目標(biāo)空間映射策略的高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

陳強(qiáng)，王宇嘉，梁海娜，孫欣

（上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620）

在現(xiàn)實(shí)生活中存在大量多目標(biāo)優(yōu)化問題，例如生產(chǎn)制造業(yè)、金融投資、航空調(diào)度等。多目標(biāo)優(yōu)化問題是由多個待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)組成，當(dāng)目標(biāo)個數(shù)多于3個時，該問題又被稱為高維多目標(biāo)優(yōu)化問題(many-objective optimization problem)[1]。由于各目標(biāo)之間具有沖突性，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法很難得到一組最優(yōu)解，因此，研究者大多采用啟發(fā)式方法來求解該問題。目前，用于求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的啟發(fā)式方法主要分為以下三類[2]：基于支配關(guān)系的進(jìn)化算法、基于分解的進(jìn)化算法和基于指標(biāo)的進(jìn)化算法。

基于支配關(guān)系的進(jìn)化算法是通過Pareto支配策略來選擇非支配解。NSGA-II[3]算法通過快速非支配解排序策略來獲得非支配解，但是該方法無法保證種群的多樣性。NSGA-III[4]作為NSGAII的改進(jìn)版本，為了增強(qiáng)算法處理高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的能力，在篩選同一等級的個體時，采用了基于參考點(diǎn)的方法來代替擁擠距離，然而該算法僅在某些具有特定形狀的Pareto前沿問題上表現(xiàn)較優(yōu)。CNSGA-III[5]算法在NSGA-III的基礎(chǔ)上，通過在非支配解層中添加一個聚類操作來增強(qiáng)算法種群的多樣性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該策略效果較差。Zou等[6]在NSGA-II框架基礎(chǔ)上，提出了一種在關(guān)鍵層中選取非支配解的旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格策略，在一定程度上增強(qiáng)了算法的選擇壓力。Lin等[7]提出了一種基于平衡適應(yīng)度估計策略的高維粒子群算法來解決高維多目標(biāo)優(yōu)化問題，該策略將目標(biāo)空間劃分為不同的區(qū)間并給每個區(qū)間中的目標(biāo)賦予不同的權(quán)重，然而過多的權(quán)重設(shè)置限制了該方法的實(shí)際應(yīng)用。

基于分解的進(jìn)化算法是通過將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為多個單目標(biāo)問題來處理。MOEA/D[8]和MOEA/D-M2M[9]是兩種常用的基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法。MOEA/DD[10]是通過目標(biāo)空間分解與自適應(yīng)權(quán)重分配相結(jié)合來解決高維多目標(biāo)優(yōu)化問題。但上述算法過于依賴權(quán)重的選取。此外為了減少Pareto前沿形狀對分解算法性能的影響，Liu等[11]提出了一種基于模糊分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法，結(jié)果表明該算法對于該問題具有較好的處理效果。

基于指標(biāo)的進(jìn)化算法是將解的評價標(biāo)準(zhǔn)作為選擇支配解的一類算法。IBEA[12]采用Hypervolume指標(biāo)選取非支配解，該方法在處理高維多目標(biāo)問題時無法保證分布性。Bader等[13]提出了另一種基于Hypervolume指標(biāo)的進(jìn)化算法，在一定程度上平衡了高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的收斂性和分布性，但是Hypervolume指標(biāo)的計算復(fù)雜度隨著目標(biāo)個數(shù)的增加呈指數(shù)增加[2]，進(jìn)一步限制了該算法應(yīng)用。此外，基于GD[14]、IGD[15]和R2[16]指標(biāo)的進(jìn)化算法在求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題時都取得了不錯的效果。

