激光散斑漂移現(xiàn)象的理論模型與成像實(shí)驗(yàn)

郭又溪，賀韻博，劉榮臻，宮殿錦豐，夏成杰

(華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，上海 200241)

自1960年激光問世以來，由于其高亮度、高方向和高相干等特性，是很多基礎(chǔ)物理與工程問題研究的重要工具[1].本文研究的激光散斑及其漂移現(xiàn)象，就是一種典型的激光相干現(xiàn)象.激光被隨機(jī)粗糙介質(zhì)散射后，會(huì)在空間中形成顆粒狀圖樣，被稱作激光散斑[2]；當(dāng)光源、散射介質(zhì)彼此相對(duì)移動(dòng)的時(shí)候，會(huì)觀察到散斑的漂移.直接觀察低功率激光筆照射在粗糙表面上的光斑，并輕微晃動(dòng)頭部，就可以觀察到這一現(xiàn)象.激光散斑及其漂移現(xiàn)象具有廣泛應(yīng)用，比如測(cè)量材質(zhì)表面的粗糙程度[3, 4]，探測(cè)物體的微小位移或形變[5]，測(cè)量不穩(wěn)定流場的速度分布等[6,7].

激光散斑是被隨機(jī)散射的激光在空間中相干，進(jìn)而在成像系統(tǒng)中觀察到的隨機(jī)圖樣.當(dāng)成像系統(tǒng)相對(duì)于靜止的光場移動(dòng)時(shí)，圖案自然也發(fā)生移動(dòng).利用如圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置便可觀察到此現(xiàn)象.這些現(xiàn)象原則上可以利用波動(dòng)光學(xué)的基本原理進(jìn)行計(jì)算[8]，但具體的計(jì)算方法和步驟并不簡單.此外，波動(dòng)光學(xué)給出的計(jì)算結(jié)果不直觀，無法清晰解釋觀察到的像到底是“哪里的像”，以及散斑漂移的“快慢”如何依賴于焦距等成像系統(tǒng)幾何參數(shù)等問題.對(duì)這一現(xiàn)象更基礎(chǔ)和直觀的理論解釋、以及完整的建模算法，可以幫助人們加深對(duì)這一常見的激光散射現(xiàn)象的認(rèn)知，促進(jìn)在相關(guān)定量測(cè)量方面的創(chuàng)新應(yīng)用.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖(用CCD相機(jī)拍攝經(jīng)激光照射的粗糙表面，在電腦中觀察散斑圖像.當(dāng)相機(jī)平移時(shí)，散斑圖像相應(yīng)移動(dòng))

本文從波動(dòng)光學(xué)與幾何光學(xué)兩個(gè)角度來分析激光散斑及其漂移現(xiàn)象，并開展成像實(shí)驗(yàn)，所得理論結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)相符.在第1節(jié)，我們首先簡述關(guān)于激光散斑出現(xiàn)機(jī)制的正態(tài)散斑模型.在此模型的基礎(chǔ)上，我們基于波動(dòng)光學(xué)原理數(shù)值計(jì)算散斑圖案，并模擬當(dāng)成像系統(tǒng)移動(dòng)時(shí)散斑的漂移過程.隨后，我們介紹等價(jià)的幾何光學(xué)理論.在第2節(jié)，我們介紹觀察激光散斑漂移的實(shí)驗(yàn)裝置，以及定量分析其漂移量的圖像處理算法.在第3節(jié)，我們展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并對(duì)比實(shí)驗(yàn)、數(shù)值計(jì)算，以及幾何光學(xué)理論的結(jié)果.總結(jié)與討論在第四節(jié)中.

