高速鐵路拱塔斜拉橋拱塔軸線優(yōu)化求解

施 洲 ，胡 豪 ，蒲黔輝 ，劉振標(biāo) ，印 濤

（1.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063）

隨著國內(nèi)高速鐵路的不斷發(fā)展，線路以小角度斜跨既有高速公路、鐵路、河流和管線的情況增多，給橋墩橋塔的布置帶來困難.拱塔斜拉橋能靈活跨越既有交通管線、河流等，且線形優(yōu)美.目前已建成的拱塔斜拉橋多用于公路橋和人行橋，尚未見用于鐵路橋梁[1-3].當(dāng)拱塔斜拉橋應(yīng)用于荷載相對較大、剛度、穩(wěn)定性和安全性要求高的高鐵橋梁[4]時，亟需對拱塔的受力優(yōu)化問題進(jìn)行研究.

目前，公路拱塔斜拉橋的結(jié)構(gòu)受力等方面已有一定研究.Sung等[1]針對貓羅溪橋索力優(yōu)化問題提出基于最小應(yīng)變能原理的拱塔斜拉橋索力優(yōu)化方法，優(yōu)化效果較好；李鑫等[5]通過跑車試驗(yàn)和數(shù)值分析方法研究了沈陽市三好橋拱塔及橋跨結(jié)構(gòu)的車致振動問題；曹一山等[6]通過模型試驗(yàn)和有限元方法研究了杭州之江大橋的受力，驗(yàn)證了拱塔斜拉橋相對復(fù)雜的受力與變形特點(diǎn).

拱塔斜拉橋的拱塔結(jié)構(gòu)承受的斜拉索索力除豎向分力外還有巨大的橫橋向分力，普通拱橋常用的“五點(diǎn)重合法”、曲線擬合等拱軸線優(yōu)化方法[7-11]均不再適合拱塔軸線的優(yōu)化.栗懷廣等[12]針對三明臺江大橋的拱塔提出了一種針對拱頂部分結(jié)構(gòu)的拱塔軸線逐段設(shè)計(jì)算法，考慮了拱塔所受的橫向水平力，適用于索梁錨固點(diǎn)位于主梁中心線上的拱塔斜拉橋拱塔軸線優(yōu)化，取得良好的優(yōu)化效果.目前尚沒有針對全拱塔結(jié)構(gòu)開展拱塔軸線優(yōu)化的研究.與既有公路和人行拱塔斜拉橋相比，高速鐵路拱塔斜拉橋的拱塔具有受力及變形要求高、矢跨比相對較小、索塔錨固點(diǎn)處所受豎向和橫橋向分力大等特點(diǎn).在此，基于受力平衡分析[13]、非線性方程組不動點(diǎn)迭代求解和有限元計(jì)算研究通用的拱塔軸線迭代優(yōu)化理論方法，以廣汕鐵路跨深汕高速拱塔斜拉橋?yàn)檠芯繉ο螅?yàn)證其有效性，并分析優(yōu)化前后拱塔軸線線形和拱塔受力與變形的變化規(guī)律.

1 拱塔斜拉橋拱塔軸線優(yōu)化理論

1.1 基于拱塔結(jié)構(gòu)受力平衡的優(yōu)化理論

拱塔斜拉橋的拱塔承受斜拉索索力的豎向、橫向、縱向三向分力和自重作用.考慮到拱塔兩側(cè)斜拉索傳遞縱向分力的對稱性，即不考慮縱向索力不對稱，則拱塔兩側(cè)斜拉索的索力沿縱橋向分力相互抵消，拱塔僅承受其軸線平面內(nèi)的豎向和橫向分力.拱塔自重為沿拱塔軸線豎向均布荷載q=γA（γ為拱塔材料容重；A為拱塔截面面積）.考慮到拱塔結(jié)構(gòu)的面內(nèi)對稱性，取橫向半跨拱塔進(jìn)行受力分析，半拱塔軸線可用n段直線段（n+1個節(jié)點(diǎn)）表示，以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，在斜拉索錨固處均設(shè)置節(jié)點(diǎn).拱塔節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，Yr，Zr）（r=1，2，···，n+1），di（i=1，2，···，n）為第i段直線段的長度，索塔錨固點(diǎn)處拱受到的索力分解為豎向力Vr和水平力Hr，其他中間節(jié)點(diǎn)處Vr、Hr為0，f為拱塔的矢高，l為拱塔的跨度，M1、Mn+1均為節(jié)點(diǎn)彎矩，如圖1所示.