基于Pareto支配策略的進(jìn)化算法相對于另外兩類算法，可以從搜索的深度上逼近Pareto前沿，因此，對解決高維多目標(biāo)優(yōu)化問題方面仍具有巨大潛力。收斂性和分布性作為多目標(biāo)優(yōu)化問題中的兩個重要指標(biāo)，在種群演化過程中是相互沖突的[17]，因此設(shè)計一種能有效平衡收斂性和多樣性的新型支配策略，對于解決高維多目標(biāo)優(yōu)化問題具有重要意義。本文提出了一種目標(biāo)空間映射策略的高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，該策略作為一種新的多樣性保持機(jī)制，可從眾多的候選解中篩選出收斂性和分布性都較優(yōu)的個體，同時利用一種增強(qiáng)型反向?qū)W習(xí)策略幫助種群跳出局部最優(yōu)。

1 粒子群優(yōu)化算法

1.1 基本粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[18]是通過研究鳥群覓食規(guī)律而發(fā)展出的一種群智能優(yōu)化算法。粒子通過個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置動態(tài)更新自身的位置和速度，速度和位置的更新公式分別為

式中：ω表示權(quán)重系數(shù)；vid和xid分別表示第i個粒子在第d維度上的速度和位置大??；c1和c2表示學(xué)習(xí)因子；r1和r2表示(0，1)之間的隨機(jī)數(shù)；pid和pgd分別表示個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置。

1.2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法在其發(fā)展過程中，為了提高算法的尋優(yōu)性能，主要有以下幾種改進(jìn)策略。

1)調(diào)整算法的參數(shù)。為了平衡種群勘探與開采的能力，Shi等[19]將ω引入粒子群算法中，ω值越大，勘探未知區(qū)域的能力越強(qiáng)，ω值越小，小范圍內(nèi)的開采能力越強(qiáng)，Clerc等[20]建議ω的取值為0.729，Venter等[21]則采用非線性遞減的策略來更新ω。此外還有部分研究者通過調(diào)整c1、c2的取值來增強(qiáng)算法的搜索能力[22-23]。

2)設(shè)計不同類型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。Kennedy[24]通過分析種群拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與交互概率的關(guān)系，提出了一種bare bones particle swarm (BBPS)的模型。Yue等[25]提出了一種基于環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的粒子群算法并將其用于求解多模態(tài)的多目標(biāo)問題。

3)與其他策略相結(jié)合，形成混合粒子群算法。侯翔等[26]為了提高算法求解問題的能力，對所有粒子的最優(yōu)位置進(jìn)行降維處理，形成一個參考全局最優(yōu)解，同時使用該解來更新群體當(dāng)前的最優(yōu)位置。Lin 等[27]將 MOPSO 同分解算法相結(jié)合，采用兩種不同的搜索策略來更新粒子的速度，結(jié)果顯示，算法對復(fù)雜問題的解決性能得到了加強(qiáng)。Zain等[28]為了降低算法在約束問題上求解的難度，在標(biāo)準(zhǔn) MOPSO[29]算法的基礎(chǔ)上提出 了一種基于動態(tài)搜索邊界策略的 MOPSO。

2 目標(biāo)空間映射策略的高維多目標(biāo)粒子群算法

2.1 高維多目標(biāo)優(yōu)化問題

2.2 目標(biāo)空間映射策略

由于非支配解個數(shù)增加導(dǎo)致算法無法收斂到完整的Pareto前沿，本文采用目標(biāo)空間映射策略來增強(qiáng)算法對非支配解的選擇壓力。

首先，對每個個體在目標(biāo)空間中的收斂性進(jìn)行評價，采用式(4)計算個體的收斂性：式中：m表示目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)；di,o表示個體i到參考點(diǎn)o之間的歐式距離，這里將參考點(diǎn)設(shè)置為原點(diǎn)。Fi的值越小，個體的收斂性越好。