1 散斑及其漂移現(xiàn)象的理論模型

1.1 正態(tài)散斑模型

正態(tài)散斑模型是描述激光散斑現(xiàn)象的簡化模型.散射屏平面受線偏振、單色、平行相干光的照射，出射光場的復(fù)振幅可表示為

U0(ξ,η)=A0(ξ,η)exp[iφ0(ξ,η)]

其中(ξ,η)表示散射屏上的平面直角坐標(biāo)，實(shí)數(shù)標(biāo)量場A0(ξ,η)和φ0(ξ,η)分別表示振幅與相位.模型假設(shè)出射光場具有以下統(tǒng)計(jì)性質(zhì)[9,10]：1)不同空間位置的A0和φ0是隨機(jī)數(shù)，且兩者無關(guān)；2)它們各自的數(shù)學(xué)期望與方差和空間位置無關(guān)；3)空間中任意兩點(diǎn)的數(shù)值的相關(guān)性為0；4)A0的平均值為1，即散射屏平均透射率為常數(shù)且歸一化為1；5)φ0為均勻分布在[-π,π)之間的隨機(jī)數(shù).此外，在散射屏上，假設(shè)只有一直徑為D的圓形區(qū)域被激光照亮，即激光光束的有效直徑.

在上述假設(shè)下，計(jì)算沿散射屏法向傳播距離z后的光強(qiáng)分布，及其空間自相關(guān)函數(shù)，得到單個(gè)散斑的光強(qiáng)分布在橫向(垂直于光傳播方向)和縱向(平行于光傳播方向)的平均半峰寬分別為[9]：1.22λ/D和8λz2/D2，其中λ為激光波長.一般而言，激光光束直徑D為毫米量級(jí)，而成像平面與散射屏的距離z為米量級(jí)，所以散斑具有空間各向異性，其橫向大小遠(yuǎn)小于縱向大小，可形象地理解為一個(gè)個(gè)長軸沿光傳播方向的旋轉(zhuǎn)橢球,如圖2.

由上述分析可知，若縱向移動(dòng)觀察設(shè)備，成像平面上的散斑不斷消失和出現(xiàn)，觀察到散斑的“閃爍”現(xiàn)象；而橫向移動(dòng)觀察設(shè)備可觀察到散斑的漂移現(xiàn)象(圖2).并且，由于散斑形狀的各向異性，相對(duì)于橫向移動(dòng)，需縱向移動(dòng)成像設(shè)備較大一段距離后，才能觀察到明顯的光場變化.在本文的理論及實(shí)驗(yàn)研究中，我們只分析橫向移動(dòng)成像設(shè)備時(shí)所觀察到的散斑漂移現(xiàn)象，但介紹的數(shù)值計(jì)算方法也可簡單地推廣到向任意方向移動(dòng)成像設(shè)備的情形中.

圖2 單個(gè)激光散斑的橫縱向尺寸以及成像平面移動(dòng)示意圖

1.2 傅里葉光學(xué)計(jì)算激光散斑成像

正態(tài)散斑模型給出了散射屏平面上的光場復(fù)振幅，由此出發(fā)可近似計(jì)算平行于散射屏的任意平面上的光場復(fù)振幅，包括在傳播過程中經(jīng)過透鏡的情況.在傅里葉光學(xué)中，相干光復(fù)振幅在空間中的傳播，其數(shù)學(xué)形式類似于對(duì)傳播前的復(fù)振幅的空間分布進(jìn)行二維傅里葉變換；而(薄)透鏡的作用可近似為改變了復(fù)振幅的相位的空間分布.

基于惠更斯-菲涅爾原理，在菲涅爾近似下，散射屏平面的光場U0(ξ,η)傳播至z平面處的復(fù)振幅為[8]

(1)

其中k=2π/λ為波數(shù)，Σ表示積分區(qū)域，即整個(gè)散射屏平面.對(duì)比二維傅里葉變換公式，上式簡寫作

(2)

其中F {·}表示做二維傅里葉變換.由式(1)中exp[-ik/z(xξ+yη)]一項(xiàng)可知，傅里葉變換后所得二維頻譜圖中各點(diǎn)的頻率坐標(biāo)(fξ,fη)與z平面處光場的實(shí)空間坐標(biāo)(x,y)存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系

x=λfξz,y=λfηz

(3)

將式(2)與其復(fù)共軛相乘，可以得到z處光強(qiáng)分布.

