基于Brent算法的軸偏置虎克鉸型Hexapod平臺(tái)位置反解

孫佳霖，劉曰濤，楊夢(mèng)超，韓 振，付連壯

（山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博255049）

1 引言

Hexapod并聯(lián)平臺(tái)也稱作并聯(lián)六自由度平臺(tái)，其基本構(gòu)型最早由英國(guó)工程師Stewart提出。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，Hexapod平臺(tái)憑借控制精度高、結(jié)構(gòu)剛性好、負(fù)載能力強(qiáng)、工作穩(wěn)定性高等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于光學(xué)領(lǐng)域［1-2］、主動(dòng)隔振［3-4］、運(yùn)動(dòng)模擬［5］及自動(dòng)對(duì)接等領(lǐng)域。目前，Hexapod平臺(tái)也是大型光電望遠(yuǎn)鏡次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)以及空間相機(jī)隔震系統(tǒng)的主要構(gòu)型形式。位于智利的VISTA（Visible and Infrared Survey Telescope for Astronomy）望遠(yuǎn)鏡［6］，LSST（The Large Syn?optic Survey Telescope）望 遠(yuǎn) 鏡［7］，中 國(guó)“天 眼”FAST望遠(yuǎn)鏡［8］以及詹姆斯?韋伯空間望遠(yuǎn)鏡（JSMT）等均采用了Hexapod并聯(lián)平臺(tái)作為自身重要調(diào)整機(jī)構(gòu)。

Hexapod并聯(lián)平臺(tái)主要構(gòu)型形式包括6-SPS，6-UPS，6-UCU（S，P，U，C分別代表球鉸、移動(dòng)副、虎克鉸、圓柱副）等［9-11］。由于望遠(yuǎn)鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)的整體趨勢(shì)是向著高剛度高穩(wěn)定性方向發(fā)展，所以球鉸的負(fù)載能力和運(yùn)動(dòng)間隙成為了其主要制約因素［12］。同球鉸相比，虎克鉸在損失了一定工作空間的前提下，提高了結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性和控制精度。同時(shí)，為了進(jìn)一步提高虎克鉸的剛性，Gloess［13］等 提 出 了 軸 偏 置 虎 克 鉸 結(jié) 構(gòu)，使 得Hexapod并聯(lián)平臺(tái)具有更好的結(jié)構(gòu)剛性和穩(wěn)定性。

Hexapod并聯(lián)平臺(tái)的位置反解是根據(jù)動(dòng)平臺(tái)的位置姿態(tài)求解驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)度的過(guò)程，不同結(jié)構(gòu)形式的Hexapod平臺(tái)，其位置反解算法的難易程度也不同。球鉸和十字交叉軸虎克鉸結(jié)構(gòu)均具有唯一確定的旋轉(zhuǎn)中心，且旋轉(zhuǎn)中心在相對(duì)坐標(biāo)系下不發(fā)生改變。因此，6-SPS型，6-UPS型或6-UCU型Hexapod平臺(tái)的位置反解可以通過(guò)解析法直接求解［14-15］。由于軸偏置虎克鉸結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)垂直且不相交的旋轉(zhuǎn)軸，因此，運(yùn)動(dòng)鏈的長(zhǎng)度不僅與直線驅(qū)動(dòng)部件有關(guān)，而且與軸偏置虎克鉸結(jié)構(gòu)的位置姿態(tài)有關(guān)。同時(shí)，軸偏置虎克鉸作為從動(dòng)件，無(wú)法確定兩旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，所以該類型平臺(tái)的位置反解無(wú)法通過(guò)解析法直接求得，只 能 采 用 數(shù) 值 法。Dalvand［16］等 針 對(duì)6-RRCRR（R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副）型并聯(lián)平臺(tái)，利用閉環(huán)矢量法建立了運(yùn)動(dòng)鏈的非線性方程組，并通過(guò)Newton-Raphson法對(duì)方程 組進(jìn)行求 解。Yu［17］，Han［18］等對(duì)該算法控制下的并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和測(cè)試。該方法雖然可以解決軸偏置虎克鉸型Hexapod平臺(tái)的位置反解問(wèn)題，但是在工程實(shí)際應(yīng)用中，大量的位置反解計(jì)算對(duì)平臺(tái)響應(yīng)速度影響較大。因此，對(duì)于雙端軸偏置虎克鉸型Hexa?pod平臺(tái)的位置反解還需要尋求既快又準(zhǔn)的計(jì)算方法。

