一種改進的病態(tài)測距方程非線性估計的正則化數(shù)值迭代法

張建霞，曲國慶，席 換，王 暉

(山東理工大學 建筑工程學院，山東 淄博 255000)

測距定位方程用來描述已知點和待測點之間的歐氏距離，是大地測量與導航定位中重要的觀測方程[1]。該方程是非線性方程，傳統(tǒng)方法利用非線性最小二乘法，依據(jù)泰勒級數(shù)展開至一階項進行求解，適用于初值精度高和非線性強度弱的情況；對于非線性強度較強的模型，線性近似產(chǎn)生的模型誤差可能大于觀測誤差，給觀測方程帶來系統(tǒng)性的誤差，降低解的精度和可信度[2-3]。對于這類問題，可采用智能優(yōu)化算法或?qū)⑵渚€性化展開至二階項進行求解[4-7]。對于殘差小的非線性方程，一般采用高斯牛頓迭代法進行求解[8]。但是，若測距定位方程存在病態(tài)問題時，初始迭代矩陣具有嚴重的病態(tài)性，基于非線性最小二乘的數(shù)值迭代法會出現(xiàn)強烈的不穩(wěn)定現(xiàn)象，無法收斂[9-10]。因此，根據(jù)測距定位方程的病態(tài)機制，選擇合適的求解病態(tài)非線性方程的方法就顯得尤為重要。

針對短程測距問題，有學者研究了測距定位方程非線性最小二乘解的性質(zhì)，指出非線性最小二乘解是觀測向量末端以觀測權為質(zhì)量的質(zhì)點系的重心，發(fā)展了短程測距定位方程的重心迭代方法和封閉式牛頓方法，能夠一定程度緩解短程測距的病態(tài)問題[11-13]。近年來的研究包括基于數(shù)值最優(yōu)化理論通過附加穩(wěn)定泛函或者避免迭代矩陣取逆運算，優(yōu)化迭代步長來提高短程測距定位的收斂效率、穩(wěn)定性和可靠性[1，14-15]。非線性正則化數(shù)值方法在處理病態(tài)測距定位問題的應用過程中過于硬套，多集中于數(shù)值方法的構建，但在大地測量中，測距定位方程的病態(tài)問題主要是因為已知點和未知點近似共面，如三維測邊網(wǎng)、室內(nèi)定位方程和水下測距定位方程，導致測距定位方程在高程方向即Z方向產(chǎn)生病態(tài)問題[16]。傳統(tǒng)非線性正則化數(shù)值迭代法假設各個方向都存在病態(tài)問題，給各個方向附加正則化約束，這會嚴重加劇問題的復雜性、非線性收斂效率和解的可信度。

因此，針對大地測量觀測構型缺陷產(chǎn)生的病態(tài)問題，提出一種改進的病態(tài)測距方程非線性估計的正則化數(shù)值迭代法。該方法采用分方向處理的思想，將非線性正則化約束只作用于病態(tài)方向，不對態(tài)性良好的水平方向進行約束，這樣既保證水平方向能夠穩(wěn)定收斂到非線性最小二乘解，又能夠有效降低病態(tài)方向?qū)?shù)估計解的影響。本研究通過分析正則化參數(shù)與協(xié)方差的關系，提出采用協(xié)方差跡最小準則來確定正則化參數(shù)。最后采用病態(tài)仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)，驗證了該方法的有效性。

1 病態(tài)測距定位方程的非線性正則化數(shù)值迭代法

假設某觀測系統(tǒng)中，共存在n個已知點，第i個已知點可表示為(xi,yi,zi)，已知點到未知點的觀測距離為L1,L2,…,Ln，所對應的觀測誤差為ε1,ε2,…,εn。要求根據(jù)已知點坐標和觀測距離來確定未知點的幾何位置(x,y,z)，觀測數(shù)據(jù)和已知點坐標n≥4，即可列出超定測距定位方程：

Li=di(x)+εi，

(1)