如光路中存在透鏡，則在式(1)、(2)中令z=zt，得到緊貼透鏡前方的平面上的光場復(fù)振幅Ut(xt,yt)，其中(xt,yt)表示透鏡所在平面的直角坐標(biāo)，zt為透鏡與散射屏之間的距離.緊貼透鏡后方的平面上的光場復(fù)振幅為

(4)

其中

(5)

表示透鏡的相位變換因子，其中f是透鏡的焦距[8].

經(jīng)過透鏡后，光場再次傳播一段距離W后的光場可通過與式(2)相同的方式進(jìn)行計(jì)算，得到成像平面上的復(fù)振幅為

(6)

1.3 散斑及其漂移的數(shù)值計(jì)算

上述公式給出了計(jì)算經(jīng)過或不經(jīng)過透鏡時(shí)、不同位置的成像平面上的光場的方法.如果不經(jīng)過透鏡，成像平面上的圖樣被稱作客觀散斑，對(duì)應(yīng)于實(shí)驗(yàn)上用不加裝鏡頭的CCD直接成像，得到成像平面處客觀存在的光強(qiáng)分布[11].如經(jīng)過透鏡，觀察到的圖樣被稱作主觀散斑，它取決于透鏡的焦距、對(duì)焦距離等成像參數(shù)[9].基于式(1)—(6)，我們可以編程計(jì)算并展示客觀與主觀散斑的圖樣.數(shù)值計(jì)算的基本流程見圖3.

1) 散射屏表面復(fù)振幅.在正態(tài)散斑模型的基礎(chǔ)上繼續(xù)簡化，我們將散射屏表面的光場復(fù)振幅表示為一個(gè)直徑為D的圓形區(qū)域(即光斑)，其內(nèi)部各點(diǎn)的復(fù)振幅的幅值為1，相位為均勻分布在[-π,π)之間的隨機(jī)數(shù)，光斑之外各點(diǎn)的復(fù)振幅為0.在程序中可用如下方法進(jìn)行離散化近似.

首先，生成一個(gè)N行N列的方形矩陣，規(guī)定矩陣中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且矩陣對(duì)應(yīng)的實(shí)際空間在x與y方向的范圍均為[-L0,L0].所以，用該矩陣表示的光場，其空間分辨率為2L0/N，而矩陣第n行m列的元素對(duì)應(yīng)的空間坐標(biāo)為

(ξ,η)=[(2n/N-1)L0,(2m/N-1)L0]

將此矩陣的各元素設(shè)為相位隨機(jī)均勻分布，且模長為1的復(fù)數(shù).隨后，再生成一個(gè)新的、大小相同的矩陣表示激光光斑所在區(qū)域，即滿足

[(2n/N-1)L0]2+[(2m/N-1)L0]2

的第n行m列的元素被設(shè)為1，其余為0.將這兩個(gè)矩陣的元素對(duì)應(yīng)相乘，(矩陣元素對(duì)應(yīng)相乘的含義指：相乘后所得矩陣的第n行m列的元素，等于兩個(gè)矩陣各自第n行m列的元素的乘積)，得到矩陣U0[n,m]，對(duì)應(yīng)于散射屏表面的出射光場U0(ξ,η)，如圖3(a)所示.

圖3 數(shù)值計(jì)算過程中各平面上的光場矩陣以及數(shù)值計(jì)算流程示意圖((a)散射屏表面光場復(fù)振幅的實(shí)部;(b、c)緊貼透鏡前方(b)和后方(c)的平面上的光強(qiáng)矩陣It與It′;(d)成像平面上的光強(qiáng)矩陣;(e)沿光軸從左到右為數(shù)值計(jì)算中依次計(jì)算的各平面上的光場)

2) 沿散射屏法向傳播距離z后的復(fù)振幅.生成一個(gè)與U0矩陣大小相同的相位矩陣，該矩陣第n行m列的元素的數(shù)值為

(7)

對(duì)應(yīng)于式(2)中的exp[ik(ξ2+η2)/2z].隨后，將此相位矩陣與U0[n,m]的元素對(duì)應(yīng)相乘，再對(duì)相乘后的矩陣進(jìn)行離散傅里葉變換，得到二維頻譜矩陣.在計(jì)算機(jī)算法中，通常利用快速傅里葉變換(FFT)算法完成離散傅里葉變換；在我們實(shí)際使用的Matlab語言中，還需利用fftshift命令，將零頻率對(duì)應(yīng)的元素調(diào)整到矩陣中心.

