高考題和模擬試題有著豐富的背景,不少都是從高等數(shù)學(xué)教材中選取的素材,以此為基礎(chǔ)將其變抽象為具體,經(jīng)加工與調(diào)整形成,這是常見的一種命題方式.在教學(xué)過程中,要引導(dǎo)學(xué)生揭去它們的神秘“面紗”,揭示它們的背景及本質(zhì),這樣既能縮短解決同類問題的思維流程,更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)他們深入思考問題,鉆研問題的習(xí)慣,從而提高復(fù)習(xí)備考效率.