(2)

其中Δi為線性化殘余誤差。

大地測量與導航定位中，由于觀測幾何結構設計問題導致測距定位方程具有病態(tài)性，比如已知點與待測點近似共面會導致測距定位方程在Z方向產(chǎn)生病態(tài)問題，為將病態(tài)方向與態(tài)性良好的方向分開討論，可將觀測方程表示為：

(3)

忽略線性化余項，可構建線性化平差模型的向量表達式：

L=B1dr+B2dz+ε，

(4)

式中，dr=[dx,dy]T為水平方向坐標信息變化量；dz為高程方向坐標信息變化量；B1為平面方向的方向矢量，即水平方向所對應的設計矩陣；B2為Z方向的方向矢量，即Z方向所對應的設計矩陣。根據(jù)式(4)可得線性化誤差方程：

V(x0)=B1dr+B2dz-l，

(5)

式中，l=L-d(x0)。上述方程的最小二乘解使殘差在平方意義上取極小值min：

(6)

(7)

將式(5)代入式(7)進行化簡，考慮到線性化初值精度，可構建高斯牛頓迭代公式：

(8)

其中k為迭代次數(shù)。

高斯牛頓法收斂條件相對于牛頓法更加嚴格。對于一般非線性最小二乘問題，文獻[17]利用幾何性質(zhì)證明高斯牛頓法的適應條件取決于殘差的大小和非線性強度。當殘差較大或者設計矩陣存在病態(tài)時，此時高斯牛頓法易陷入死循環(huán)或者得到的解并非有效解[15]。為解決測距定位方程的病態(tài)問題，傳統(tǒng)方法是基于標準穩(wěn)定泛函約束的正則化方法，其目標函數(shù)為：

(9)

其中α為正則化參數(shù)，主要用來平衡解的不穩(wěn)定性和平滑性[10]?？紤]到線性化初值，將目標函數(shù)對待估參數(shù)求一階偏導數(shù)令其等于零，結合式(5)進行化簡可得：

(10)

式(10)為傳統(tǒng)非線性正則化迭代法。

由式(10)可知，傳統(tǒng)非線性正則化迭代法假設各個方向具有相同的病態(tài)問題，因此將穩(wěn)定泛函作用于所有方向，這種假設能夠提高解的穩(wěn)定性，但并不切合實際，增加了問題的復雜度且降低了數(shù)值算法的收斂性。大地測量與導航定位中，觀測結構共面導致的病態(tài)問題較常見，先計算設計矩陣的條件數(shù)證明存在病態(tài)，再利用特征分析法求得3個方向?qū)奶卣髦?，一般將“特征值很接近于零”作為判斷方程病態(tài)性的依據(jù)[18-19]來判斷病態(tài)方向。針對共面導致的病態(tài)集中于Z方向的問題，給出一種改進的正則化數(shù)值迭代法，即

(11)

該方法采用分方向處理病態(tài)問題的思想，降低了問題的復雜度，能保證水平方向上仍然為最小二乘解，在降低病態(tài)性對解的影響的同時提高收斂效率。

2 正則化參數(shù)的確定

精確確定正則化參數(shù)是保證病態(tài)測距定位方程的非線性正則化迭代法解算效果的關鍵，過大或過小都會影響參數(shù)估計解，過大會導致解算模型過度平滑，過小對問題解算未起到明顯改善效果，解的不穩(wěn)定性依然存在。本研究提出一種基于最小協(xié)方差跡來確定正則化參數(shù)的方法。設

(12)

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播定律，結合式(12)可計算觀測方程的協(xié)因數(shù)陣為：

(13)

根據(jù)分塊矩陣求逆運算，可得到參數(shù)估計解垂直方向和水平方向的協(xié)因數(shù)陣

(14)

若不附加正則化約束，水平方向和垂直方向的協(xié)因數(shù)陣為：

(15)