圖1所示的拱軸受力中，恒載或其他組合荷載下斜拉索索力Fr，相應(yīng)索梁錨固點(diǎn)的坐標(biāo)（Xj，Yj，Zj）（j=1，2，···，m，m為索梁錨固點(diǎn)數(shù)目），則Vr和Hr分別為

圖1 拱塔受力分析Fig.1 Force analysis sketch of arch-shaped pylon

拱塔各節(jié)段的長度為

理想的拱塔軸線下，拱塔拱頂截面僅有水平力H1（V1=0，彎矩M1=0），拱腳僅有水平反力Hn+1和豎向反力Vn+1（彎矩Mn+1=0），則拱塔受力平衡方程為

式中：q為均布載荷；V、H分為半拱結(jié)構(gòu)整體上豎向力、水平力的合力.

聯(lián)立式（4）～（6），可求得Vn+1、Hn+1，和H1的值.

拱塔第k號節(jié)點(diǎn)（k=2，3，…，n+1）彎矩Mk為0，即有

將Vn+1、Hn+1和H1的值代入式（7）中，指定各節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)Yr且不變，以各節(jié)點(diǎn)（除拱頂節(jié)點(diǎn)外）的豎坐標(biāo)Zi作為變量，則式（7）等價(jià)于式（8）.

拱塔軸線線形與其承受的荷載（包括自重、斜拉索索力）是相互影響的[14]，不同拱塔軸線線形（即向量z）對應(yīng)的拱塔斜拉橋斜拉索合理張拉索力Tr不同，計(jì)算荷載下斜拉索的索力Fr時，需要先確定Tr.斜拉索索力優(yōu)化的方法較多[15]，工程上，常采用以彎曲應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)的影響矩陣法[16-17]優(yōu)化確定Tr，進(jìn)而確定Fr及其分量Vr、Hr.可知：式（8）中ck的值也取決于未知z，故式（8）為非線性方程組.通常，獲得非線性方程組的理論解是困難的，在此選取初始解向量為z(0)，采用不動點(diǎn)迭代[18]的數(shù)值解法求其近似解z(t)（t≥ 1），迭代收斂準(zhǔn)則為

滿足收斂準(zhǔn)則的z(t)為非線性方程組的近似解向量，即求得了近似的合理拱塔軸線.

1.2 拱塔軸線優(yōu)化步驟和流程

基于拱塔結(jié)構(gòu)受力平衡的優(yōu)化理論，拱塔軸線迭代優(yōu)化方法的具體優(yōu)化如下：

1) 初步擬定拱塔基本參數(shù)l、f、q、拱塔軸線各節(jié)點(diǎn)橫向坐標(biāo)Yr（r=2，3，···，n+1），拱頂節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，···，0））、索梁錨固點(diǎn)坐標(biāo)（Xj，Yj，Zj）等；

2) 合理拱塔軸線下，拱塔第k號節(jié)點(diǎn)（k=2，3，··，n+1）彎矩為0，根據(jù)式（8）建立以z為變量的非線性方程組；

4) 應(yīng)用索力優(yōu)化的影響矩陣法優(yōu)化確定Ti；

5) 按擬定的基本參數(shù)、拱塔各節(jié)點(diǎn)Z坐標(biāo)和Tr，建立有限元模型計(jì)算Fr，結(jié)合索塔、索梁錨固點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)式（1）、（2）計(jì)算Vr和Hr；

6) 根據(jù)式（3）計(jì)算di；

7) 拱塔拱頂截面僅有水平力H1（V1=0，M1=0），拱腳僅有水平反力Hn+1和豎向反力Vn+1（Mn+1=0），則聯(lián)立式（4）～（6）求得Vn+1、Hn+1和H1的值，進(jìn)而確定非線性方程組中向量c=[c2c3···cn+1]T；

8) 計(jì)算求得向量z(t)，判斷是否滿足不動點(diǎn)迭代法解非線性ε方程組的迭代收斂準(zhǔn)則：ε（ε 可取值 0.01 m），若滿足，則迭代終止，取迭代得到的向量z(t)為非線性方程組的近似解，否則，更新初始解為新得到的解，返回4)繼續(xù)迭代計(jì)算.

