一種抗頻偏的定時同步方法及其性能分析 *

付博煒，李明齊

(1.中國科學(xué)院上海高等研究院，上海201210；2.上?？萍即髮W(xué) 信息學(xué)院，上海 201210； 3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引 言

在無線通信中，信號的同步至關(guān)重要?；跀?shù)據(jù)輔助的同步算法可以分為自相關(guān)定時同步算法和互相關(guān)定時同步算法兩大類[1]。

自相關(guān)定時同步算法的核心思想是在發(fā)送端發(fā)送特定的訓(xùn)練序列(多段重復(fù)或共軛對稱的結(jié)構(gòu))，在接收端對接收數(shù)據(jù)做延時自相關(guān)運算。通過自相關(guān)結(jié)果對信號的起始位置和載波頻偏進(jìn)行估計，實現(xiàn)簡單，在信噪比較高的情況下表現(xiàn)良好[2-3]。但由于自相關(guān)算法定時包絡(luò)不尖銳，而且相關(guān)的兩段輔助數(shù)據(jù)都會受到信道噪聲的干擾，自相關(guān)在低信噪比的情況下性能較差。

互相關(guān)定時同步算法的核心思想是在本地保存一份發(fā)送訓(xùn)練序列，通過接收數(shù)據(jù)與本地序列做互相關(guān)運算。與自相關(guān)同步算法相比，互相關(guān)算法定時包絡(luò)尖銳，而且本地序列沒有受到噪聲和信道的影響，定時偏差小，適用于低信噪比的環(huán)境[4-7]。但互相關(guān)算法對載波頻偏敏感，隨著載波頻偏的增加性能會迅速下降。文獻(xiàn)[8]對互相關(guān)同步中載波頻偏的影響作了分析，通過限制訓(xùn)練序列長度來減少載波頻偏的影響，但減少訓(xùn)練序列長度同樣會降低定時同步的性能。文獻(xiàn)[9-10]通過粗頻偏估計的方法估計出載波頻偏，補償后進(jìn)行細(xì)定時同步，該方法實現(xiàn)復(fù)雜度較高，需要額外的處理時延，而且同步性能受粗頻偏估計性能影響，只適用于短序列，信噪比較高的情況。文獻(xiàn)[11]提出了分段互相關(guān)的算法，將互相關(guān)運算分段進(jìn)行以減少載波頻偏帶來的衰減，最后取絕對值相加得到同步判決度量。盡管該算法實現(xiàn)簡單并在實際系統(tǒng)中得到了應(yīng)用，但分段絕對值的做法同時會放大噪聲的均值，增加接收機虛警的概率。

本文首先對載波頻偏的影響和傳統(tǒng)的分段互相關(guān)算法性能進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上提出了一種分段頻偏補償?shù)乃惴ǎ趥鹘y(tǒng)分段算法的基礎(chǔ)上，以頻偏補償代替絕對值操作。理論分析和仿真結(jié)果表明，在大頻偏的情況下，改進(jìn)方法的同步性能要優(yōu)于傳統(tǒng)分段算法。

1 互相關(guān)同步和載波頻偏影響

在加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise,AWGN)信道下，對于發(fā)送長度為N的訓(xùn)練序列s(n),接收機接收到的信號為

r(n)=s(n)ej2πεn/N+w(n)。

(1)

定義ε=df/(fs/N)為歸一化載波頻偏，其中fs為采樣率，df為載波頻偏；w(n)為方差為σ2的加性高斯白噪聲。接收信號與本地序列的互相關(guān)結(jié)果為

(2)

得到歸一化定時同步判決度量為

(3)

不失一般性，假設(shè)發(fā)射信號和接收信號的功率為1。在同步時刻，同步判決度量為

(4)

M(0)=|αN+w′|。

(5)

式中：α為頻偏衰減系數(shù)，

(6)

當(dāng)ε<0.5時，通過二階泰勒展開可以近似為α=1-π2ε2/6，互相關(guān)峰值會隨著載波頻偏的增加而迅速變小，從而降低定時同步的性能。

接收信號的定時同步可以看作一個檢測判決問題：

(7)