本文針對(duì)雙端軸偏置虎克鉸型Hexapod平臺(tái)，提出了一種新的位置反解算法。首先，利用空間向量法構(gòu)建了基于空間圓輔助模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；然后，結(jié)合Brent法求解平臺(tái)位置反解的數(shù)值解，并對(duì)絲杠螺母產(chǎn)生的衍生運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行了補(bǔ)償；最后，建立位置正解模型并搭建實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，以驗(yàn)證所提出算法的準(zhǔn)確性和可靠性。

2 Hexapod平臺(tái)理論模型

2.1 軸偏置虎克鉸結(jié)構(gòu)

虎克鉸結(jié)構(gòu)具有承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)剛度高、運(yùn)動(dòng)間隙小等特性，被廣泛應(yīng)用于各種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。但是典型的十字軸虎克鉸結(jié)構(gòu)，構(gòu)型較為復(fù)雜，十字交叉軸的設(shè)計(jì)對(duì)于加工和裝配都是巨大的考驗(yàn)。因此，提出了虎克鉸結(jié)構(gòu)的優(yōu)化形式——軸偏置虎克鉸結(jié)構(gòu)，如圖1所示。兩轉(zhuǎn)軸R1，R2分別與平臺(tái)和驅(qū)動(dòng)腿連接，并通過(guò)軸承與轉(zhuǎn)動(dòng)塊鉸接。相比較于十字軸虎克鉸，該結(jié)構(gòu)具有更高的剛度、強(qiáng)度和更大的工作空間，且兩轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)塊相互分離的設(shè)計(jì)方案，更有利于保證加工精度和裝配誤差。

圖1 軸偏置虎克鉸結(jié)構(gòu)Fig.1 Axis offset Hooke joint

2.2 平臺(tái)模型

雙端軸偏置虎克鉸型Hexapod平臺(tái)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)、6根驅(qū)動(dòng)腿和12個(gè)軸偏置虎克鉸組成，驅(qū)動(dòng)腿由滾珠絲杠和驅(qū)動(dòng)電機(jī)等部件組成。據(jù)此，Hexapod平臺(tái)的理論模型可視為動(dòng)定平臺(tái)通過(guò)6根RRCRR運(yùn)動(dòng)鏈連接的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖2所示。

軸偏置虎克鉸位于動(dòng)、定平臺(tái)的鉸點(diǎn)Ri1和Ri4（i=1，2，…，6）分別構(gòu)成了兩個(gè)不同的基準(zhǔn)圓，稱為動(dòng)基準(zhǔn)圓和定基準(zhǔn)圓。位于動(dòng)基準(zhǔn)圓和定基準(zhǔn)圓上的鉸點(diǎn)均圍繞120°基準(zhǔn)線對(duì)稱分布。為描述平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)位姿，分別定義基坐標(biāo)系OB，工作坐標(biāo)系OW和工具坐標(biāo)系OT?；鴺?biāo)系OB位于定準(zhǔn)圓圓心，與定平臺(tái)固接，ZB軸始終垂直于定基準(zhǔn)圓所在平面且指向動(dòng)平臺(tái)方向。工作坐標(biāo)系OW始終位于基坐標(biāo)系ZB軸方向H處，指向與基坐標(biāo)系相同，不隨平臺(tái)運(yùn)動(dòng)而變化。平臺(tái)位于零點(diǎn)狀態(tài)時(shí)，工作坐標(biāo)系原點(diǎn)與動(dòng)基準(zhǔn)圓圓心重合。工具坐標(biāo)系OT固接于動(dòng)平臺(tái)，隨動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)原點(diǎn)與動(dòng)基準(zhǔn)圓圓心重合。因此，鉸點(diǎn)Ri4（i=1，2，…，6）在基坐標(biāo)系下的位置向量BR i4（i=1，2，…，6）可表示為：