基于MATLAB編制相應(yīng)拱塔軸線優(yōu)化計(jì)算程序即可方便地完成合理拱塔軸線的近似解確定.

2 高鐵拱塔斜拉橋拱塔軸線優(yōu)化

2.1 工程概況及有限元模型

廣汕鐵路為設(shè)計(jì)時速350 km的客運(yùn)專線，線間距5 m，設(shè)計(jì)荷載為雙線ZK活載，線路方向與深汕高速公路線路方向夾角為26°.廣汕鐵路跨深汕高速主橋采用（32+160+32）m 拱塔斜拉橋，橋址處高速公路為路塹段，雙向6車道，正寬29 m，后期規(guī)劃為雙向8車道，正寬約44 m，地方規(guī)劃要求凈空不小于6 m.該橋主梁采用鋼混疊合梁結(jié)構(gòu)，拱塔采用帶加勁板肋鋼箱截面，拱塔跨度為71.577 m，矢高為57.356 m.邊墩、橋臺和廣州側(cè)輔助墩處設(shè)置豎向和橫向限位、縱向自由活動的支座，汕尾側(cè)輔助墩處設(shè)置固定支座，拱腳與拱塔基礎(chǔ)固結(jié)，橋梁布置如圖2所示.

圖2 拱塔斜拉橋布置 (單位：cm)Fig.2 Overview of arch-shaped pylon cable-stayed bridge (unit：cm)

根據(jù)廣汕鐵路跨深汕高速拱塔斜拉橋的初步設(shè)計(jì)參數(shù)，利用MidasCivil軟件建立了該橋的空間桿系有限元模型，如圖3所示.全橋離散為224個節(jié)點(diǎn)，196個梁單元和24個只受拉桿單元.其中主梁和拱塔采用兩節(jié)點(diǎn)空間梁單元模擬，斜拉索采用只受拉桿單元模擬.有限元模型中，拱塔采用一次成拱施工，為考慮全橋施工過程對斜拉索索力的影響，考慮了鋼混疊合梁主梁施工階段鋼梁頂推施工和混凝土橋面板分段澆筑施工的模擬.

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

2.2 拱塔軸線優(yōu)化

為驗(yàn)證拱塔軸線迭代優(yōu)化方法，對廣汕鐵路跨深汕高速拱塔斜拉橋的拱塔初步設(shè)計(jì)拱塔軸線線型（記為軸線O，如圖3）開展優(yōu)化.分別考慮恒載（不包括基礎(chǔ)變位，記為工況a）、恒載+單線列車豎向靜活載（記為工況b）和恒載+雙線列車豎向靜活載（記為工況c）3種荷載工況下拱塔軸線的最優(yōu)線形.恒載及活載均按照設(shè)計(jì)文件及規(guī)范取值，應(yīng)用拱塔軸線優(yōu)化計(jì)算程序，計(jì)算工況a、b、c下合理拱塔軸線，迭代收斂準(zhǔn)則取得到不同荷載工況下優(yōu)化后拱塔軸線分別記為軸線A，B和C，見圖4，圖中坐標(biāo)系以拱塔軸線豎向?qū)ΨQ軸與梁頂中心線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，縱橋向汕尾側(cè)為X軸正向，橫橋向廣州到汕尾線路方向左側(cè)為Y軸正向，豎直向上為Z軸正向.

圖4 優(yōu)化前后拱塔軸線Fig.4 Axes before and after being optimized

采用拱塔軸線迭代優(yōu)化方法優(yōu)化拱塔斜拉橋拱塔軸線的迭代收斂速度較快，迭代6～8次后，拱塔軸線坐標(biāo)變化極小，基本收斂于定值.迭代計(jì)算軸線C過程中相鄰兩次迭代各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差值如圖5所示.圖中：ΔZea為第a次和第e次迭代后拱塔軸線各節(jié)點(diǎn)Z坐標(biāo)差值.鑒于實(shí)際工程重視結(jié)構(gòu)線形的流暢和美觀，運(yùn)用基于線性最小二乘模型的多項(xiàng)式回歸方法[18]，將拱塔軸線C用高次6次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合得拱塔軸線方程為

圖5 相鄰兩次迭代各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差值Fig.5 Difference of each node in two adjacent iterations

由擬合后拱塔軸線（圖4）可知：其與軸線C吻合較好，跨度不變，矢高比軸線C和軸線O略高，曲線更光滑.

