基于模糊關(guān)系與模糊推理的教師年終考核

孫梅霞，王吉華，郭棟，曲金玉

(1. 山東理工大學(xué) 學(xué)報(自然科學(xué)版)編輯部, 山東 淄博 255049；2. 山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

教師考核是學(xué)校一項重要工作，涉及因素較多，且評價指標(biāo)和評價結(jié)果均具有模糊性，為使考核科學(xué)合理，近年來學(xué)者采用模糊綜合評價方法，獲得了很多應(yīng)用成果。一級模糊綜合評價是確定評價因素權(quán)重模糊子集和單因素模糊判斷矩陣，并將兩者合成，得到評價結(jié)果模糊集；而多級模糊綜合評價分不同層次，從低層次到高層次按一級評價的方法依次進(jìn)行綜合評價[1-3]。為適應(yīng)復(fù)雜多因素的考核，學(xué)者先利用層次分析法得到多因素權(quán)重模糊集,然后利用模糊綜合評價方法進(jìn)行評價[4-8]。另外，在多因素綜合評價中，林偉[9]利用遺傳算法得到多因素權(quán)重，尤游等[10]利用計算信息熵權(quán)重的熵權(quán)法計算多因素權(quán)重。綜上所述，在各種綜合評價中可使用多種方法得到相應(yīng)層的因素權(quán)重模糊集，再進(jìn)行專家或者評價者打分或評等級方法得到模糊判斷矩陣，然后兩者合成進(jìn)行綜合評價。但在計算因素權(quán)重模糊集和模糊判斷矩陣時，若都利用專家組或評價組進(jìn)行，特別是多級評價時各級均需重復(fù)同樣步驟，將很大程度增加工作量和延長評價時間；并且文獻(xiàn)評價的方法均是從綜合評價過程和步驟進(jìn)行闡述，并沒有詳細(xì)分析其原理。因此，本文首先從模糊關(guān)系及其合成角度分析模糊綜合評價原理，然后基于模糊推理進(jìn)行討論，最后通過某高校年終考核實例，提出計算模糊判斷矩陣的簡便且實用的方法。

1 模糊關(guān)系及其合成

1.1 模糊關(guān)系定義

定義1 論域U和V的笛卡爾乘積U×V上的模糊子集R稱為U到V的模糊關(guān)系，記為R(u,v)：

(1)

由模糊集合定義可知，模糊子集R表示了U×V的每個元素對(u,v)到區(qū)間[0,1]的一個確定數(shù)值的映射關(guān)系，這個數(shù)值就是u和v的關(guān)系程度。

若U和V均為有限集，則R可表示成矩陣形式。設(shè)U={u1,u2，…，un}和V={v1,v2，…，vm}，則R=(rij)n×m，rij∈[0,1]，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。為方便說明，將U和V的元素u和v分別標(biāo)在矩陣旁邊對應(yīng)的行和列處，即為

(2)

從式(2)可以看出，R的每一行元素分別表示論域U中某個ui對論域V中各個vj的關(guān)系程度，為模糊向量，稱為模糊關(guān)系R在ui處的截影，記為R|ui。根據(jù)模糊集合定義，每一行截影R|ui均為論域V上的一個模糊集合，則模糊關(guān)系R又可定義為論域U到V上模糊冪集F(V)的映射f的象集合，即

(3)

式中：u∈U；f(u)∈F((V)，則R=f(U)。

在模糊綜合評價中，論域U為因素集，論域V為評價集，每一行截影R|ui為單因素ui在評價集V上的模糊集，通過求出各個因素對V中各評價等級的隸屬度即可得到模糊判斷矩陣。

1.2 模糊關(guān)系合成

定義2 設(shè)論域U、V和W上的模糊冪集分別為F(U)、F((V)和F((W)，模糊關(guān)系R∈F((U×V)、S∈F((V×W)、T∈F((U×W)，則稱T為模糊關(guān)系R和S的合成，記為T=R°S，T仍為一模糊關(guān)系，根據(jù)模糊關(guān)系定義，T為模糊集合，則其隸屬度函數(shù)μT(u,w)為

