地下鏟運機(jī)鏟裝軌跡數(shù)學(xué)建模與仿真*

□ 趙曉燕 □ 郭 鑫,2 □ 姜 勇 □ 高澤宇 □ 張元清

1.礦冶科技集團(tuán)有限公司 北京 100160 2.北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 北京 100083

1 研究背景

地下鏟運機(jī)是地下金屬礦山開采中的重要運輸設(shè)備,地下金屬礦山的智能化開采是當(dāng)今行業(yè)發(fā)展的必然趨勢,地下鏟運機(jī)的自動鏟裝是智能化開采的關(guān)鍵技術(shù)之一[1-2]。地下鏟運機(jī)在鏟裝工作中,通過控制動臂油缸和轉(zhuǎn)斗油缸的伸縮量來調(diào)整鏟斗位姿,從而完成鏟裝作業(yè)。筆者選取合適的鏟裝方式和常見的料堆形狀輪廓后,規(guī)劃出理想鏟裝曲線。根據(jù)地下鏟運機(jī)工作裝置的運動學(xué)分析,完成鏟斗斗刃位置與動臂油缸伸縮量和轉(zhuǎn)斗油缸伸縮量的函數(shù)關(guān)系,實現(xiàn)鏟斗斗刃的軌跡曲線數(shù)學(xué)計算。利用仿真軟件模塊對地下鏟運機(jī)工作裝置進(jìn)行機(jī)構(gòu)學(xué)建模,完成目標(biāo)鏟裝軌跡曲線與仿真鏟裝軌跡曲線的誤差分析,為后續(xù)的控制器設(shè)計提供仿真模型。

2 鏟裝方式

在地下鏟運機(jī)自動鏟裝過程中,需要對鏟斗軌跡進(jìn)行跟蹤控制。鏟斗軌跡的跟蹤控制是建立在鏟斗軌跡規(guī)劃基礎(chǔ)上的。對地下鏟運機(jī)鏟斗軌跡進(jìn)行規(guī)劃,需要結(jié)合地下鏟運機(jī)鏟裝過程中采取的不同鏟裝方式及料堆的形狀輪廓,為此需要對不同的鏟裝方式和料堆形狀輪廓進(jìn)行分析。在確定鏟裝方式和料堆形狀輪廓的基礎(chǔ)上,對鏟裝軌跡進(jìn)行規(guī)劃處理。

經(jīng)查閱文獻(xiàn),現(xiàn)有地下鏟運機(jī)的鏟裝方式主要有三種[3]。

(1) 一次鏟裝法。地下鏟運機(jī)向前行駛,推動鏟斗鏟入料堆,直至鏟斗后壁和料堆接觸。此時,地下鏟運機(jī)停止前進(jìn),翻轉(zhuǎn)鏟斗或者舉升鏟斗完成鏟裝。這種鏟裝方式需要地下鏟運機(jī)提供很高的功率來克服阻力,常用于煤炭、黃沙等松散物料的鏟裝。

(2) 配合鏟裝法。在地下鏟運機(jī)向前行駛的同時,配合轉(zhuǎn)斗油缸或動臂油缸的動作進(jìn)行鏟裝作業(yè),提升動臂并且翻轉(zhuǎn)鏟斗。這種鏟裝方式的目的是使鏟斗斗刃的軌跡與料堆形狀輪廓大致平行,承受較小的鏟裝阻力,提高鏟裝效率。

(3) 分段鏟裝法。地下鏟運機(jī)采用分段鏟入和舉升的方法,鏟斗鏟入一定深度后,地下鏟運機(jī)停止前進(jìn),翻轉(zhuǎn)鏟斗使料堆回落,然后再次鏟入、翻轉(zhuǎn)鏟斗以保證滿斗率。這種鏟裝方式易損壞鏟斗零件,對工作裝置的強(qiáng)度有較高要求。

針對以上三種鏟裝方式,由鏟裝對象及優(yōu)缺點分析可知,采用配合鏟裝法,能夠鏟裝大塊料堆,減小鏟裝過程中受到的阻力,符合現(xiàn)有地下鏟運機(jī)的鏟裝特性。為此,筆者以配合鏟裝法為主進(jìn)行分析。