然后，對每個個體在目標(biāo)空間上的分布性進(jìn)行評價，采用式(5) 計算個體的分布性：

式中：fsi+1表示第i+1個個體在第s個目標(biāo)函數(shù)上的目標(biāo)值；Disi越大，則第i個個體的分布越好。

此時，每個非劣解都可以映射為以收斂性和分布性表征的2維空間，即 PS→(Fi,Disi)。

最后，計算收斂性評價的平均值Fave和分布性評價的平均值Disave，F(xiàn)ave和Disave如式(6)和(7)所示：

其中n表示個體的總數(shù)。

根據(jù)Fi、Disi、Fave、Disave這4個參數(shù)將映射后的2維空間劃分為4個不同的區(qū)域，如圖1所示。

圖 1 映射后的2維空間劃分結(jié)果Fig. 1 2-dimensinal space division result after mapping

在選取非支配解時，首先選取區(qū)域A中的個體，當(dāng)區(qū)域A中的個體個數(shù)大于外部文檔大小時，選取Valuei值小的個體進(jìn)入檔案文件；當(dāng)區(qū)域A中的個體個數(shù)小于外部文檔大小時，再從B和C中選取剩余個體，當(dāng)B和C中的個體個數(shù)大于剩余外部文檔大小時，仍然選取Valuei值小的個體進(jìn)入外部文檔。當(dāng)B和C中的個體個數(shù)不能滿足條件時，最后選取D中的個體。

圖2給出了目標(biāo)空間映射策略的流程圖。

圖 2 目標(biāo)映射策略的流程圖Fig. 2 Flowchart of the objective space mapping strategy

2.3 反向?qū)W習(xí)策略

優(yōu)化過程中如果算法陷入局部最優(yōu)，則利用反向?qū)W習(xí)策略作為跳出機(jī)制，其中文獻(xiàn)[30]的反向?qū)W習(xí)策略如式(9)所示：

式中：xid*表示第i個個體在第d維決策向量上得到的新位置；xd表示所有個體在第d維上的位置；ad和bd分別表示種群個體在第d維目標(biāo)向量上的最小和最大邊界值；k表示(0，1)間的隨機(jī)數(shù)；表示在第d維上的邊界約束。

由式(9)可得，x*id的取值范圍為bd,k(ad+bd)-ad]，當(dāng)k=1時，x*id取得最大值為bd。因此，當(dāng)最優(yōu)解的決策向量位于bd的右側(cè)時，上述方法不能跳出局部最優(yōu)。

本文對上述方法進(jìn)行了改進(jìn)，為提高算法跳出局部最優(yōu)的能力，同時不忽略當(dāng)前收斂信息，當(dāng)x*id=xdmin時，xid執(zhí)行式(10)給出的反向?qū)W習(xí)策略。

從式(10)可以看出，x*id的取值范圍擴(kuò)大到了[xdmin,xdmax]，該粒子跳出局部最優(yōu)區(qū)域。

為了判斷算法是否陷入局部最優(yōu)，本文采用文獻(xiàn)[31]給出的判斷準(zhǔn)則作為反向?qū)W習(xí)的激發(fā)條件，如式(11)所示：

式中：min(fit)和max(fit)分別表示在第t代時，第i個目標(biāo)維度上的最小和最大值。min和max(fit-10)分別表示在第t-10代時，第i個目標(biāo)維度上的最小和最大值。對于一個m維測試函數(shù)，通過式(11)對其所有的目標(biāo)維度的變化率進(jìn)行計算，當(dāng)所有的變化率都小于0.005時，算法陷入局部 最優(yōu)。

2.4 MOPSO-OSM流程

MOPSO-OSM算法具體流程如下：

1)算法初始化；

2)判斷是否滿足停止條件，若條件滿足，算法停止迭代，否則轉(zhuǎn)到3)；

3)判斷種群是否陷入局部最優(yōu)，執(zhí)行反向?qū)W習(xí)策略；否則，直接轉(zhuǎn)到4)；

4)利用式(1)和(2)更新個體的速度和位置；

5)計算個體的適應(yīng)度值；

6)對個體當(dāng)前適應(yīng)度值和前代適應(yīng)度值進(jìn)行比較來更新個體最優(yōu);