其中：φ表示定平臺(tái)上相鄰兩鉸點(diǎn)間的夾角，RB為定基準(zhǔn)圓半徑，如圖2所示。

圖2 Hexapod平臺(tái)理論模型Fig.2 Theoretical model of hexapod platform

鉸點(diǎn)Ri1（i=1，2，…，6）在工具坐標(biāo)系下的位置向量TR i1（i=1，2，…，6）可表示為：

其中θ表示動(dòng)平臺(tái)上相鄰兩鉸點(diǎn)間的夾角，如圖2所示。

3 Hexapod平臺(tái)位置反解算法

3.1 位置反解基本算法

機(jī)構(gòu)的位置分析是機(jī)構(gòu)速度分析、加速度分析、受力分析、動(dòng)力分析和機(jī)構(gòu)綜合等分析的基礎(chǔ)，它包括位置正解和位置反解兩部分。位置正解是根據(jù)輸入端的輸入?yún)?shù)求解輸出端的位置和姿態(tài)的過(guò)程；反之根據(jù)輸出端的位置和姿態(tài)求解輸入端參數(shù)的過(guò)程則是位置反解。因此，由平臺(tái)理論模型可知，驅(qū)動(dòng)腿的長(zhǎng)度可表示為（如圖2所示）：

其中：BR i2和BR i3（i=1，2，…，6）分別表示鉸點(diǎn)Ri2和Ri3（i=1，2，…，6）在 基 坐 標(biāo) 系OB下 的 位 置向量。

根據(jù)所建立的坐標(biāo)系，動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)可表示為矢量［x，y，z，u，v，w］T。其中，［x，y，z］T表示工具坐標(biāo)系OT在工作坐標(biāo)系OW下的位置，［u，v，w］T表示動(dòng)平臺(tái)分別繞工具坐標(biāo)系XT，Y T，ZT軸的旋轉(zhuǎn)角度。工具坐標(biāo)系OT相對(duì)于工作坐標(biāo)系OW的姿態(tài)變換則用RPY組合變換來(lái)表示。因此，可得工具坐標(biāo)系OT相對(duì)于工作坐標(biāo)系OW的變換矩陣：

通過(guò)坐標(biāo)變換方法，可得鉸點(diǎn)Ri1（i=1，2，…，6）在基坐標(biāo)系下的位置向量：

由Hexapod平臺(tái)的理論模型可知，軸偏置虎克鉸的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)量均屬于未知量，所以無(wú)法通過(guò)解析法求得驅(qū)動(dòng)腿的長(zhǎng)度。分析軸偏置虎克鉸的運(yùn)動(dòng)特性可知，一個(gè)鉸點(diǎn)始終圍繞另一個(gè)鉸點(diǎn)在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。以鉸點(diǎn)Ri1（i=1，2，…，6）為圓心，偏置距離e為半徑，作輔助圓C1，其法向量N i1（i=1，2，…，6）與上轉(zhuǎn)軸軸心重合。以鉸點(diǎn)Ri4（i=1，2，…，6）為圓心，偏置距離e為半徑，在下轉(zhuǎn)軸的垂面內(nèi)作輔助圓C2，其法向量為N i4（i=1，2，…，6），如圖3所示。因此，驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)度li可等價(jià)為空間中兩個(gè)圓的最短距離，進(jìn)而將位置反解求解問(wèn)題等效為空間中兩圓最短距離的求解問(wèn)題。David［19］提出了求解空間中圓與直線、圓與圓的距離求解方法。

圖3 Hexapod平臺(tái)輔助圓模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of auxiliary circle model of hexapod

為建立空間中任意兩圓的距離公式，首先，假設(shè)空間中任意點(diǎn)向量P，點(diǎn)P至圓C2的距離可表示為：

其中N i4為空間圓C4的法向量。

空間圓C1可表示為：

式中i=1，2，…，6，U i1和V i1為空間圓C1的任意兩個(gè)單位向量。

令聯(lián)立公式（6），（7）和（8），得空間圓C1和空間圓C2的距離公式：

式中：

其中i=1，2，…，6。驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)度可表示為：

因此，可利用公式（9）的導(dǎo)函數(shù)對(duì)最小值進(jìn)行求解。

3.2 衍生運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償

本文所涉及雙端軸偏置虎克鉸型Hexapod平臺(tái)，驅(qū)動(dòng)單元包括滾珠絲杠和驅(qū)動(dòng)電機(jī)等部件。其中，滾珠絲杠具有兩個(gè)相互耦合的自由度，包括螺母的直線運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。螺母的直線運(yùn)動(dòng)作為主動(dòng)運(yùn)動(dòng)，由電機(jī)直接控制，為可控運(yùn)動(dòng)。螺母的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)作為驅(qū)動(dòng)腿的第6個(gè)自由度，需要配合動(dòng)平臺(tái)完成運(yùn)動(dòng)。然而，螺母的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)度發(fā)生變化，且無(wú)法通過(guò)驅(qū)動(dòng)裝置直接控制。因此，該運(yùn)動(dòng)被定義為衍生運(yùn)動(dòng)，需要在主動(dòng)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行衍生運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償。從而驅(qū)動(dòng)腿的實(shí)際長(zhǎng)度可表示為：