(4)

式中∨、∧分別表示取大和取小運算。

定義3對于論域U到V的模糊關(guān)系R(u,v)，U中的元素u稱為關(guān)系R的主，U稱為關(guān)系R的主集；V中的元素v稱為關(guān)系R對應(yīng)于u的從，V稱為關(guān)系R的從集。u為關(guān)系R的發(fā)起者，v為關(guān)系R對應(yīng)于u的接受者。

據(jù)定義3，關(guān)系R、S和T分別是其主ui∈U、vj∈V和ui∈U到其從vj∈V、wk∈W和wk∈W的模糊隸屬度構(gòu)成的集合，i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;k=1,2,…,l。

T=R°S=

(5)

在模糊關(guān)系合成過程中，關(guān)系合成路徑如圖1所示，由式(4)可知，主從對的隸屬度μT(ui,wk)是通過關(guān)系R的主ui對R的所有各從v1～vm的關(guān)系隸屬度與關(guān)系S的對應(yīng)各主v1～vm對S從wk的關(guān)系隸屬度一一作比較后分別取小，然后再在m個取小值中取最大值而得到。 圖1中粗線是主從對(u1,w1)關(guān)系合成路徑從而得到其隸屬度μT(u1,w1)。

圖1 模糊關(guān)系合成路徑

V既是關(guān)系R的從集又是關(guān)系S的主集，是關(guān)系合成的中間通道和橋梁，對關(guān)系的合成起承接作用，模糊關(guān)系合成就是通過中間通道V在ui和wk之間先串聯(lián)后并聯(lián)的結(jié)果。串聯(lián)通道ui→vj→wk的容量由ui→vj和vj→wk二者關(guān)系隸屬度的最小值確定而取小。ui→wk的串聯(lián)通道數(shù)由V決定，共有m個，m個ui→vj→wk(j=1,2,…,m)串聯(lián)通道作并聯(lián)，主從對(ui,wk)的關(guān)系隸屬度μT(ui,wk)由m個關(guān)系隸屬度最大值確定而取大。所以式(4)也可為

(6)

在模糊關(guān)系合成應(yīng)用于模糊綜合評價時，U為某評價，V為評價因素集，W為評價集；R∈F((U×V)為該評價到各因素權(quán)重模糊集，是模糊關(guān)系；S∈F((V×W)為因素集到評價集模糊關(guān)系，是模糊集；T=R°S∈F((U×W)，是該評價項目到評價集的模糊關(guān)系，得到評價等級結(jié)果，仍為模糊集。

2 模糊推理

數(shù)理邏輯用數(shù)學(xué)形式符號的方法研究推理前提和結(jié)論之間的關(guān)系?？膳袛嗾婕俚年愂鼍錇槊}，推理是由已知命題(前提)得到新命題(結(jié)論)的思維過程。在各種實際評價中，常使用的是肯定前提的假言推理規(guī)則，形式如下：

(7)

在二值邏輯中，式(7)中變量x和y的真域為普通集合，其取值A(chǔ)和B均為確定值。在自然語言中，語言變量x和y的真域均為模糊集合，而且前提1和結(jié)論中的A和B與前提2中的A和B是不同的模糊集合，分別記為A′和B′，則式(7)轉(zhuǎn)換為：

(8)

在式(8)中的命題邏輯推理中，前提2為模糊蘊含，是模糊關(guān)系，記為R，則R=A→B。根據(jù)模糊關(guān)系、模糊向量和模糊截影的定義及其關(guān)系可知，模糊集合即為其代表的語言變量的取值到其論域上的模糊關(guān)系，則式(8)的A、B、A′和B′均可視為模糊關(guān)系，其推理過程為模糊關(guān)系合成，即