根據(jù)Nyquist采樣定理，對(duì)于離散的圖像U0[n,m]，其傅里葉變換后的二維頻譜圖的頻率范圍是：[-N/4L0,N/4L0].所以，根據(jù)式(3)可寫出頻譜矩陣對(duì)應(yīng)的實(shí)空間坐標(biāo)(x,y)的范圍均為

(8)

再生成一個(gè)新的相位矩陣表示式(2)中的

依據(jù)圖1表征的信息可以大致發(fā)現(xiàn)，若螞蟻A（組團(tuán)A）至少完成一段（全程或局部）有效反饋行為——正反饋過程，對(duì)螞蟻巢穴具有積極的正相關(guān)作用；若螞蟻（組團(tuán)）無法完成一段有效反饋行為——負(fù)反饋過程，對(duì)整個(gè)蟻群而言屬于內(nèi)耗虧損行為過程，增加整個(gè)蟻群定靶食物源難度[5]．

該矩陣第n行m列的元素的數(shù)值為

(9)

將此相位矩陣與頻譜矩陣的元素對(duì)應(yīng)相乘，得到空間中距離散射屏z處的光場的復(fù)振幅矩陣.

3) 客觀散斑光強(qiáng)分布及其漂移.將上述復(fù)振幅矩陣與其復(fù)共軛矩陣的元素對(duì)應(yīng)相乘，便得到光場沿散射屏平面法向傳播距離z之后的光強(qiáng)分布(圖3(b))，即該平面上的客觀散斑.如果將成像平面放置于此，所得到的散斑圖樣便是該矩陣所表示的圖像.顯然，當(dāng)成像平面在垂直于平面法向的方向上移動(dòng)距離ΔXobs時(shí)，觀察到的散斑的移動(dòng)距離ΔXspeckle與成像平面的移動(dòng)距離等大反向，即：ΔXspeckle=-ΔXobs.為方便起見，下文所有移動(dòng)距離均用其絕對(duì)值表示，即忽略由于運(yùn)動(dòng)相對(duì)性所帶來的負(fù)號(hào).

4) 透鏡前后光場復(fù)振幅.在得到上述客觀散斑的光場復(fù)振幅的基礎(chǔ)上，繼續(xù)計(jì)算存在透鏡時(shí)觀察到的主觀散斑的圖樣.首先，同樣利用式(7)～(9)計(jì)算緊貼透鏡前方的平面上的復(fù)振幅矩陣Ut[n,m]，計(jì)算過程中空間平面與散射屏的距離z應(yīng)替換為散射屏與成像系統(tǒng)透鏡的距離zt.隨后，生成與Ut矩陣大小相同的透鏡相位變換矩陣t[n,m]，該矩陣中各矩陣元素的數(shù)值為

(10)

5) 主觀散斑光強(qiáng)分布及其漂移.最后，計(jì)算透鏡后方距透鏡W處的成像平面上的光場.計(jì)算方法與計(jì)算沿散射屏法向傳播距離z后的復(fù)振幅的方法相同，只需將U0[n,m]替換為Ut′[n,m]，將傳播距離z替換為像距W.將得到的復(fù)振幅矩陣與其復(fù)共軛矩陣的元素對(duì)應(yīng)相乘，得到在成像平面處的光強(qiáng)分布矩陣.如圖3(d)所示，可以看到圖像中存在一個(gè)明顯的光斑，其內(nèi)部有顆粒狀圖案，即主觀散斑.這對(duì)應(yīng)于實(shí)驗(yàn)上利用加裝透鏡的成像系統(tǒng)觀察到的圖樣.