其中：li定義為伸縮腿理論長(zhǎng)度，Δli是由螺母的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的衍生運(yùn)動(dòng)誤差。

定義鉸點(diǎn)Ri1，Ri2，Ri3，Ri4的旋轉(zhuǎn)軸向量分別為S i1，S i2，S i3，S i4，根據(jù)圖2所示的驅(qū)動(dòng)腿結(jié)構(gòu)示意圖可知：

其中i=1，2，…，6。

將位置反解求得的ψi值代入公式（5）可得鉸點(diǎn)Ri2的位置向量，根據(jù)空間中點(diǎn)到圓的最短距離可求得Ri3的位置向量。又因S i1=N i1，S i4=N i4。向量S i2和S i3可表示為：

到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)，螺母轉(zhuǎn)動(dòng)的角度可表示為：

因此，由螺母的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的衍生運(yùn)動(dòng)誤差為：

其中：δ0為平臺(tái)位于初始狀態(tài)時(shí)S i2和S i3的夾角，D為絲杠的導(dǎo)程。

4 Brent算法

Brent方法是一種結(jié)合二分法、割線法和反二次插值方法的尋根方法［20］。二分法則是不斷對(duì)區(qū)間［a，b］進(jìn)行二等分，利用端點(diǎn)對(duì)零點(diǎn)進(jìn)行逼近，即下次迭代的初值可表示為：

割線法是根據(jù)有根區(qū)間內(nèi)a，b兩點(diǎn)所構(gòu)造弦的斜率代替目標(biāo)函數(shù)的切線斜率，將割線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)作為方程的近似根。即給定區(qū)間內(nèi)兩點(diǎn)（a，f（a）），（b，f（b）），建立割線方程：

令f(x)=0，則下次迭代的初值為：

反二次插值類似于割線法，是根據(jù)區(qū)間中三個(gè)點(diǎn)（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））確定一個(gè)二次函數(shù)，并將二次函數(shù)與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)作為下次迭代的初值：

Brent法的核心是選擇盡可能快的方式求根，如果生成的結(jié)果超出了估計(jì)值范圍，則轉(zhuǎn)為相對(duì)保守的二分法，即使二分法的收斂速度比較慢，但可以有效的將生成的根估計(jì)值鎖定在邊界以內(nèi)，如果生成了可以接受的根則轉(zhuǎn)為更快的反二次插值法或割線法。

Brent算法的計(jì)算流程，首先初始化區(qū)間（a，b），使得f(a)f(b)＜0，并滿足|f(a)|＞|f(b)|。每次迭代的初值包括ak，bk，bk-1，bk-2（ak為第k次迭代的左估計(jì)值，bk為右估計(jì)值，其中k=0，1，2，…）。|ε|＞|bk-bk-1|且上次迭代為二分法（ε為迭代精度）；|s-bk|＞且上次迭代為二分 法；|ε|＞|bk-1-bk-2|且 上 次 迭 代 不 是 二 分法；|s-bk|＞-bk-2|且上次迭代不是二分法；，bk)且上次迭代不是二分法，若滿足以上條件的任意一個(gè)則本次迭代采用二分法。若采集點(diǎn)滿足f(ak)≠f(ck)≠f(bk)，則采用反二次插值，否則采用割線法。

5 Brent算法在Hexapod并聯(lián)平臺(tái)位置反解中的應(yīng)用

Brent算法在Hexapod并聯(lián)平臺(tái)位置反解中主要應(yīng)用于求解鉸點(diǎn)Ri2，Ri3的位置向量，流程圖如圖4所示，具體計(jì)算流程如下：

圖4 Hexapod平臺(tái)位置反解流程圖Fig.4 Flowchart of inverse kinematics of Hexapod plat?form

（1）給定平臺(tái)初始參數(shù)，包括H，φ，θ，RM，RB等。預(yù)設(shè)當(dāng)前計(jì)算精度ε，迭代初值ψ0，最大迭代次數(shù)N；