由式(15)可知，測距定位方程Z方向的病態(tài)性也會影響水平方向即X和Y方向的求解精度，使X和Y方向也產(chǎn)生病態(tài)性的“虛假”問題。如果將正則化約束直接作用于所有的方向，雖能夠改善問題的病態(tài)性，但加劇了問題的復雜性，降低了非線性迭代收斂效率。將式(15)減去式(14)可得：

(16)

由式(16)可知，在一定取值范圍內(nèi)，參數(shù)估計解的協(xié)因數(shù)陣與正則化參數(shù)呈遞降關系。通過將正則化參數(shù)作用于Z方向能夠降低Z方向病態(tài)給水平方向即X和Y方向產(chǎn)生的影響。取水平方向和垂直方向的互協(xié)因數(shù)陣為Qdrdz，則可計算參數(shù)估計解的協(xié)方差估計值

(17)

(18)

綜上分析，參數(shù)估計解在水平方向和垂直方向的方差是α的遞降函數(shù)，這表明在適當條件下，方差會隨正則化參數(shù)的增加而降低，但由于系統(tǒng)殘差以及偏差等問題，方差會逐漸趨于穩(wěn)定值。由于協(xié)方差跡能夠整體反映該方法的求解精度，可設計如式(19)最優(yōu)化函數(shù)來計算正則化參數(shù)：

(19)

式(19)為協(xié)方差跡最小準則函數(shù)，類似于采用L曲線法來確定正則化參數(shù)，其搜索結果如圖1所示，協(xié)方差隨著正則化參數(shù)的增加而降低，最后趨于穩(wěn)定，形狀類似于L形。

圖1 基于協(xié)方差跡最小準則確定正則化參數(shù)搜索結果

3 算例

3.1 算例1：短程測距定位模擬實驗

由表1數(shù)據(jù)構造的短程測距定位方程是非線性方程，且已知點和待定點呈近似共面分布，計算設計矩陣的條件數(shù)為115.052 0，存在中等程度的病態(tài)，再計算設計矩陣3個方向上的特征值分別為6.719 4、1.222 2、0.058 4，Z方向上的特征值最接近于0，可判斷該方程的病態(tài)性主要集中于Z方向，X方向和Y方向態(tài)性良好。對于這類病態(tài)問題，分別采用非線性最小二乘法、高斯牛頓法、傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法進行計算并對比收斂結果和迭代次數(shù)，結果如表2所示。

表1 短程測距定位已知點的三維坐標和已知觀測距離

由表2給出的4種方法的數(shù)值收斂解對比可知，非線性最小二乘法雖然簡單易實現(xiàn)，但由于受到病態(tài)的影響，解的精度較差，結果不可靠，尤其是Z方向上的解與真值的偏差最大，進一步證明了該方程的病態(tài)性集中于Z方向；高斯牛頓法在處理病態(tài)問題時，受到強烈擾動而使解不穩(wěn)定，無法收斂到數(shù)值解，因此不適用于病態(tài)方程組的解算；傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法基于穩(wěn)定泛函約束的思想，降低了病態(tài)問題對方程組解的影響，提高了非線性最小二乘解的精度；而本研究方法既保證水平方向能夠穩(wěn)定收斂到傳統(tǒng)意義上的非線性最小二乘解，又能夠有效降低病態(tài)方向?qū)獾挠绊?，通過迭代次數(shù)比較，說明本研究方法能夠較快地得到數(shù)值收斂解，提高了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，在處理大地測量中已知點和待定點近似共面導致的病態(tài)問題時具有良好的性能。

表2 不同方法的解算結果(算例1)

圖2給出了本研究方法和傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的點位迭代序列，橫軸代表迭代次數(shù)，縱軸分別代表X、Y、Z3個方向上的數(shù)值收斂解。由圖2可知，該方法沒有影響解的穩(wěn)定性，且能更快地收斂到估計解，具有良好的性能。對于水下GPS定位、室內(nèi)導航定位等短距離測距定位方程，也存在已知點和未知點近似共面的情況，本研究方法仍然適用。

