大口徑機械快門驅(qū)動曲線優(yōu)化及激振力抑制

梁 偉，秦開宇，高曉東，蔣仁奎

（1.電子科技大學(xué) 航空航天學(xué)院，四川 成都611731；2.中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，四川 成都610209）

1 引言

隨著國際上大口徑、長焦距空間光學(xué)望遠鏡的發(fā)展，望遠鏡的成像分辨率越來越高，望遠鏡對指向精度以及指向穩(wěn)定度的要求越來越高，對微振動也越來越敏感［1-2］。多色成像與無縫光譜巡天相機（以下簡稱巡天相機）是大視場空間天文望遠鏡最重要的科學(xué)終端載荷之一，將用于開展極具科學(xué)競爭力的高空間分辨率、大面積天區(qū)的多色成像與無縫光譜巡天觀測工作。

機械快門安裝在巡天相機上對焦平面進行曝光控制，是距離焦面組件最近的振動源，快門運行時所帶來的激振力會降低成像分辨率，須對其進行抑制。機械快門的通光口徑達到610 mm×590 mm，巡天相機在軌工作10年，快門開、合次數(shù)約為100萬次。鑒于巡天相機對機械快門的長壽命、高可靠性要求，快門采用旋轉(zhuǎn)對開式，由電機直接驅(qū)動，無傳動機構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高的特點，可滿足壽命長的要求。因為可靠性高，垂直光軸方向占用空間小，這種旋轉(zhuǎn)開閉式機構(gòu)廣泛應(yīng)用于空間望遠鏡上，如哈勃望遠鏡（Hubble Space Telescope）［3-4］，錢德拉X射線太空望 遠 鏡（Chandra X-ray Observatory）［5-7］，倫 琴X射線天文臺（ROSAT）［8-9］和XMM-牛頓衛(wèi)星（Xray Multi-Mirror Mission）［10-11］等，但 多 用 于 望 遠鏡光學(xué)前端的遮光系統(tǒng)。這些遮光系統(tǒng)的功能主要是避免望遠鏡內(nèi)部器件收到強光照射，在望遠鏡工作時打開遮光蓋，在望遠鏡不工作時關(guān)閉遮光蓋，打開和關(guān)閉時間一般較長。遮光系統(tǒng)遠離焦面組件，且工作過程中望遠鏡焦面組件并未工作，對成像質(zhì)量的影響小，與巡天相機的機械快門區(qū)別較大。

為了降低旋轉(zhuǎn)機構(gòu)運行產(chǎn)生的激振力對焦平面的影響，通常使用靜動平衡方法抑制其激振力。歐幾里得空間望遠鏡（Euclid space mis?sion）［12-13］中可見光成像儀（Euclid-VIS）采用的快門形式與巡天相機的機械快門類似，通過嚴格的靜平衡與動平衡措施［14］抑制振動，取得了很好的效果。而巡天相機的機械快門受空間和質(zhì)量等約束難以采取靜動平衡措施，由于快門的運行頻率f小于1 Hz，若采用傳統(tǒng)的隔振措施，隔振器隔振頻率小于0.707f時才會發(fā)揮隔振效果［15-16］，這會大大削弱機械快門的支撐剛度，穩(wěn)定性差。

在靜動平衡和被動隔振措施等都無法實施的情況下，本文通過優(yōu)化快門驅(qū)動曲線從源頭上抑制它對安裝面的Z向激振力。建立機械快門的激振力數(shù)學(xué)模型，以豎向激振力絕對值的峰值最小為優(yōu)化目標(biāo)，選擇單純形法對快門驅(qū)動曲線進行數(shù)值優(yōu)化，并通過有限元仿真對數(shù)學(xué)建模進行修正和優(yōu)化，使快門組件的Z向激振力得到了抑制。

2 快門微振動建模

巡天相機機械快門由功能相同的正Y側(cè)快門、負Y側(cè)快門和支撐座構(gòu)成。建立坐標(biāo)系OXYZ，在兩轉(zhuǎn)軸軸線形成的平面內(nèi)，軸線方向為X方向，兩轉(zhuǎn)軸平面法向向上為+Z方向，Y方向由右手原則確定，如圖1所示。其中，單側(cè)快門是指單軸系的旋轉(zhuǎn)運動機構(gòu)（即指正Y側(cè)快門或負Y側(cè)快門），機械快門指巡天相機中兩組單側(cè)快門（正Y側(cè)快門和負Y側(cè)快門）組合實現(xiàn)的功能組件。