為數(shù)值計(jì)算主觀散斑的漂移，可從Ut[n,m]中取出兩個(gè)大小為N′

1.4 主觀散斑漂移的幾何光學(xué)模型

在傅里葉光學(xué)的描述中，透鏡改變了光場相位的空間分布，從而影響光場的傳播.在幾何光學(xué)的描述中，透鏡使光線發(fā)生彎折，產(chǎn)生匯聚或發(fā)散，使距透鏡前方V處平面上的像被聚焦在透鏡后方W處的平面上，其中V和W被稱作物距和像距，它們之間滿足高斯公式

(11)

首先，我們認(rèn)為在數(shù)值計(jì)算(圖3(d))與實(shí)際實(shí)驗(yàn)(圖5(c)，(d))的結(jié)果中出現(xiàn)的光斑，是散射屏上的激光光斑經(jīng)透鏡在成像平面上所成的像；而光斑中的散斑，則是垂直于光軸的某平面上的相干光場的像.當(dāng)成像系統(tǒng)移動(dòng)時(shí)，光斑和散斑的像也同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)大小可通過如下方式計(jì)算.

1) 光斑(spot)的漂移.如圖4所示，光軸經(jīng)過散射屏中心、透鏡中心、成像平面中心.當(dāng)成像系統(tǒng)(透鏡與成像平面)沿垂直于光軸的方向移動(dòng)ΔXobs距離后，散射屏中心與新的透鏡中心所在的直線，與成像平面交于新的一點(diǎn)，該點(diǎn)相對(duì)于成像平面中心的移動(dòng)距離為ΔXspot.利用簡單的幾何關(guān)系可以得到

(12)

我們定義光斑移動(dòng)距離與成像系統(tǒng)移動(dòng)距離之比(即上式等號(hào)左邊)為光斑移動(dòng)速率.注意Z并不一定等于此時(shí)像距W所對(duì)應(yīng)的物距V，即此時(shí)激光光斑所成的像是失焦的.

圖4 主觀散斑成像的幾何關(guān)系示意圖(從左到右各豎直平面依次為：散射屏，對(duì)焦面(物距為V的平面)，透鏡所在平面，成像平面(像距為W的平面).水平虛線表示成像系統(tǒng)移動(dòng)前后的光軸，兩條傾斜虛線連接了(i)成像系統(tǒng)移動(dòng)之前，散射屏或?qū)姑嫔线^光軸的點(diǎn)，與(ii)成像系統(tǒng)移動(dòng)之后，這兩個(gè)點(diǎn)在成像平面上所成的像的位置.箭頭ΔXobs與ΔXspot(ΔXspeckle)分別表示成像系統(tǒng)移動(dòng)的距離與散射屏(對(duì)焦面)上一固定點(diǎn)的像相對(duì)于成像系統(tǒng)移動(dòng)的距離)

2) 散斑(speckle)的漂移.由透鏡的基本成像原理可知，成像平面上所成的散斑圖樣，正是物距V平面上的光強(qiáng)分布.利用與上文類似的幾何關(guān)系可以得到，當(dāng)成像系統(tǒng)沿垂直于光軸的方向移動(dòng)ΔXobs距離后，散斑相對(duì)于成像平面的移動(dòng)距離ΔXspeckle滿足

(13)

類似的，ΔXspeckle/ΔXobs被稱作散斑移動(dòng)速率.由式(13)、(14)可知：在V≠Z時(shí)，光斑的漂移速率不等于散斑的漂移速率，即二者會(huì)發(fā)生相對(duì)移動(dòng).

在數(shù)值計(jì)算及下文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)V>Z，即透鏡對(duì)焦在散射屏后方實(shí)際并不存在光場的位置時(shí)，依舊可以觀察到散斑，且其漂移速率的確滿足式(13).這一“悖論”可以通過惠更斯原理理解.若散射屏處的光場向后傳播，也可在后方的平面上形成光場.這一后方光場再向前傳播，在成像平面上成像，與散射屏處的光場直接向前傳播所成的像一致，這正是透鏡對(duì)焦于散射屏后方時(shí)觀察到的像.上述“悖論”源于幾何光學(xué)本身的局限性，但也體現(xiàn)出幾何光學(xué)在成像問題中與波動(dòng)光學(xué)的分析結(jié)果是自洽的.