3 料堆形狀輪廓

對料堆形狀輪廓進(jìn)行研究歸納,主要有三種,如圖1所示[4-5]。

▲圖1 料堆形狀輪廓

料堆由于堆積方式的特殊性,造成曲線C1外凸,料堆在上層相對擠壓。曲線C2是現(xiàn)有普遍狀態(tài)下的料堆形狀輪廓,坡度近似為40°～45°料堆安息角。料堆由于粒度太小造成下滑,導(dǎo)致曲線C3凹陷,這種情況存在但較少。為適應(yīng)現(xiàn)有條件下的鏟裝方式,選取具有普遍代表性的曲線C2進(jìn)行理想鏟裝曲線的規(guī)劃分析。

4 理想鏟裝曲線規(guī)劃

在選取合適鏟裝方式及普遍存在的料堆形狀輪廓后,以曲線C2為例,對料堆進(jìn)行理想鏟裝曲線規(guī)劃。

(1) 確定地下鏟運機(jī)鏟斗斗刃坐標(biāo)。建立斗刃坐標(biāo)系,以斗刃與料堆的接觸點為原點,地下鏟運機(jī)前進(jìn)方向為X軸正向,豎直方向為Y軸。

(2) 確定插入深度。根據(jù)對應(yīng)的鏟裝曲線確定相應(yīng)的插入深度。

(3) 根據(jù)地下鏟運機(jī)鏟斗特性,確定鏟裝曲線與料堆形狀輪廓的包圍面積S,由此設(shè)定鏟裝曲線為二次曲線,建立方程:

(1)

式中:xO、xA、xB依次為鏟裝起點水平位置、水平插入終點水平位置、鏟裝階段終點水平位置;fC2、fOA、fAB依次為料堆形狀輪廓曲線、水平插入曲線、鏟裝階段曲線。

二次曲線在A點取極小值。

(4) 根據(jù)求解結(jié)果,生成地下鏟運機(jī)鏟斗斗刃的運行軌跡曲線。

結(jié)合KCY-2型地下鏟運機(jī),對理想鏟裝曲線進(jìn)行分析。建立一個鏟裝軌跡計算坐標(biāo)系,將地下鏟運機(jī)鏟斗放平,以鏟斗斗刃剛碰到料堆時動臂的固定鉸點為坐標(biāo)原點O0,前進(jìn)方向為X0軸正方向,垂直地面向上為Y0軸正方向,如圖2所示。經(jīng)實際測量,鏟斗斗刃O2的坐標(biāo)為(3.291 9 m,-1.283 1 m)。

▲圖2 鏟裝軌跡計算坐標(biāo)系

為確保自動化操作的連貫性,鏟裝軌跡曲線應(yīng)連續(xù)且光滑,由此設(shè)計鏟裝軌跡曲線,如圖3所示。

▲圖3 鏟裝軌跡曲線

在直線OA階段,動臂油缸和轉(zhuǎn)斗油缸保持不動,鏟斗接近水平,地下鏟運機(jī)以速度v1勻速推動鏟斗鏟入料堆,插入深度一般為30%～50%鏟斗斗底長度。OA長度經(jīng)計算為0.306～0.510 m,為方便計算,取中間值0.4 m。

在曲線AB鏟取階段,地下鏟運機(jī)以速度v2勻速推進(jìn)鏟斗,并開始舉升動臂和翻轉(zhuǎn)鏟斗。根據(jù)鏟斗容量1.6 m3和寬度1 800 mm,得到鏟斗的鏟裝截面積為0.82 m2。根據(jù)40°～45°堆料安息角,得到料堆的坡度為45°。

令二次曲線AB方程為:

y=k(x-a)2+b

(2)

A點為二次曲線的極值點,面積S為0.82 m2。

根據(jù)上述條件,可列出以下方程組:

(3)

式中:xO2為鏟裝起點;yA為水平插入終點豎直位置;fO2B、fO2A分別為料堆形狀輪廓曲線、水平插入曲線。

根據(jù)計算出的數(shù)值解得k為2.468 2,a為3.691 9,b為-1.283 1。由此可得,地下鏟運機(jī)鏟裝軌跡方程為:

(4)