優(yōu)化前后拱塔軸線的跨度和矢高均不發(fā)生改變，實(shí)際設(shè)計(jì)工作中可根據(jù)地形條件、景觀等因素優(yōu)先確定拱塔的跨度和矢高，然后按拱塔軸線迭代優(yōu)化方法優(yōu)化拱塔軸線.

3 優(yōu)化前后拱塔受力與變形分析

3.1 優(yōu)化前后拱塔彎矩對比分析

拱塔斜拉橋在不同荷載工況（工況a、b、c）下斜拉索索力不同，其對拱塔軸線的優(yōu)化結(jié)果也有明顯的影響.為分析不同工況下優(yōu)化前后拱塔彎矩情況，分別建立拱塔軸線優(yōu)化前后的有限元模型，計(jì)算拱塔的彎矩情況.工況a、b、c下拱塔彎矩最不利值及沿拱塔長度的分布如圖6和表1所示，其中以拱塔外側(cè)受拉為正彎矩，內(nèi)側(cè)受拉為負(fù)彎矩.可知，3種工況下，按照拱塔軸線迭代優(yōu)化方法優(yōu)化后，拱塔彎矩最不利值降低89.8%～94.8%，降低顯著，表明優(yōu)化方法的高效性.

表1 不同荷載工況下拱塔彎矩最大值及其變化率Tab.1 Maximum bending moment of arch-shaped pylon and its change rate under different load conditions

圖6 不同荷載工況下拱塔彎矩Fig.6 Bending moment of arch-shaped pylon under different load conditions

為進(jìn)一步對比分析橋梁設(shè)計(jì)荷載組合下拱塔軸線優(yōu)化前后拱塔彎矩變化規(guī)律，根據(jù)優(yōu)化前后5種不同拱塔軸線，分別計(jì)算主力、主力+附加力組合下拱塔彎矩包絡(luò)曲線，如圖7、8所示，最大正負(fù)彎矩結(jié)果如表2.采用優(yōu)化后的拱塔軸線與采用軸線O相比，主力組合下拱塔所受最不利正負(fù)彎矩均大幅降低，降低幅度介于67.2%～92.2%之間；主力+附加力組合工況下拱塔所受正負(fù)彎矩均大幅降低，降低幅度介于64.6%～85.5%之間.采用軸線C時拱塔所受正負(fù)彎矩降低幅度最大，采用其擬合后軸線時，拱塔彎矩略變大，但線形美觀、光滑，便于設(shè)計(jì)表述及施工制作.

表2 荷載組合下拱塔彎矩最大值及其變化率Tab.2 Maximum bending moment of arch-shaped pylon and its change rate under the combination of design loads

圖7 主力組合下拱塔彎矩包絡(luò)圖Fig.7 Bending moment envelope diagram of arch-shaped pylon under the combination of main forces

圖8 主力+附加力組合下拱塔彎矩包絡(luò)圖Fig.8 Bending moment envelope diagram of arch-shaped pylon under the combination of main forces and additional forces

3.2 優(yōu)化前后應(yīng)力對比分析

主力、主力+附加力組合下，根據(jù)優(yōu)化前后5種不同拱塔軸線分別計(jì)算拱塔和主梁各截面的正應(yīng)力情況.其中主梁混凝土橋面板和鋼箱梁的正應(yīng)力基本不變，在此分析拱塔各截面的正應(yīng)力情況.兩種荷載組合下，拱塔各截面正應(yīng)力情況如圖9所示，圖中：σmax、σmin分別為最大和最小正應(yīng)力.正應(yīng)力極值及其變化率如表3所示.采用軸線A、B、C和擬合后軸線與軸線O相比，拱塔各截面最大拉壓應(yīng)力均大幅下降.主力組合下，軸線A下，最大拉應(yīng)力下降91.2%，軸線B、C和擬合后軸線下，拱塔各截面無拉應(yīng)力，即全截面受壓；軸線A、B、C和擬合后軸線下，最大壓應(yīng)力下降52.8%～69.3%；擬合軸線下，拱塔應(yīng)力由?169.5～169.7 MPa 降低至?70.2～?14.3 MPa.主力+附加力組合下，拱塔最大拉應(yīng)力降低89.2%～97.2%，擬合后軸線下，拱塔各截面無拉應(yīng)力，即全截面受壓；軸線A、B、C和擬合后軸線下，最大壓應(yīng)力降低51.0%～67.2%；擬合軸線的拱塔應(yīng)力由?172.6～179.5 MPa 降低至?74.0～?6.2 MPa.