圖1 巡天相機及機械快門布局Fig.1 Layout of mechanical shutter of survey Camera

兩側(cè)快門葉片同時反方向轉(zhuǎn)動，即可實現(xiàn)快門的打開和關(guān)閉功能。在快門打開和關(guān)閉的過程中，由于葉片質(zhì)量偏心將產(chǎn)生激振力，兩組單側(cè)快門對稱布置，Y向激振力被抵消，而Z向激振力卻疊加。激振力會造成焦平面的微振動，此時焦平面處于積分狀態(tài)，因此快門打開和關(guān)閉產(chǎn)生的振動均對成像有影響，需要采取相應(yīng)措施來抑制激振力。

2.1 快門簡化模型

單側(cè)快門簡化模型如圖2所示。規(guī)定快門葉片與水平面夾角θ為葉片轉(zhuǎn)角，當(dāng)θ=0°時，快門完全關(guān)閉；當(dāng)θ=90°時，快門完全打開。將快門葉片簡化為質(zhì)點，質(zhì)量為m，質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的距離為r。

圖2 單側(cè)快門簡化模型Fig.2 Simplified single-sided shutter model

假設(shè)葉片轉(zhuǎn)角θ與時間t的曲線為θ（t）。如圖2左所示，在t時刻葉片偏心產(chǎn)生的離心力Fr為：

其Z向分量為：

如圖2右所示，在t時刻葉片加速或減速對轉(zhuǎn)軸的作用力為：

其Z向分量為：

在t時刻單側(cè)快門Z向合激振力為：

根據(jù)任務(wù)規(guī)劃，典型的快門運行過程如下：快門打開和關(guān)閉的時間為0～1.3 s；快門保持打開狀態(tài)，持續(xù)時間為150～200 s。

2.2 建立優(yōu)化目標(biāo)與約束

機械快門對安裝面的Z向激振力為正Y側(cè)快門與負Y側(cè)快門Z向激振力之和，且兩側(cè)快門的葉片慣量一致，即機械快門Z向激振力為單側(cè)快門Z向激振力的兩倍，優(yōu)化目標(biāo)可轉(zhuǎn)換為單側(cè)快門Z向激振力峰值的絕對值最小。優(yōu)化目標(biāo)為：

在開關(guān)打開或關(guān)閉的過程中，t=0～1.3 s內(nèi)峰值最小，其中快門的葉片質(zhì)量m=1.476 kg，r=0.17 m。優(yōu)化的約束條件如下：

式中：θ(0)為快門葉片在初始時刻0對應(yīng)的轉(zhuǎn)角；θ?(0)對應(yīng)開閉初始時刻的角速度；θ(1.3)為快門葉片在結(jié)束時刻1.3 s對應(yīng)的轉(zhuǎn)角；θ?(1.3)對應(yīng)開閉結(jié)束時刻的角速度。

根據(jù)建立的模型，選取了方波、三角波與正弦波等工程廣泛應(yīng)用的波形作為快門的驅(qū)動曲線，不同波形的角加速度、角速度和角度曲線如圖3～圖5所示。

圖3 方波驅(qū)動曲線Fig.3 Square wave driving curves

圖4 三角波驅(qū)動曲線Fig.4 Triangle wave driving curve

圖5 正弦波驅(qū)動曲線Fig.5 Sine wave driving curves

3種驅(qū)動方式下單側(cè)快門的Z向激振力曲線如圖6所示。方波、三角波與正弦波驅(qū)動方式下單側(cè)快門Z向激振力的峰值絕對值分別為1.68，1.80與1.46 N。在不同驅(qū)動方式下，激振力的響應(yīng)峰值和響應(yīng)曲線均有所不同，方波驅(qū)動響應(yīng)曲線的局部處得到了改善，因此改變快門驅(qū)動曲線可以改變激振力響應(yīng)，通過驅(qū)動曲線優(yōu)化來抑制激振力。

圖6 方波、三角波與正弦波驅(qū)動方式下單側(cè)快門Z向激振力曲線Fig.6 Vertical excitation force curve of single-side shut?ter under square wave，triangle wave and sine wave driving modes