利用幾何光學(xué)還可以討論物距和鏡頭光圈大小對(duì)成像的影響.當(dāng)V=Z時(shí)，所成的像即是散射屏上光斑的像，具有清晰的邊界.而當(dāng)物距過大或過小時(shí)，則出現(xiàn)失焦，形成彌散光斑，沒有清晰邊界.鏡頭光圈決定彌散光斑的大?。汗馊υ酱螅M(jìn)入鏡頭的遠(yuǎn)軸光線越多，光斑邊界越模糊，光斑越大.同樣的，光圈越大，散斑本身也越模糊.

2 激光散斑成像實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置與研究參量

我們利用加裝與不加裝鏡頭的CCD相機(jī)研究主觀與客觀散斑及其漂移現(xiàn)象，尤其是各成像參數(shù)(物距、光圈大小)對(duì)主觀散斑漂移現(xiàn)象的影響.實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.將一束波長為λ=480 nm的線偏振激光照射一張80目砂紙(粗糙表面).在粗糙表面前方用連接電腦的工業(yè)相機(jī)(大華A7500CU75面陣相機(jī))進(jìn)行拍攝.相機(jī)正對(duì)粗糙表面上的激光光斑中心，兩者連線與粗糙表面法線方向的夾角為θ，相機(jī)成像芯片中心與激光光斑中心之間的距離為r，用(r,θ)表示相機(jī)所處的初始位置.相機(jī)被安置在精密位移臺(tái)上，通過調(diào)節(jié)位移臺(tái)將相機(jī)沿平行于成像平面的方向移動(dòng).實(shí)驗(yàn)中，每移動(dòng)ΔX后，停止移動(dòng)并拍攝一張圖像.相機(jī)的像元尺寸為3.45×3.45 μm2，即所得圖像的每個(gè)像素的寬度是3.45 μm.

在研究客觀散斑的漂移時(shí)，我們將相機(jī)固定于(r,θ)=(39.5 cm,26.5°)處，取ΔX=0.25 mm，連續(xù)移動(dòng)并成像20次.在研究主觀散斑時(shí)，我們將相機(jī)固定于(r,θ)=(44.0 cm,26.5°)處，并加裝一焦距為f=35 mm的定焦鏡頭，通過調(diào)節(jié)鏡頭的對(duì)焦環(huán)，在不同的物距V下進(jìn)行實(shí)驗(yàn).取ΔX=0.5 mm，連續(xù)移動(dòng)及成像30次.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象如圖5所示.在此實(shí)驗(yàn)中，我們固定鏡頭的光圈為F=2.此外，我們也固定物距V=24 cm，改變光圈為F=8與F=16(光圈F數(shù)值越大，光闌直徑越小，通光量越小)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)以探究光圈大小的影響.

圖5 (a、b)相機(jī)移動(dòng)1 mm前后拍攝到的客觀散斑圖樣;(c、d)相機(jī)移動(dòng)0.5 mm前后拍攝到的主觀散斑圖樣

2.2 散斑漂移量的計(jì)算方法

當(dāng)成像系統(tǒng)移動(dòng)時(shí)，圖案中的散斑會(huì)向相反的方向移動(dòng)，即散斑漂移.通過計(jì)算移動(dòng)前后兩張圖片的相關(guān)矩陣，可以定量計(jì)算散斑漂移的量.相關(guān)矩陣的計(jì)算方法可由相關(guān)函數(shù)的定義作離散化后推廣而來.對(duì)于兩個(gè)二維函數(shù)f1(x,y)、f2(x,y)，其二維相關(guān)函數(shù)定義為

corrf1,f2(u,v)=?f1(x,y)f2(x-u,y-v)dxdy

(14)

corrf1,f2(u,v)的最大值所在的坐標(biāo)(uM,vM)，代表將f2平移(uM,vM)后與f1重合度最高.所以可以利用相關(guān)函數(shù)的最大值坐標(biāo)來計(jì)算散斑的漂移量：如果成像系統(tǒng)移動(dòng)前后在不同位置拍攝的兩張散斑圖樣經(jīng)一段平移后幾乎重合，那么這段平移距離就是散斑的漂移量.數(shù)學(xué)上，相關(guān)函數(shù)等價(jià)于先將其中一個(gè)函數(shù)“翻轉(zhuǎn)”后再計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的卷積(*)