式中：H1為正確同步假設(shè)，判決度量為互相關(guān)峰值與等效噪聲之和；H0為錯誤同步假設(shè)，判決度量為等效噪聲。當(dāng)n=0時，M(n)服從萊斯分布，在互相關(guān)峰值αN遠(yuǎn)大于噪聲功率σ2時，M(0)可以近似為均值為αN、方差為Nσ2/2的正態(tài)分布；當(dāng)n≠0時，M(n)為方差為σ2復(fù)高斯噪聲的包絡(luò)，服從瑞利分布。

定義同步檢測概率為PD,虛警概率為PFA,根據(jù)奈曼-皮爾遜(Neyman-Pearson)引理，令判決門限為thr,則互相關(guān)同步算法的檢測概率為

(8)

虛警概率為

(9)

檢測概率和虛警概率的關(guān)系為

(10)

式中：Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)。從式(10)中可以看出，在虛警概率確定的情況下，互相關(guān)同步性能只與訓(xùn)練序列長度、噪聲功率和載波頻偏有關(guān)，載波頻偏的增加會導(dǎo)致同步檢測概率的下降。

2 分段算法和性能分析

文獻(xiàn)[11]提出了一種分段算法，通過分段取絕對值的操作降低了載波頻偏的影響，將互相關(guān)運算分為L段，在n=0時，同步判決度量為

(11)

(12)

同步檢測概率可以近似為

(13)

3 改進(jìn)的分段頻偏補償算法和性能分析

在互相關(guān)同步算法中，頻偏可以通過每段互相關(guān)的相位差求得：

(14)

式中：Pi(n)是每小段互相關(guān)的結(jié)果，

(15)

頻偏估計的結(jié)果可以近似為

(16)

頻偏估計誤差Δθ服從均值為0、方差為L2σ4/(4(L-1)3π2N2)的正態(tài)分布[12]。相比于定時同步，頻偏估計的結(jié)果受噪聲影響更小，結(jié)果更為準(zhǔn)確。改進(jìn)的頻偏補償算法的定時同步度量為

(17)

由于Δθ較小，若N>>σ2，在n=0時，Mpro(n)可以近似為均值為N(1-π2ε2/6L2)、方差為Nσ2/2的正態(tài)分布的隨機變量;當(dāng)n≠0時，由于頻偏補償不改變同步結(jié)果的幅值，噪聲仍可以看作L段均值為0、方差為Nσ2/L的高斯噪聲wl的疊加：

(18)

式中：

(19)

圖1 改進(jìn)算法等效噪聲均值隨分段次數(shù)L的變化

圖2 改進(jìn)算法等效噪聲方差隨分段次數(shù)L的變化

改進(jìn)算法的虛警概率近似為

(21)

改進(jìn)算法的同步檢測概率為

(22)

在低信噪比、大頻偏的場景中，改進(jìn)算法的性能要優(yōu)于傳統(tǒng)的分段算法。

4 實現(xiàn)復(fù)雜度分析

將長度為N、分段次數(shù)為L的傳統(tǒng)分段算法和改進(jìn)分段算法的實現(xiàn)復(fù)雜度進(jìn)行簡要分析，結(jié)果如表1所示。

表1 算法實現(xiàn)復(fù)雜度

在傳統(tǒng)分段算法中，頻偏估計在完成定時后進(jìn)行，式(14)用于計算頻偏的三角函數(shù)模塊可以復(fù)用。而改進(jìn)分段算法需要即時地計算出頻偏，并且對相關(guān)峰進(jìn)行頻偏補償，頻偏估計中的三角函數(shù)模塊不能復(fù)用。但在序列長度N較大、分段次數(shù)L較小的情況下，改進(jìn)分段算法增加的運算只占系統(tǒng)總運算量中很小的一部分，改進(jìn)分段算法與傳統(tǒng)分段算法的實現(xiàn)復(fù)雜度相近。

相比于文獻(xiàn)[10]中的頻偏補償算法，改進(jìn)算法不需要進(jìn)行粗同步，頻偏估計結(jié)果可以在計算出互相關(guān)后即時得到，頻偏補償只需要對少量相關(guān)峰進(jìn)行，無需額外的迭代運算，計算復(fù)雜度低，內(nèi)存占用少，適合在實際工程中實現(xiàn)。

