基于滑模自適應(yīng)控制的雙關(guān)節(jié)機(jī)械手軌跡跟蹤*

楊明博，周紫陽

(北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100043)

0 引言

近年來，隨著機(jī)器人技術(shù)和智能控制技術(shù)的不斷發(fā)展，機(jī)械手作為機(jī)器人技術(shù)和控制技術(shù)的載體吸引了眾多研究人員的目光[1]。其中雙關(guān)節(jié)機(jī)械手是通過兩個(gè)關(guān)節(jié)共同協(xié)作來進(jìn)行物體的抓取和移動(dòng)。雙關(guān)節(jié)機(jī)械手具有可靠度高、靈活性強(qiáng)、速度快、處理能力強(qiáng)，工作高效等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用到醫(yī)療和工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中[2-4]。

目前針對(duì)機(jī)械手的軌跡跟蹤控制，研究人員提出了不同的控制方法。比較經(jīng)典的算法有PID控制[5-7]、自適應(yīng)控制[8-10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[11-13]、反步控制[14-15]等。在實(shí)際應(yīng)用的過程中，PID算法應(yīng)用較為廣泛，但是PID算法更適合相對(duì)簡單情況，當(dāng)被控對(duì)象結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，機(jī)械手的軌跡跟蹤精度難以得到保證。文獻(xiàn)[16]中采用傳統(tǒng)PID控制，通過調(diào)節(jié)PID參數(shù)進(jìn)行移動(dòng)液壓機(jī)械手的軌跡跟蹤控制，仿真結(jié)果能大致追蹤到機(jī)械手的軌跡。但是此方法的誤差較大，并且調(diào)節(jié)參數(shù)需要的時(shí)間較長，當(dāng)控制能量需求較大時(shí)也很難滿足需求。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制在針對(duì)非線性和不確定系統(tǒng)有著明顯的優(yōu)勢(shì)，也是較先進(jìn)的控制方法[17]。文獻(xiàn)[18]中運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法對(duì)機(jī)械手進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，對(duì)未知部分進(jìn)行分析與逼近，最后通過在線建模和前饋補(bǔ)償來實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械手軌跡的高精度跟蹤。自適應(yīng)控制是指系統(tǒng)能夠根據(jù)環(huán)境的變化來調(diào)整自身的行為或性能。文獻(xiàn)[19]采用自適應(yīng)控制，通過自動(dòng)調(diào)節(jié)不確定項(xiàng)來減小誤差，提高控制精度。但是系統(tǒng)的控制性能明顯依賴于增益值，要獲得更好的性能，就必須使用較高的增益。文獻(xiàn)[20]在采用自適應(yīng)思想設(shè)計(jì)控制器時(shí)，引入在線可調(diào)參數(shù)，使得控制器能夠跟蹤所給定的有界參考信號(hào)，跟蹤誤差也能收斂到包含零點(diǎn)的很小鄰域內(nèi)。文獻(xiàn)[21]采用傳統(tǒng)的滑?？刂七M(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，雖然最終滑?？刂频那袚Q增益大于不確定項(xiàng)或未建模項(xiàng)的上限，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定，但是較大的切換增益導(dǎo)致抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生，進(jìn)而導(dǎo)致機(jī)械臂在滑模面附近產(chǎn)生振蕩，控制精度受到影響。

本文采用滑模自適應(yīng)控制策略來進(jìn)行機(jī)械手的軌跡跟蹤控制，相比其他文章，本文考慮了內(nèi)部不確定因素的干擾，設(shè)計(jì)干擾的自適應(yīng)律并且優(yōu)化自適應(yīng)參數(shù)，加快了誤差收斂速度，提升了機(jī)械手的軌跡跟蹤精度。最后本文采用模糊控制和PID控制作為對(duì)照組實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明了本文控制算法的有效性和優(yōu)越性。

1 機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系的建立

描述機(jī)械手運(yùn)動(dòng)狀態(tài)最主要的量是位姿，為了描述機(jī)械手在同一位置所處的不同狀態(tài)，一般選擇在連桿處建立固定的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 機(jī)械手坐標(biāo)系示意圖

由圖1可知，桿1的質(zhì)心為m1；桿2和未知重物的質(zhì)心為m2；桿1長為l1；桿2長為l2；桿1質(zhì)心到原點(diǎn)的距離記為d1；關(guān)節(jié)到桿2和未知重物的質(zhì)心距離為d2；桿1和桿2關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度分別為θ1和θ2；桿1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1；桿2和未知重物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I2；γ為桿2和未知重物運(yùn)動(dòng)時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

動(dòng)力學(xué)模型描述了機(jī)械手系統(tǒng)控制輸入轉(zhuǎn)矩和結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。本文運(yùn)用歐拉拉格朗日法來建立機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型。因?yàn)槔窭嗜樟W(xué)法只需要提供機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)速度，而不需要求內(nèi)作用力，這使得模型在運(yùn)算中得到簡化。通過歐拉拉格朗日法進(jìn)行運(yùn)算簡化可得雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程描述為如下形式[22]：

(1)

C為哥式力和離心力矩陣，具體表述為：

G為機(jī)械臂的重力矩陣，具體表述為：

將自身參數(shù)的不確定性表述為α、β、ε、η這4個(gè)量。相應(yīng)的具體表達(dá)式為如下形式：

ε=m2l1d2cosγ

η=m2l1d2sinγ

其中，各矩陣中的n1、n2表達(dá)式為：

n2=g/l1

2 控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)滑模函數(shù)為：

(2)