（2）輸入目標(biāo)位姿（x，y，z，u，v，w）；

（3）求解變換矩陣T；

（4）根據(jù)坐標(biāo)變換方法，求解各鉸鏈變化后的位置向量、法向量、單位向量TR i1，N i1，U i1，V i1；

（5）建立空間圓距離公式f（ψi）；

（6）求解距離導(dǎo)數(shù)公式f′（ψi）；

（7）判斷區(qū)間（a，b）是否有根且迭代次數(shù)小于N，如果是轉(zhuǎn)至步驟（8），否則轉(zhuǎn)至步驟（19）；

（8）根據(jù)f（b）及f（a）值的大小判斷是否交換端值，并令c=a，設(shè)置標(biāo)志位M=0；

（9）判斷有根區(qū)間大小是否小于迭代精度ε，或f′（b）=0，如果是轉(zhuǎn)至步驟（15），否則轉(zhuǎn)至步驟（10），進(jìn)入Brent算法；

（10）判斷f（a），f（b），f（c）是否相等，是轉(zhuǎn)至（11），否轉(zhuǎn)至（12）；

（11）利用反二次插值求解，得下次迭代值s；

（12）利用割線法求解，得下次迭代值s；

（13）判斷是否符合二分法求解條件（第4章介紹），若符合，采用二分法求得下次迭代值s并使標(biāo)志位置1，否則標(biāo)志位置0；

（14）根據(jù)f（a）*f（s）的值重新分配有根區(qū)間。迭代次數(shù)增加并返回步驟（9）；

（15）將求得的ψi值帶回到空間圓距離公式f（ψi），求得驅(qū)動(dòng)腿理論長(zhǎng)度li；

（16）求解鉸點(diǎn)Ri2，Ri3的位置向量，并根據(jù)向量叉乘原理求解法向量S i2，S i3；

（17）求解衍生運(yùn)動(dòng)誤差Δli；

（18）得到驅(qū)動(dòng)腿實(shí)際長(zhǎng)度L i；

（19）迭代終止，無(wú)解或超出最大迭代次數(shù)。

6 實(shí)驗(yàn)與測(cè)試

搭建Hexapod并聯(lián)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)為，H=330 mm，φ=9°，θ=19°，RM=150 mm，RB=315 mm，e=13 mm，D=1。驅(qū)動(dòng)腿運(yùn)動(dòng)范圍：285～360 mm。運(yùn)動(dòng)空間：x=±20 mm，y=±20 mm，z=±25 mm，u=±5°，v=±5°，w=±8°。該構(gòu)型在其工作空間內(nèi)無(wú)奇異點(diǎn)。

在Windows7操作系統(tǒng)，Intel（R）Xeon（R）CPU E3-1225 v5@3.30 GHz 3.31 GHz處理器，8.00 GB內(nèi)存的電腦上，利用Matlab（R2016b）對(duì)Newton-Raphson法和Brent法位置反解算法進(jìn)行編程。迭代精度均設(shè)置為δ=0.00001，最大迭代次數(shù)N=10000。

隨機(jī)選取工作空間中的任意5組位姿（如表1所示），并利用Newton-Raphson法和Brent法分別進(jìn)行位置反解求解，迭代次數(shù)和迭代時(shí)間如表2所示。分析表2可知，雖然Newton-Raphson算法的迭代次數(shù)較少，但是其消耗的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)遠(yuǎn)大于Brent法。這是由于基于Newton-Raphson算法的位置反解求解方法，需要利用閉環(huán)矢量法對(duì)同一運(yùn)動(dòng)鏈建立兩個(gè)不同的約束方程，且需求解至少12個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣和6個(gè)Jacobian矩陣［16-17］。因此，在計(jì)算的復(fù)雜程度上，基于Newton-Raphson算法的求解方法要高于采用Brent算法的求解方法。

表1 隨機(jī)選取5個(gè)位姿Tab.1 Five randomly selected poses

表2 迭代次數(shù)和迭代時(shí)間對(duì)比Tab.2 Comparison of iteration number and iteration time

為驗(yàn)證本文所提出算法的準(zhǔn)確性，參照已有的位置正解算法［21］，對(duì)該平臺(tái)進(jìn)行位置正解建模。將位置正解算法作為反饋機(jī)制，用來(lái)實(shí)時(shí)檢測(cè)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)路徑為：