5 性能仿真與分析

為驗證理論分析結(jié)果，將分段互相關(guān)同步和本文提出的改進(jìn)算法的定時同步性能進(jìn)行仿真和對比。測試采用正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)系統(tǒng)，載波頻率為fc=600 MHz,子載波間隔為3.75 kHz，同步訓(xùn)練序列長度為N=4 096，以虛警概率PFA=10-3確定同步判決門限。在實際實現(xiàn)中，算法的實現(xiàn)復(fù)雜度會隨著分段次數(shù)L的增加而增加，當(dāng)L=N時，算法的實現(xiàn)復(fù)雜度與文獻(xiàn)[10]中的頻偏補償算法相當(dāng)。改進(jìn)算法的分段次數(shù)不宜過大，在實現(xiàn)中可以根據(jù)接收信號的最大頻偏選擇合適的分段次數(shù)。

首先對理論分析結(jié)果進(jìn)行驗證。圖3給出了改進(jìn)算法式(22)中理論分析與實際仿真在不同頻偏下的AWGN信道下的定時同步性能。由于頻偏估計誤差和近似誤差的存在，算法實際性能略低于理論分析性能。從L=2到L=8，由于等效噪聲的方差有所增加，導(dǎo)致改進(jìn)分段算法的同步檢測概率隨著分段次數(shù)L的增加而下降，但下降幅度較小。改進(jìn)算法在分段次數(shù)較多的情況下仍然能夠保持較好的同步檢測性能。

圖3 AWGN信道下改進(jìn)算法理論性能和實際性能的比較

圖4為相同虛警概率的情況下傳統(tǒng)分段算法和改進(jìn)算法的定時同步性能。從仿真結(jié)果可以看出，一方面在沒有頻偏的情況下，不進(jìn)行分段的互相關(guān)算法同步性能最好。無論是絕對值算法還是改進(jìn)算法的同步性能都會隨著分段次數(shù)L的增加而有所下降。但相比于分段絕對值算法，改進(jìn)算法由于分段造成的性能損失較小，在相同分段次數(shù)的情況下，改進(jìn)算法的同步性能要優(yōu)于絕對值算法。另一方面，隨著分段次數(shù)L的增加，系統(tǒng)的抗頻偏能力會得到增強，在大頻偏的情況下，分段帶來的抗頻偏增益要大于分段帶來的性能損失。改進(jìn)算法可以通過增加更多的分段來獲得更強的抗頻偏能力。

(a)歸一化頻偏ε=0

(b)歸一化頻偏ε=0.5圖4 AWGN信道下改進(jìn)分段算法和傳統(tǒng)分段算法同步性能的比較

在多徑信道下，同步檢測算法主要是對最強徑(往往是第一徑)進(jìn)行同步檢測和估計，AWGN信道下分析的改進(jìn)算法可以推廣到多徑信道中。圖5為兩徑萊斯信道下改進(jìn)算法和分段算法的仿真結(jié)果,信道第一徑和第二徑的增益分別為0 dB、-3 dB，萊斯因子為10，第二徑時延為2 μs。從仿真結(jié)果中可以看出，在多徑信道下，相同分段次數(shù)的改進(jìn)算法的性能仍優(yōu)于傳統(tǒng)的分段算法。

(a)歸一化頻偏ε=0

(b)歸一化頻偏ε=0.5圖5 多徑信道下改進(jìn)分段算法和傳統(tǒng)分段算法同步性能的比較

6 結(jié) 論

本文對頻偏對互相關(guān)同步性能的影響以及傳統(tǒng)分段互相關(guān)同步的性能進(jìn)行了分析。針對傳統(tǒng)分段互相關(guān)算法同步算法在低信噪比的情況下性能隨著分段次數(shù)增加而迅速下降的問題，提出了一種改進(jìn)的分段頻偏補償互相關(guān)同步算法。理論分析和數(shù)值仿真表明，本文所提算法的同步性能要優(yōu)于傳統(tǒng)分段互相關(guān)算法，適用于低信噪比、高頻偏的通信系統(tǒng)，具有很好的實用價值。