由于雙關(guān)節(jié)機(jī)械手依靠力矩驅(qū)動(dòng)整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)計(jì)控制器時(shí)主要進(jìn)行力矩的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)控制器的表達(dá)式為：

(3)

由機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)特性可知，H是對(duì)陣的正定矩陣，并且有界。所以可設(shè)計(jì)為如下形式的李雅普諾夫函數(shù)，具體為：

(4)

τ1、τ2、τ3、τ4均大于0。于是對(duì)李雅普諾夫函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(5)

將式(3)帶入進(jìn)行運(yùn)算可得：

(6)

將T的表達(dá)式帶入進(jìn)一步運(yùn)算可得：

(7)

根據(jù)機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的線性化特性有：

(8)

(9)

由雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型特性式可知[23]：

因?yàn)閟TYPe=PeTYTs，并且sTYPe是對(duì)稱矩陣，進(jìn)一步化簡得：

(10)

因?yàn)楸疚难芯康氖莾?nèi)部未知因素對(duì)擾動(dòng)的影響，故以未知量作為自適應(yīng)律，并且設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為如下形式[24]：

(11)

所以可得到：

(12)

3 仿真研究分析

根據(jù)理論部分的推理結(jié)果進(jìn)行仿真分析。首先是系統(tǒng)基本參數(shù)的確定，取機(jī)械手的關(guān)節(jié)1質(zhì)量為m1=2 kg；桿1長l1為1 m；桿2和未知重物的質(zhì)量m2=4 kg；桿1質(zhì)心到原點(diǎn)的距離d1為0.5 m；桿1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1為0.125；關(guān)節(jié)到桿2和未知重物的距離d2為1 m；桿2和未知重物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2為0.4；將γ設(shè)定為0°；關(guān)節(jié)1的理想運(yùn)動(dòng)軌跡為sin3πt；關(guān)節(jié)2的理想運(yùn)動(dòng)軌跡sin2πt；

;kd=50 00 50;λ=3 00 3

仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角度跟蹤

圖3 關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角 度跟蹤誤差圖4 α、β、ε、η收斂情況

根據(jù)仿真得到的結(jié)果進(jìn)行分析。從圖2可以看出，機(jī)械手系統(tǒng)的期望運(yùn)動(dòng)軌跡能夠被穩(wěn)定跟蹤到；圖3則反應(yīng)了跟蹤量的誤差，可以看出誤差在隨著時(shí)間變化逐漸趨近于0，這反映出了控制器具有不錯(cuò)的跟蹤精度。其中關(guān)節(jié)1在3 s時(shí)，角度能夠被穩(wěn)定跟蹤到，關(guān)節(jié)2在3.2 s時(shí)，角度能夠被穩(wěn)定跟蹤到。通過以上分析可以看出通過運(yùn)用滑模自適應(yīng)控制策略設(shè)計(jì)的控制器能很好的跟蹤到期望軌跡，保證了跟蹤的精度，證明了這種控制策略的有效性。此外，系統(tǒng)自身未知參數(shù)由α、β、ε、η來確定，根據(jù)表達(dá)式可計(jì)算出α、β、ε、η值，分別為α=9.025，β=4.4，ε=4，η=0。為方便進(jìn)行分析，對(duì)這4個(gè)量進(jìn)行歸一化處理并進(jìn)行仿真。根據(jù)圖4的仿真結(jié)果可以看出，這4個(gè)量均呈現(xiàn)收斂狀態(tài)并且收斂速度較快，由此反映出系統(tǒng)的未知參數(shù)能夠很好的得到抑制，使系統(tǒng)的控制精度得到保證。

圖5 模糊控制關(guān)節(jié)1和 關(guān)節(jié)2角度跟蹤 圖6 模糊控制關(guān)節(jié)1和 關(guān)節(jié)2角度跟蹤誤差

根據(jù)圖5和圖6仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，雖然在角度跟蹤方面能大致跟蹤到理想值，但是誤差相對(duì)滑模自適應(yīng)算法較大，并且誤差呈現(xiàn)出震蕩狀態(tài)，沒有趨近于零的趨勢(shì)。導(dǎo)致這一點(diǎn)的原因可能是在設(shè)計(jì)模糊規(guī)則及隸屬函數(shù)時(shí)是完全憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行的，而且這種簡單的模糊處理會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的控制精度降低和動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差。第二組對(duì)照組仿真實(shí)驗(yàn)采用PID控制算法，如圖7和圖8所示。仿真結(jié)果可以看出采用PID算法也能很好的跟蹤到所設(shè)定的軌跡，并且具有較高的精度。但是PID算法在調(diào)節(jié)3個(gè)環(huán)節(jié)的參數(shù)時(shí)相對(duì)繁瑣，如果參數(shù)選取的不合適，超調(diào)現(xiàn)象相對(duì)嚴(yán)重?？梢钥闯?，相比PID控制和模糊控制，文本提出的控制策略具有一定的優(yōu)越性。

圖7 PID算法關(guān)節(jié)1角度跟蹤 圖8 PID算法關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2 角度跟蹤誤差

4 結(jié)論

(1) 提出了一種滑模自適應(yīng)控制算法，該算法可以在受內(nèi)部參數(shù)的不確定性影響下提高機(jī)械手軌跡跟蹤精度。

(2) 優(yōu)化了自適應(yīng)參數(shù)，提高了誤差收斂速度和軌跡跟蹤精度。

(3) 通過采用模糊控制和PID控制進(jìn)行仿真對(duì)比，證明本文提出的滑模自適應(yīng)控制算法的優(yōu)越性。