7)選擇非支配解；

8)利用目標(biāo)空間映射策略更新外部檔案文件；

9)從外部檔案中隨機(jī)選擇一個個體來更新種群 最優(yōu)，并轉(zhuǎn)到2)；

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 測試函數(shù)

為了評價算法性能的優(yōu)劣，文中采取了6組W FG測試函數(shù)。參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表 1 測試函數(shù)參數(shù)設(shè)置Table 1 Test functions parameter setting

3.2 性能指標(biāo)

文中利用世代距離(GD)、間距(SP)和逆世代距離(IGD)3個指標(biāo)來評估算法的性能。GD被用來評價種群的收斂性，GD值越小，收斂性越好，其計算公式為 √式中：n表示非支配解的個數(shù)；di表示非支配解與Pareto最優(yōu)解之間的歐式距離。

SP指標(biāo)通常被用來評價種群的分布性，其計算如式(13)所示，分布性好壞與其計算值成反比。

IGD指標(biāo)被用來同時評價種群分布性和收斂性，IGD越小，算法展現(xiàn)出的性能越好，其計算公式為

式中：P和P*分別表示Pareto最優(yōu)解集和非支配解 ；|P*|表示非支配個數(shù)。

3.3 對比算法及其設(shè)置

本文所得結(jié)果與目前較為流行的進(jìn)化算法進(jìn)行對比，比較算法包括：NSGA-III[3]、RVEA[32]、MOEA/DD[10]、PESA-II[33]和NMPSO[7]。所有使用的算法其種群大小都設(shè)置為100，外部文檔的大小為100，算法進(jìn)化的次數(shù)為700次，算法具體參數(shù)設(shè)置如表2所示，所有算法均運(yùn)行30次，計算收斂性和多樣性指標(biāo)，取其平均值。

表 2 對比算法參數(shù)設(shè)置Table 2 Comparison algorithms parameter setting

對于MOPSO-OSM算法，其權(quán)重ω是隨著迭代次數(shù)線性減少的。

3.4 結(jié)果與分析

表3和表4分別為所有算法在5目標(biāo)和10目標(biāo)測試函數(shù)時得到的GD、SP和IGD的平均值。

3.4.1 收斂性分析

從表3中可以看出，對于5目標(biāo)測試函數(shù)，NMPSO算法在WFG1和WFG2測試函數(shù)中得到了最好的GD值。NSGA-III算法在WFG4和WFG6問題中取得了最佳的GD值。MOPSOOSM算法在WFG3和WFG5取得了最優(yōu)的GD值。對于10目標(biāo)的測試函數(shù)，從表4中可以看出，在WFG1和 WFG2測試函數(shù)上，MOEA/DD取得了最佳GD值。NSGA-III在WFG6問題上取得最優(yōu)GD值，在WFG4和WFG5測試問題上，RVEA取得的GD值排名第一。對于WFG3測試函數(shù)，MOPSO-OSM取得了最優(yōu)的GD值。從以上可以看出，本文所提出的算法在大部分測試函數(shù)中并沒有取得最優(yōu)值。原因在于，大多數(shù)算法在求解時，僅僅追求收斂性，忽視了分布性，而本文在目標(biāo)空間分配策略中，同時考慮目標(biāo)向量的收斂性和分布性，所以在測試函數(shù)中，并不能完全保證GD的最優(yōu)性，這也驗(yàn)證了“沒有免費(fèi)午餐”的原理。

3.4.2 分布性分析

對于5目標(biāo)測試函數(shù)，從表3中可以看出，MOPSO-OSM算法在所有測試函數(shù)中都取得了最好的SP值。對于10目標(biāo)的測試函數(shù)，從表4可以看出，MOPSO-OSM算法同樣在所有的測試函數(shù)中，得到了最好的SP值。以上可以看出，MOPSO-OSM算法在保持種群分布性上面具有很大的優(yōu)勢。