5 數(shù)學(xué)建模

地下鏟運機(jī)工作裝置的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為鏟斗,為獲取準(zhǔn)確的鏟斗運行軌跡,對鏟斗斗刃進(jìn)行運動軌跡分析。為了方便對鏟斗斗刃進(jìn)行運動學(xué)計算,將工作裝置中的前車架、動臂、鏟斗組成一個樹形分枝[6-8],其坐標(biāo)系如圖4所示。

鏟斗斗刃P點在參考基坐標(biāo)系中的位置可以用相鄰兩剛體連體基坐標(biāo)系之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣來描述。設(shè)A1為地下鏟運機(jī)前車架在參考基坐標(biāo)系中的運動位置,A2為動臂相對前車架的位置,A3為鏟斗相對動臂的位置,AP為點P相對鏟斗的位置,于是地下鏟運機(jī)工作裝置各連桿相對于參考基坐標(biāo)系的位置可表示為:

(5)

利用多剛體運動學(xué)旋轉(zhuǎn)變換矩陣?yán)碚?結(jié)合各剛體間的位置關(guān)系,進(jìn)行矩陣變換:

(6)

(7)

(8)

(9)

聯(lián)立式(5)～式(9),得到鏟斗斗刃P點在參考基坐標(biāo)系中的位置變換式:

RTP=A1A2A3AP=

(10)

式中:Si=sinθi;Ci=cosθi;Sij=sin(θi+θj);Cij=cos(θi+θj);Sijk=sin(θi+θj+θk);Cijk=cos(θi+θj+θk);Lij為鉸鏈i、j之間的距離;θi為Xi+1與Xi之間的扭角,如果Zi的方向滿足從Xi+1到Xi的右手螺旋定則,那么取正角度,否則取負(fù)角度。

在式(10)中,θ2、θ3分別為動臂油缸行程、轉(zhuǎn)斗油缸行程的函數(shù)?？紤]各樹形分枝機(jī)構(gòu)自身并不相互獨立,列出相互之間的約束方程:

RTF=RT11T22TF=RT88T77TF

(11)

RTD=RT66T55TD=RT11T22T33T44TD

=RT11T22T99TD

(12)

式中:iTj為坐標(biāo)系{j}原點在坐標(biāo)系{i}中的坐標(biāo)。

利用運動學(xué)方程的逆解進(jìn)行求解,已知鏟斗斗刃P點的位置,反求工作油缸的行程。設(shè)定鏟斗的位置已知,則有:

(13)

式中:(nx,ny,nz)、(ox,oy,oz)、(ax,ay,az)依次為連體基坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸在參考基坐標(biāo)系R中的坐標(biāo);(px,py,pz)為連體基坐標(biāo)系原點在參考基坐標(biāo)系R中的坐標(biāo)。

對地下鏟運機(jī)實際鏟裝過程中鏟斗斗刃等數(shù)據(jù)采樣,利用式(11)和(12),得到100個對應(yīng)的工作油缸行程值。經(jīng)過計算處理后,進(jìn)行曲線擬合,得到工作油缸的驅(qū)動函數(shù)。

轉(zhuǎn)斗油缸和動臂油缸的驅(qū)動函數(shù)分別為:

(14)

(15)

式中:y1為轉(zhuǎn)斗油缸相對于初始位置的長度;y2為動臂油缸相對于初始位置的長度;t為鏟裝時間。

對地下鏟運機(jī)鏟裝插入過程進(jìn)行速度取樣,地下鏟運機(jī)的速度規(guī)劃為:

6 仿真分析

在鏟斗斗刃與油缸行程函數(shù)關(guān)系已知的情況下,應(yīng)用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行仿真計算,并對理想鏟裝軌跡曲線與仿真曲線進(jìn)行分析。

以地下鏟運機(jī)鏟裝前的狀態(tài)為初始狀態(tài),仿真鏟裝過程鏟斗斗刃的運動軌跡。可以將鏟裝過程分為三個階段:

(1) 鏟斗已下放至鏟裝狀態(tài),地下鏟運機(jī)前進(jìn),推動鏟斗到達(dá)料堆;

(2) 鏟斗在地下鏟運機(jī)的推動下鏟入料堆,鏟裝一定深度,然后舉升鏟斗和翻轉(zhuǎn)鏟斗;