B′=A′○R=A′○(A→B)。

(9)

經(jīng)過式(9)的合成，結(jié)論中關(guān)系B′的主和從分別是關(guān)系A(chǔ)′和模糊蘊含關(guān)系R的主和從，最后得到的結(jié)果B′仍為模糊集合。

在模糊綜合評價中，前提1中A′表示某種評價到各評價因素的權(quán)重模糊集。前提2是模糊蘊含的模糊關(guān)系R=A→B，整體關(guān)系同于一般的模糊推理。結(jié)論是某評價的評價等級結(jié)果為B′。但與一般的模糊推理有兩點區(qū)別：

1)模糊蘊含關(guān)系區(qū)別。一般模糊推理中，模糊蘊含關(guān)系是對整體而言的，在一個推理系統(tǒng)中是固定不變的；但模糊綜合評價中整體關(guān)系傳遞是相同的，但在某一次評價中前半部A是已知固定的，而后半部分B是變化的，因此模糊蘊含關(guān)系退化為局部的B，即從A的主到B的從的關(guān)系退化為從B的主到B的從的關(guān)系。

2)推理的輸入?yún)^(qū)別。一般模糊推理的輸入是前提1的A′，是變化的；而模糊綜合評價的前提1在某一次評價中是A，已知且固定，其輸入是前提2的模糊蘊含關(guān)系后半部分B，且對于不同評價對象，例如不同教師，是變化的。

3 教師年終考核實例

本文將模糊關(guān)系、模糊合成和模糊推理應(yīng)用于教師年終考核。某高校人事部門制定了教師年度考核指標(biāo)，由各學(xué)院對本學(xué)院教師實施考核。各學(xué)院依據(jù)學(xué)?？己酥笜?biāo)和辦法制定具體得分標(biāo)準(zhǔn)和辦法，作為年終等級考核依據(jù)。由于各項指標(biāo)和得分標(biāo)準(zhǔn)人為制定，評價結(jié)果是模糊概念，各種指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)也不一致，考核采用模糊集合評價方法比較合適。

以5位教師x1～x5考核為例，依次為教授、副教授、副教授、講師和助教，評價指標(biāo)確定為教學(xué)、科研、指導(dǎo)學(xué)生大賽和參與學(xué)科建設(shè)情況，其各項評價指標(biāo)實際得分和年度應(yīng)完成目標(biāo)任務(wù)分值見表1。

表1 教師任務(wù)完成分值

由于職稱不同，其目標(biāo)任務(wù)分值不同，為了消除職稱對考核等級的影響，取各項指標(biāo)年度實際得分與目標(biāo)任務(wù)分值的比值進(jìn)行考察，同時規(guī)定比值大于1的按1計算，結(jié)果見表2。

表2 教師任務(wù)完成的相對比值

式(9)中A′是根據(jù)學(xué)院的人員組成和發(fā)展情況綜合考慮而確定的各指標(biāo)權(quán)重模糊集，即A′=[0.5，0.3 ，0.1， 0.1]。

評價等級分為優(yōu)秀、良好、合格和不合格，5位教師的模糊蘊含關(guān)系A(chǔ)′由表2中的任務(wù)完成相對比值根據(jù)評價等級的隸屬度函數(shù)確定，隸屬度值稱為相對隸屬度，隸屬度函數(shù)如圖2所示。

圖2 評價等級的隸屬度函數(shù)

4 結(jié)束語

本文從模糊關(guān)系、模糊關(guān)系合成和模糊推理角度分析模糊綜合評價原理和思路，定義模糊關(guān)系的主和從，有利于問題討論；分析一般模糊推理和模糊綜合評判推理關(guān)于模糊蘊含關(guān)系和輸入的區(qū)別；最后對不同職稱的教師進(jìn)行實例評價。模糊綜合評價情況復(fù)雜，從不同角度分析其原理，有利于考慮各種情況并靈活應(yīng)用，這是本文今后的工作。