?f1(x,y)f2(x-u,y-v)dxdy=corrf1,f2(u,v)

(15)

(16)

將上述計(jì)算離散化之后，可以高效處理矩陣圖像，用以計(jì)算散斑圖像的漂移量.首先，對(duì)兩張圖像之一進(jìn)行上下、左右翻轉(zhuǎn)，然后計(jì)算兩張圖像各自的離散傅里葉變換，得到頻譜矩陣.將頻譜矩陣的對(duì)應(yīng)元素相乘后，再做逆變換(式(16))，即可得到兩張圖像的相關(guān)矩陣.相關(guān)矩陣中最大值的元素的位置對(duì)應(yīng)于散斑的漂移量，可以通過矩陣的大小即圖像的分辨率換算得到散斑的漂移量ΔXspeckle.在進(jìn)行離散傅里葉變換時(shí)，需要將N行N列的矩陣用0填充成行2N-1列.上述利用快速傅里葉變換計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為O(Nlog2N)，相比于直接計(jì)算相關(guān)矩陣的時(shí)間復(fù)雜度O(N2)，具有明顯優(yōu)勢(shì)，尤其是在處理像素較多的圖像時(shí).例如，對(duì)于我們實(shí)際計(jì)算的5000×5000像素的圖片，利用上述方法僅需數(shù)秒便可完成.

2.3 光斑漂移量的計(jì)算方法

在主觀散斑現(xiàn)象中，光斑也存在漂移.光斑的漂移量即兩張圖片中光斑的平均像素位置之差，再通過圖像分辨率換算得到ΔXspot.光斑“中心”的平均像素位置可以通過計(jì)算矩陣中所有元素的坐標(biāo)以其元素?cái)?shù)值作為權(quán)重的加權(quán)平均得到.

3 實(shí)驗(yàn)、數(shù)值計(jì)算、理論結(jié)果

利用上述方法，我們計(jì)算了當(dāng)成像系統(tǒng)移動(dòng)不同距離時(shí)，成像實(shí)驗(yàn)及數(shù)值計(jì)算中得到的客觀散斑、主觀散斑和光斑的漂移量.對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們根據(jù)所用的CCD的像素尺寸(1像素=3.45 μm)，將圖像中散斑和光斑的漂移量的單位由像素?fù)Q算為毫米.對(duì)于數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù)，也根據(jù)圖像的空間分辨率進(jìn)行了相應(yīng)的換算.結(jié)果表明，(主、客觀)散斑與光斑的漂移量都正比于成像系統(tǒng)移動(dòng)的距離(圖6).我們用過原點(diǎn)的直線對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其斜率即為散斑(或光斑)的漂移速率，即成像系統(tǒng)移動(dòng)單位距離時(shí)散斑(或光斑)的漂移量.

圖6 (a)客觀散斑漂移量隨相機(jī)移動(dòng)距離的改變(圓圈為數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)線為擬合數(shù)據(jù)所得的直線，表示ΔXspeckle∝ΔXobs;(b，c)主觀散斑現(xiàn)象中，光斑(b)與散斑(c)的漂移量隨相機(jī)移動(dòng)距離的改變.不同形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于不同的物距，(b)、(c)兩圖中同樣形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)代表相同的物距.(b)圖中箭頭方向表示物距V增加)

如圖6(a)，客觀散斑的漂移速率為1.005±0.006.對(duì)于主觀散斑，不同對(duì)焦距離下，散斑與光斑的漂移距離與相機(jī)移動(dòng)距離的關(guān)系如圖6(b)，(c)所示，它們的漂移速率在圖7中.當(dāng)V=Z時(shí)，鏡頭對(duì)焦于散射屏，由于光場還未傳播和相干，所以觀察不到光斑內(nèi)部的散斑.當(dāng)V>(<)Z時(shí)，散斑的漂移速率小于(大于)光斑的漂移速率.同時(shí)，圖7中還繪制了數(shù)值計(jì)算(1.3節(jié))得到的主觀散斑和光斑的漂移速率，以及根據(jù)幾何光學(xué)模型(1.4節(jié))給出的漂移速率的理論曲線(式(12)、(13))，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、數(shù)值計(jì)算數(shù)據(jù)、理論計(jì)算值在誤差范圍內(nèi)幾乎完全一致.