3 驅(qū)動曲線優(yōu)化

由于優(yōu)化目標(biāo)的特殊性，即F z(t)在t的一定取值范圍內(nèi)的函數(shù)絕對值峰值最小，目標(biāo)值無法求導(dǎo)，常規(guī)的梯度優(yōu)化方法如坐標(biāo)輪換法、最速下降法、牛頓法、共軛梯度法和變尺度法均不適用［17］。單純形法作為非梯度優(yōu)化方法［18］，其收斂速度快、穩(wěn)定性好，變量個數(shù)不受限，還可通過變換初始頂點避免局部最優(yōu)，適用于優(yōu)化巡天相機機械快門的驅(qū)動曲線，因此本文采用單純形法優(yōu)化目標(biāo)。為了避免陷入局部最優(yōu)解，在可行域內(nèi)隨機取初始頂點，并多次計算，選擇所有計算結(jié)果中的最優(yōu)值。

將快門葉片角度曲線表示為傅里葉級數(shù)，即有：

由于式（7）約束的存在，n≥2，實際變量個數(shù)k=2n-3，T設(shè)置為2.6，將θ(t)延長為周期函數(shù)。將θ(t)帶入式（6），利用單純形法優(yōu)化傅里葉級數(shù)的參數(shù)，使它在滿足工程約束的條件下，Z向激振力的絕對值最大值最小。通過多次優(yōu)化嘗試，將優(yōu)化參數(shù)α，β，γ和ε分別設(shè)置為2，0.7，0.7和0.00001，能較好地兼顧算法的穩(wěn)定性和效率。

隨著優(yōu)化變量個數(shù)的增多，θ(t)的自由度增加，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解越來越小，每次優(yōu)化的迭代次數(shù)和計算時間的增加。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解趨于穩(wěn)定后停止優(yōu)化迭代，如圖7所示。優(yōu)化后單側(cè)快門的激振力曲線如圖8所示，最大絕對值為0.77 N，較正弦驅(qū)動方式減小47%；而兩組單側(cè)快門組合而成的機械快門激振力為1.54 N。優(yōu)化后傅里葉級數(shù)各個變量值如表1所示?？扉T驅(qū)動曲線如圖9所示。

圖7 傅里葉級數(shù)變量優(yōu)化過程Fig.7 Fourier series variable optimization process

圖8 優(yōu)化后單側(cè)快門的Z向激振力曲線Fig.8 Optimized vertical excitation force curve of singleside shutter

表1 優(yōu)化后傅里葉級數(shù)各個變量的值Tab.1 Value of each variable of optimized Fourier series

圖9 優(yōu)化后的快門驅(qū)動曲線Fig.9 Optimized shutter driving curves

4 有限元分析及驗證

為了獲取機械快門結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，建立機械快門的有限元模型進行模態(tài)分析。采用RBE2單元模擬快門軸承，并限制RBE2單元轉(zhuǎn)軸方向自由度，以對葉片進行鎖緊，其余零件之間為綁定約束，快門支撐座底面為固定面，計算坐標(biāo)如圖10所示。

圖10 機械快門的有限元模型Fig.10 Finite element model of mechanical shutter

快門的一階模態(tài)頻率為51 Hz，表現(xiàn)為葉片的X軸轉(zhuǎn)動振型，如圖11所示?？扉T的二階模態(tài)頻率為54 Hz，表現(xiàn)為葉片的Y軸扭轉(zhuǎn)振型，如圖12所示?？扉T的三階模態(tài)頻率為111 Hz，表現(xiàn)為葉片的呼吸振型，如圖13所示。

圖11 機械快門的一階振型Fig.11 First-order mode shape of mechanical shutter at 51 Hz

圖12 機械快門的二階振型Fig.12 Second-order mode shape of mechanical shutter at 54 Hz

圖13 機械快門的三階振型Fig.13 Third-order mode shape of mechanical shutter at 111 Hz

為驗證所建立的微振動激振力數(shù)學(xué)模型和單純性法的優(yōu)化結(jié)果，以優(yōu)化后的快門葉片角度曲線θ(t)作為輸入，對機械快門進行瞬態(tài)分析，模擬機械快門打開動作。有限元分析結(jié)果如圖14所示，在啟動和停止時刻，機械快門突變的驅(qū)動力造成快門的零狀態(tài)響應(yīng)，最大幅值為1.86 N，該響應(yīng)在阻尼作用下迅速衰減。其原因是激振力數(shù)學(xué)模型未考慮快門結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，忽略了快門在啟動和停止時刻的響應(yīng)，而在其他時刻的有限元分析結(jié)果與理論曲線一致，還需要進一步修正數(shù)學(xué)模型。

圖14 驅(qū)動曲線優(yōu)化后機械快門的Z向激振力響應(yīng)Fig.14 Response of vertical excitation force of mechani?cal shutter with optimized driving curve