(3) 地下鏟運機(jī)開始后退,駛離料堆。

對于多剛體系統(tǒng)而言,各剛體之間是通過接頭與運動副的方式連接起來的。筆者在導(dǎo)入地下鏟運機(jī)工作裝置的計算機(jī)輔助設(shè)計文件后,加上必要的驅(qū)動、約束和檢測模塊,完成系統(tǒng)的模型構(gòu)建。地下鏟運機(jī)工作裝置各部件之間的運動副關(guān)系見表1。

仿真模型的建立除了需要機(jī)構(gòu)之間的裝配約束,還需要對前車架剛體和路面剛體建立驅(qū)動,這時需要單獨添加的驅(qū)動模塊。此外,還需要定義機(jī)械環(huán)境條件,如重力、加速度作用方向等。結(jié)合基于鏟斗斗刃與油缸行程位置關(guān)系而得到的地下鏟運機(jī)動臂油缸和轉(zhuǎn)斗油缸驅(qū)動方程,建立鏟斗的運動仿真模型,并與理想鏟裝軌跡曲線進(jìn)行對比。

表1 地下鏟運機(jī)部件之間運動副關(guān)系

獲得仿真數(shù)據(jù)后,在MATLAB軟件中繪制鏟斗斗刃軌跡曲線,如圖5所示。鏟斗鏟入料堆一定深度后,工作油缸和地下鏟運機(jī)配合動作,完成鏟裝作業(yè),然后地下鏟運機(jī)駛離料堆。

▲圖5 鏟斗斗刃軌跡曲線

從圖5中可以看出,兩條軌跡曲線的趨勢相同,但存在一定誤差。從X值大于3 700 mm對理論鏟裝曲線和仿真鏟斗鏟裝曲線進(jìn)行豎直位移殘差分析,如圖6所示。

▲圖6 豎直位移殘差分布

從圖6中可以看出,豎直方向位移的殘差最大值為22.80 mm,殘差呈現(xiàn)非線性遞增規(guī)律,說明其中存在非線性系統(tǒng)誤差。造成鏟斗軌跡豎直方向系統(tǒng)誤差的原因主要有兩個。第一,建立運動學(xué)數(shù)學(xué)模型時所使用的設(shè)計尺寸與地下鏟運機(jī)實際尺寸之間存在加工誤差。第二,在地下鏟運機(jī)仿真建模時,某些約束設(shè)置太過理想化,參數(shù)選取不夠準(zhǔn)確。

針對豎直方向的系統(tǒng)誤差,除改進(jìn)仿真模型參數(shù)設(shè)置外,還應(yīng)采用修正法來進(jìn)行誤差消除。針對殘差呈現(xiàn)非線性的特點,可以采用使系統(tǒng)誤差隨機(jī)化的組合測量法,或通過最小二乘法進(jìn)行非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型構(gòu)造,并進(jìn)行實驗回歸統(tǒng)計分析,對系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。通過補(bǔ)償修正后的鏟斗斗刃軌跡曲線對比如圖7所示,豎直位移殘差分布如圖8所示?？梢钥闯?理想鏟裝曲線與仿真鏟裝曲線基本吻合,殘差很小,對于地下鏟運機(jī)的控制而言,誤差可以接受。

▲圖7 補(bǔ)償修正后鏟斗斗刃軌跡曲線

▲圖8 補(bǔ)償修正后豎直位移殘差分布

7 結(jié)束語

筆者在選定鏟裝方式和料堆形狀輪廓后,規(guī)劃出地下鏟運機(jī)理想鏟裝曲線,利用多剛體系統(tǒng)分析方法,建立地下鏟運機(jī)工作裝置的運動學(xué)模型,推導(dǎo)鏟斗斗刃位置與動臂油缸行程和轉(zhuǎn)斗油缸行程之間的函數(shù)關(guān)系,解算出對應(yīng)的動臂油缸和轉(zhuǎn)斗油缸驅(qū)動方程。建立工作裝置的MATLAB仿真模型,完成目標(biāo)鏟裝曲線與仿真鏟裝曲線的誤差分析,利用非線性回歸分析進(jìn)行補(bǔ)償和修正,在誤差允許范圍內(nèi)實現(xiàn)目標(biāo)鏟裝曲線。所做研究對后續(xù)地下鏟運機(jī)自主鏟裝控制器的設(shè)計具有指導(dǎo)意義。