圖7 不同物距下光斑(空心符號(hào))及主觀散斑(中心帶點(diǎn)符號(hào))的漂移速率.數(shù)據(jù)點(diǎn)表示實(shí)驗(yàn)(圓圈)與數(shù)值計(jì)算(方塊)的結(jié)果，線條表示幾何光學(xué)理論的解：實(shí)線表示光斑的漂移速率，點(diǎn)線表示散斑的漂移速率.豎直虛線表示光斑與散斑漂移速率相等時(shí)的物距，等于實(shí)驗(yàn)中散射屏上激光光斑中心與CCD成像芯片中心之間的距離(r=44.0 cm)

此外，我們發(fā)現(xiàn)鏡頭光圈大小只會(huì)影響光斑的大小，而不改變光斑及散斑的漂移速率.我們也在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了，散射面的粗糙程度只影響散斑的平均大小，而對(duì)其漂移速率沒有影響.

4 討論與總結(jié)

本文利用傅里葉光學(xué)的理論以及相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算了不同像距下的客觀及主觀散斑的圖樣及其漂移過程；并利用幾何光學(xué)，形象地解釋了散斑漂移現(xiàn)象，及其與透鏡成像參數(shù)的依賴關(guān)系，給出了散斑和光斑漂移速率的表達(dá)式；并且，我們搭建了實(shí)驗(yàn)裝置，觀察了散斑漂移現(xiàn)象，建立了一套定量計(jì)算散斑和光斑漂移量的數(shù)據(jù)分析方法.研究結(jié)果表明：客觀散斑漂移速率為1，其位移大小等于成像系統(tǒng)的位移大??；主觀散斑漂移速率依賴于對(duì)焦距離.實(shí)驗(yàn)、數(shù)值計(jì)算與理論結(jié)果均相符，表明了數(shù)值計(jì)算方法的正確性與幾何光學(xué)模型的合理性.

基于上述研究，我們可以對(duì)激光散斑現(xiàn)象及其應(yīng)用原理進(jìn)行一些簡單的討論.利用激光散斑的漂移性質(zhì)，可以間接測(cè)量散射體與成像系統(tǒng)的相對(duì)移動(dòng)速度.我們認(rèn)為，測(cè)速時(shí)應(yīng)選取合適的對(duì)焦距離(散射體與成像系統(tǒng)之間的距離的0.2到3倍之間)，過大的對(duì)焦距離使得散斑漂移速率很小，漂移現(xiàn)象不明顯，而過小的對(duì)焦距離導(dǎo)致漂移速率太大，所得圖像之間的相關(guān)性弱.兩者都會(huì)影響根據(jù)散斑漂移速率反推移動(dòng)速度的精度.另外，實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)用人眼觀察激光散斑時(shí)，散斑漂移速率總是大于光斑移動(dòng)速率.說明人眼觀察激光散斑時(shí)，對(duì)焦平面總是在散射屏與人眼之間，這可能是由于人眼更傾向于首先對(duì)焦在近處的物體上.

此外，實(shí)驗(yàn)中還發(fā)現(xiàn)，如果激光功率較大，粗糙表面會(huì)受熱，從而膨脹、形變，即使成像系統(tǒng)的位置固定，也會(huì)觀察到較為混亂無規(guī)的散斑熱漂移現(xiàn)象，這與本文研究的由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的散斑漂移現(xiàn)象原理類似，但現(xiàn)象不同.

綜上所述，本文在理論和實(shí)驗(yàn)上系統(tǒng)性地研究了激光散斑的形成及漂移現(xiàn)象.我們相信，這些理論分析和計(jì)算方法，不僅能夠幫助大學(xué)光學(xué)課程的教師和學(xué)生對(duì)這一經(jīng)典的光學(xué)相干現(xiàn)象獲得更直觀和深入的理解，也可有助于定量分析相關(guān)工程問題中的現(xiàn)象，促進(jìn)激光散斑原理的應(yīng)用.