機械快門突變的驅(qū)動力矩還造成了其他兩個方向的激振力，在X向激振力幅值達到0.73 N，如圖15所示。對X向激振力進行頻譜分析，結(jié)果表明激振力頻率主要集中在48 Hz和108 Hz。如圖16所示，它們分別對應(yīng)快門的一階和三階模態(tài)頻率，即快門突變的驅(qū)動力矩激起了葉片的X軸轉(zhuǎn)動和呼吸振型，葉片的共振加劇了快門的激振力。

圖15 驅(qū)動曲線優(yōu)化后快門的X，Y向激振力響應(yīng)Fig.15 Response of excitation forces in X and Y direc?tions of mechanical shutter with optimized driv?ing curve

圖16 X向激振力的頻譜曲線Fig.16 Spectrum curve of X-direction excitation force

5 數(shù)學(xué)模型修正

根據(jù)有限元分析結(jié)果，在啟動和停止時刻，快門突變的驅(qū)動力矩會帶來較大的沖擊，造成快門共振，加劇各方向的激振力，且激振力中的中頻成分與結(jié)構(gòu)耦合產(chǎn)生響應(yīng)。所以還需修正數(shù)學(xué)模型，消除突變力矩，增加數(shù)學(xué)約束如下：

同樣將θ(t)表示成式（8）中的傅里葉級數(shù)，利用單純形法優(yōu)化傅里葉級數(shù)的參數(shù)，優(yōu)化變量個數(shù)達到13時，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的變化率趨近于零，目標(biāo)函數(shù)收斂于0.86 N，如圖17所示。

圖17 修正后單側(cè)快門的Z向激振力曲線Fig.17 Modified vertical excitation force curve of singleside shutter

修正后傅里葉級數(shù)各個變量值如表2所示，傅里葉級數(shù)快門驅(qū)動曲線如圖18所示。

圖18 修正后的快門驅(qū)動曲線Fig.18 Modified shutter driving curves

有限元瞬態(tài)分析結(jié)果表明：修正后的驅(qū)動曲線在機械快門啟動和停止時刻對快門的沖擊較小，機械快門的Z向激振力與數(shù)學(xué)模型分析值一致，最大幅值均為1.72 N，如圖19所示，由此驗證了數(shù)學(xué)模型的正確性及優(yōu)化方法的有效性。

圖19 驅(qū)動曲線修正后機械快門的Z向激振力響應(yīng)Fig.19 Response of vertical excitation force of shutter with modified driving curve

驅(qū)動曲線修正后，機械快門其他兩個方向的激振力也得到抑制，如圖20所示。X向激振力幅值由0.73 N降低至0.018 N，降低97.5%；Y向激振力幅值為0.006 N。耦合共振響應(yīng)得到顯著抑制。

圖20 驅(qū)動曲線修正后快門的X、Y向激振力響應(yīng)Fig.20 Response of excitation force in X and Y direction of shutter with modified driving curve

對機械快門3個方向的激振力進行合成，結(jié)果如圖21所示。修正后機械快門激振力合力為1.72 N，優(yōu)于修正前的1.87 N，且激振力曲線更加平滑，中頻成分得到抑制，不會與結(jié)構(gòu)耦合共振，激振力的抑制效果更好。

圖21 驅(qū)動曲線修正前后機械快門的三向激振力合力曲線Fig.21 Resultant force curves of shutter excitation force before and after modification of driving curve

6 結(jié)論

本文提出的大口徑機械快門為旋轉(zhuǎn)對開式結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)形式實現(xiàn)了兩轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的激振力對消，兩轉(zhuǎn)軸平面法向的激振力加倍，采用驅(qū)動曲線優(yōu)化方式進行了激振力抑制。建模及優(yōu)化結(jié)果表明，與結(jié)構(gòu)耦合產(chǎn)生的微振動的中高頻成分得到充分抑制，轉(zhuǎn)軸的軸向激振力幅值由0.73 N降低至0.018 N；兩轉(zhuǎn)軸平面法向激振力由2.92 N降低至1.72 N，降低了41%。數(shù)學(xué)建模優(yōu)化結(jié)果與有限元瞬態(tài)分析結(jié)果是一致的，從而驗證了數(shù)學(xué)模型的正確和優(yōu)化方法的有效。該激振力抑制方法也適用于旋轉(zhuǎn)類機構(gòu)的減振設(shè)計與優(yōu)化。