計(jì)算位置反解，并將計(jì)算結(jié)算結(jié)果作為位置正解的輸入量，求解平臺(tái)的實(shí)時(shí)位姿，結(jié)果如圖5所示。

圖5 Hexapod平臺(tái)位姿變化Fig.5 Pose changes of the Hexapod platform

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)路徑，對(duì)衍生運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償前后的驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)度誤差和平臺(tái)位姿誤差進(jìn)行分析。由圖6可見(jiàn)，驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)度誤差可達(dá)到0.015 mm。分析圖7，由Hexapod平臺(tái)的位置正解模型反饋回的動(dòng)平臺(tái)位姿狀態(tài)可知，衍生運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的腿長(zhǎng)誤差，不僅會(huì)引起目標(biāo)自由度的位置或角度偏差，而且其他自由度也會(huì)產(chǎn)生較大偏差，且誤差超過(guò)0.01 mm/0.36"。因此，對(duì)于高精度Hexapod平臺(tái)，衍生運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償環(huán)節(jié)是必不可少的。

圖6 Hexapod平臺(tái)驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)度誤差Fig.6 Leg length error of hexapod platform

圖7 Hexapod平臺(tái)位姿誤差Fig.7 Pose error of hexapod platform

按照以上實(shí)驗(yàn)路徑，對(duì)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的響應(yīng)速度進(jìn)行測(cè)試，在不改變平臺(tái)硬件設(shè)施，以及軌跡規(guī)劃、路徑規(guī)劃、運(yùn)動(dòng)學(xué)正解等計(jì)算程序的前提下，僅對(duì)比兩種不同求解方法（基于Brent法和基于Newton-Raphson法）控制下實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的響應(yīng)速度。到達(dá)每一目標(biāo)位姿時(shí)程序執(zhí)行位置反解子程序的次數(shù)，以及從發(fā)送指令到平臺(tái)移動(dòng)之前所消耗的時(shí)長(zhǎng)均記錄于表3。分析表3可知，在相同計(jì)算次數(shù)下，基于Brent算法法控制下的Hexapod平臺(tái)響應(yīng)速度比基于Newton-Raphson算法控制下的平臺(tái)響應(yīng)速度高出約0.5 s（含硬件設(shè)備的性能、通訊的延遲時(shí)間等因素）。因此，基于Brent算法的并聯(lián)六自由度Hexapod平臺(tái)位置反解有效改善了該類型平臺(tái)的響應(yīng)速度。

表3 平臺(tái)響應(yīng)速度對(duì)比Tab.3 Comparison of platform response speed

同時(shí)，采用Renishaw XL-80激光干涉儀對(duì)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)進(jìn)行打表測(cè)試，以驗(yàn)證平臺(tái)仍保持有微米級(jí)和角秒級(jí)控制精度。選取重復(fù)精度較差的x軸和u軸進(jìn)行重復(fù)精度測(cè)量，并按照ISO 230-2標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行重復(fù)定位精度計(jì)算。測(cè)量結(jié)果選取4倍標(biāo)準(zhǔn)差作為該測(cè)量軸的重復(fù)定位精度。測(cè)量結(jié)果如圖8～圖9所示。測(cè)試結(jié)果顯示移動(dòng)軸單向重復(fù)定位精度可達(dá)2.0μm且轉(zhuǎn)動(dòng)軸單向重復(fù)定位精度可達(dá)1.5。

圖8 x軸重復(fù)精度測(cè)量結(jié)果Fig.8 x-axis repeatability measurement results

圖9 u軸重復(fù)精度測(cè)量結(jié)果Fig.9 u-axis repeatability measurement results

7 結(jié)論

本文針對(duì)雙端軸偏置虎克鉸型并聯(lián)六自由度Hexapod平臺(tái)提出了一種基于Brent算法的位置反解求解方法。該方法建立了一種基于空間圓輔助模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并利用Brent法對(duì)非線性方程組進(jìn)行數(shù)值求解，從而在保證計(jì)算精度的同時(shí)提高了運(yùn)算速度。通過(guò)實(shí)驗(yàn)與測(cè)試對(duì)所提出算法的有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行了評(píng)估，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于Brent算法的位置反解算法運(yùn)算時(shí)間優(yōu)于Newton-Raphson算法，且該控制算法下的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)在保證精度的同時(shí)平臺(tái)綜合響應(yīng)速度提高了約0.5 s。