圖2 2種方法的點位迭代序列圖(算例1)

3.2 算例2：蜂窩網(wǎng)定位模擬實驗

表3 蜂窩網(wǎng)已知點的三維坐標和已知觀測距離

在蜂窩網(wǎng)的三維定位中，控制點和未知點一般都近似分布于地表，即控制點和未知點近似共面，測距定位方程的設計矩陣存在病態(tài)問題。計算設計矩陣的條件數(shù)為1.563 0×106，方程存在嚴重病態(tài)，再計算設計矩陣3個方向上的特征值分別為10.449 5、1.518 7、0.031 8，Z方向上的特征值最接近于0，可判斷該方程的病態(tài)性主要集中于Z方向，X和Y方向的病態(tài)性較弱。同算例1，分別采用4種方法進行計算，結果如表4所示。

表4 不同方法的解算結果(算例2)

由表4可知，從數(shù)值收斂解來看，非線性最小二乘法得到的收斂解誤差較大，尤其是Z方向的解偏離真實值最大，解算結果不可信，證明Z方向確實受病態(tài)影響最大，病態(tài)主要集中在Z方向；高斯牛頓法不適用于處理病態(tài)方程，易受到初值的約束和病態(tài)的影響，使解無法收斂；傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法雖然得到收斂解的數(shù)值相同，但該方法在水平方向得到的還是傳統(tǒng)意義上的非線性最小二乘解，但因為Z方向受到正則化約束的作用，使得Z方向上解的病態(tài)性減弱，誤差減小，同時因為方程整體病態(tài)的減弱也影響了其余2個方向的解，與模擬真值更相近，提高了非線性最小二乘法的精度。從迭代次數(shù)對比來看，該方法提高了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，具有良好的性能。

圖3給出了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法的點位迭代序列圖，從圖中可以看出，該方法在提高收斂效率的同時穩(wěn)定性并沒下降，能更早更快的趨于收斂。結合表4可以得出結論：該方法在處理病態(tài)測距定位方程時表現(xiàn)出良好的性能。

圖3 2種方法的點位迭代序列圖(算例2)

3.3 算例3：水下定位實測數(shù)據(jù)實驗

表5 不同方法的解算結果(算例3)

由表5可知，非線性最小二乘法得到的收斂解誤差較大，解算結果不可信，尤其是Z方向上的解與真值的偏差最大，證明Z方向上的病態(tài)性最強；高斯牛頓法這類普通的數(shù)值迭代法易受到初值的約束和方程病態(tài)性的影響，解無法收斂，不適用于處理病態(tài)問題。與傳統(tǒng)非線性正則化迭代法相比，本研究方法性能更優(yōu)。因此，對于水下定位存在的已知點和未知點近似共面的情況，該方法也能表現(xiàn)出良好的性能，適用于實際問題。

圖4給出了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法和本研究方法的點位迭代序列。從圖中可以明顯地看出，該研究方法開始收斂的早，穩(wěn)定性較好，沒有較大的擾動，并且大大提高了傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，表明本方法在水下定位的實際應用中能夠發(fā)揮良好的性能。

圖4 2種方法的點位迭代序列圖(算例3)

4 結束語

在大地測量中，非線性正則化數(shù)值迭代法被廣泛地應用于病態(tài)測距定位方程的解算中。然而，在測距定位中，常出現(xiàn)已知點和未知點近似共面的情況，此時方程線性化后的設計矩陣具有病態(tài)性，通過條件數(shù)法和特征分析法可以判斷病態(tài)主要集中于Z方向。本研究提出一種改進的非線性正則化數(shù)值迭代法，將正則化約束僅作用于病態(tài)方向，來提高非線性收斂效率，增強解的穩(wěn)定性。實驗結果表明，本研究方法能夠降低病態(tài)性對解的影響，提高傳統(tǒng)非線性正則化迭代法的收斂效率，具有更好的局部收斂性質(zhì)。