表 3 5目標(biāo)測試函數(shù)結(jié)果Table 3 Results of five objectives

表 4 10目標(biāo)測試函數(shù)結(jié)果Table 4 Results of ten objectives

3.4.3 整體性分析

從表3中可以看出，對于5目標(biāo)測試函數(shù)，NSGA-III在WFG1、WFG5和WFG6中取得了最優(yōu)的IGD值。MOEA/DD在WFG2中取得最好的IGD值。MOPSO-OSM算法在WFG3和WFG4中取得的IGD值排名第一。對于10目標(biāo)測試函數(shù)，從表4可以看出，MOEA/DD在WFG1和WFG2中取得了IGD的最優(yōu)值。NMPSO在WFG4和WFG5中的IGD值最優(yōu)。MOPSO-OSM算法在WFG3和WFG6中的IGD取得了最佳值。從以上可以看出，本文所提算法在處理WFG1和WFG2問題時表現(xiàn)出較低的能力，主要原因在于目標(biāo)映射策略要綜合考慮個體的分布性和收斂性，導(dǎo)致了算法在該問題上的收斂性不足，無法得到一組完整的Pareto前沿，所以該算法在處理WFG1和WFG2問題時還有待提高。對于其余測試函數(shù)，雖然在部分問題上算法無法得到最優(yōu)值，但是所得結(jié)果仍處于較好的排名。對于不同目標(biāo)個數(shù)的同一個測試函數(shù)，本文算法與其余算法相比較，隨著目標(biāo)個數(shù)的增加，對比算法的性能都在急劇下降，而本文所提算法展現(xiàn)出了更好的適應(yīng)性能。通過以上可以看出，本文采用的目標(biāo)空間映射策略，將收斂性和多樣性結(jié)合，用這兩者對目標(biāo)向量進(jìn)行分類選擇，最后得到的非支配解具有較好的性能。

圖3分別給出了在5目標(biāo)WFG3測試函數(shù)下得到的Pareto前沿。對于WFG3測試函數(shù)，所有算法都得不到一個完整的Pareto前沿。但是MOPSO-OSM算法的Pareto前沿相比于另外5種對比算法，其收斂性和分布性都是明顯優(yōu)于其他算法，表現(xiàn)出較好的性能。圖4給出了MOPSOOSM算法在5目標(biāo)WFG3和WFG4測試問題中得到的GD值曲線。

圖 3 6種算法在5目標(biāo)WFG3測試函數(shù)所得Pareto前沿Fig. 3 Six algorithms obtain Pareto Front in 5 objective WFG3 test function

圖 4 MOPSO-OSM在5目標(biāo)WFG3和WFG4上的GD曲線Fig. 4 GD curves of MOPSO-OSM for WFG3 and WFG4 with five objectives

圖4中橫坐標(biāo)為記錄的次數(shù)，每7次迭代記錄一次。從中可以看出，在迭代過程中，GD值都是逐漸減小，算法逐漸收斂。目標(biāo)映射策略作為一種有效的篩選候選解的方法，對于算法在問題中的收斂性能的表現(xiàn)起到?jīng)Q定性的作用，因此，在高維多目標(biāo)優(yōu)化問題中，目標(biāo)映射策略是可行且有效的。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于目標(biāo)空間映射策略的高維多目標(biāo)粒子群算法來求解高維多目標(biāo)問題。該方法利用性能指標(biāo)對目標(biāo)空間進(jìn)行劃分，從而達(dá)到增強(qiáng)算法選擇壓力的目的。通過6組標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的仿真驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在處理高維多目標(biāo)問題時，目標(biāo)空間映射策略能夠有效地提高種群的收斂性和分布性。將該算法應(yīng)用在工程實(shí)例問題將是下一步的研究重點(diǎn)。

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