圖9 拱塔各截面正應(yīng)力Fig.9 Normal stress of each section of arch-shaped pylon

表3 荷載組合下拱塔正應(yīng)力極值及其變化率Tab.3 The maximum normal stress of arch-shaped pylon and its change rate under the combination of design loads

3.3 優(yōu)化前后變形對比分析

高速列車對橋梁的剛度要求極高，對比廣汕鐵路跨深汕高速拱塔斜拉橋優(yōu)化前后5種不同拱塔軸線列車活載作用下變形特性，雙線ZK活載下拱塔豎向位移最大值（rmax）、最小值（rmin）沿橫橋向即拱塔跨徑分布如圖10所示，拱塔及主梁位移極值絕對值及其變化量如表4 所示.表中：γ1、γ2分別為拱塔負(fù)撓度（向上的撓度）、正撓度（向下的撓度）.采用軸線A、B、C和擬合后軸線與軸線O相比，γ1減小1.4～2.3 mm，γ2減小 4.4～5.4 mm，擬合軸線拱塔正、負(fù)撓度分別降低51.0%、33.8%，提升了拱塔剛度.表4表明：采用軸線A、B、C和擬合后軸線與軸線O相比，主梁負(fù)撓度增大1.9～2.2 mm，正撓度減小6.2～7.2 mm，主梁總體變形明顯減小，橋梁整體剛度得以提升.

圖10 拱塔豎向位移Fig.10 Vertical displacement of arch-shaped pylon

表4 位移極值絕對值及其變化量Tab.4 Absolute values of extreme displacements and its change

4 結(jié) 論

針對高速鐵路拱塔斜拉橋拱塔軸線優(yōu)化問題，提出基于受力平衡分析、非線性方程組不動點(diǎn)迭代求解和有限元計(jì)算的拱塔軸線迭代優(yōu)化方法，開展廣汕鐵路跨深汕高速拱塔斜拉橋的拱塔軸線優(yōu)化驗(yàn)證與分析，得到以下結(jié)論：

1) 基于拱塔受力平衡分析，提出拱塔軸線迭代優(yōu)化方法，并基于MATLAB編制拱塔軸線優(yōu)化計(jì)算程序，結(jié)合有限元計(jì)算，實(shí)現(xiàn)任意初始拱塔軸線下保持拱塔跨度及矢高不變的拱塔軸線優(yōu)化.

2) 恒載、恒載+單線列車豎向靜活載、恒載+雙線列車豎向靜活載3種荷載工況下，采用拱塔軸線迭代優(yōu)化方法迭代6～8次拱塔軸線節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)均可收斂于定值，收斂速度快.

3) 3種不同的荷載工況下，優(yōu)化后拱塔彎矩最不利值降低89.8%～94.8%，主力、主力+附加力組合下，拱塔彎矩降低幅度分別介于67.2%～92.2%、64.6%～85.5%之間；主力+附加力組合下，拱塔應(yīng)力由?172.6～179.5 MPa 降低至?74.0～?6.2 MPa，優(yōu)化后拱塔受力改善顯著.

4) 優(yōu)化后軸線與軸線O相比，雙線活載下，拱塔負(fù)撓度減小1.4～2.3 mm，正撓度減小4.4～5.4 mm，擬合軸線拱塔正負(fù)撓度分別降低51.0%、33.8%；主梁負(fù)撓度增大1.9～2.2 mm，正撓度減小6.2～7.2 mm，主梁總體變形明顯減小，橋梁整體剛度提高.

5) 應(yīng)用拱塔軸線迭代優(yōu)化方法優(yōu)化拱塔軸線后，拱塔結(jié)構(gòu)受力有效改善，橋梁整體剛度得到提升，優(yōu)化擬合拱塔軸線在實(shí)橋予以采用，驗(yàn)證了該優(yōu)化方法的可行性.