一種變步長VLMP算法及其在發(fā)動機降噪中的應用

崔婷玉，張 俊，黃薛龍

(1.蕪湖職業(yè)技術學院，安徽 蕪湖 241003；2.安徽華東光電技術研究所，安徽 蕪湖 241002；3.蕪湖市大數(shù)據(jù)與人工智能工程技術研究中心，安徽 蕪湖 241000)

0 引言

汽車噪聲的來源包括發(fā)動機噪聲、傳動系噪聲、車身噪聲、輪胎噪聲、空氣噪聲等。發(fā)動機是汽車上的最主要噪聲源之一,其輻射的噪聲具有多分量、非平穩(wěn)、非高斯、非周期、非線性的特點[1]。CHAPLIN[2]將LMS濾波器應用在發(fā)動機排氣脈沖噪聲控制中，實現(xiàn)了18分貝的降噪效果。張立等[3]利用去相關NLMS自適應Volterra濾波器預測發(fā)動機運轉噪聲，可有效減小發(fā)動機運轉噪聲的干擾。甘慧萍等[4]提出一種基于Volterra級數(shù)的機械振動信號濾波方法，與線性自適應濾波算法相比，可有效地濾除機械振動信號所含的高斯噪聲和脈沖干擾。張家樹等[5]提出一種基于sigmoid函數(shù)的Volterra自適應有源噪聲對消器，對于噪聲及碼間串擾和非線性畸變具有良好的抗噪聲性能，但很大程度上增加了計算量。傳統(tǒng)的線性wiener濾波器對高斯噪聲的濾波有一定的效果，但對脈沖干擾不能進行有效的濾除[6]。非線性Volterra濾波器具有線性和非線性雙重特性，所以使用Volterra濾波器能夠表達大多數(shù)的非線性系統(tǒng)和全部線性系統(tǒng)，對信號中的脈沖噪聲的濾波效果較好，但對高斯噪聲往往不能進行有效的濾除。發(fā)動機振動信號既包括高斯噪聲又含有脈沖噪聲，無論是線性wiener濾波器還是非線性Volterra濾波器都不能對發(fā)動機噪聲進行有效的濾除。

本文提出一種基于VLMP算法改進的變步長VLMP算法，首先，根據(jù)sigmoid函數(shù)[7]更新步長因子，再對一階和二階權系數(shù)采取分階迭代更新；然后利用本文算法對Volterra濾波器的核進行辨識，在辨識最優(yōu)核的同時對發(fā)動機噪聲進行降噪處理，將濾波的結果和線性濾波、VLMS濾波以及VLMP濾波方法的發(fā)動機噪聲降噪結果進行比較分析，仿真結果表明，本文算法對發(fā)動機噪聲中的高斯噪聲和脈沖噪聲成分具有較好的降噪能力。

1 變步長自適應Volterra濾波算法

1.1 變步長VLMP算法

二階Volterra濾波器的輸入信號為

(1)

濾波器權矢量為

(2)

d(n)為期望信號，濾波器輸出為

y(n)=WT(n)X(n).

(3)

誤差信號為

e(n)=d(n)-y(n).

(4)

WENG[8]提出的非線性Volterra-LMP算法(VLMP)的權值更新公式為

(5)

(6)

其中，wi(n)是Volterra濾波器線性部分權值，wi,j(n)為Volterra濾波器二次項部分權值，μ1=μ2為固定步長因子。

Volterra濾波器非線性項將穩(wěn)定分布的尖峰脈沖特性放大，導致輸入信號的自相關矩陣特征值擴展變大，從而使輸入信號相關性很強。一般情況，線性項部分和非線性部分收斂因子與各自的自相關矩陣有關，合理地選取收斂因子能很好地克服這個問題。固定的步長因子μ1,μ2取值較大時，每次迭代的權值(Volterra核值)的調整較大，迭代過程中波動也較大，但是達到穩(wěn)態(tài)階段的時間較短；固定步長因子取值較小時，權值的調整較小，迭代過程中波動也較小，但是達到穩(wěn)態(tài)階段的時間較長。為克服以上兩個問題，本文采用基于sigmoid函數(shù)[7]的變步長VLMP算法，其變步長公式如下：

(7)

其中，μ1(n),μ2(n)為基于sigmoid函數(shù)[7]的線性項和二次項部分變步長因子。

1.2 變步長VLMP算法參數(shù)的選取

(8)

用w*表示真實的非線性系統(tǒng)權向量的值，定義均權值誤差向量ε(n)=E{w(n)-w*}，根據(jù)文獻[8]得到隨機的差分方程：

ε(n+1)=[I-μD(p,α,γ)Rxx]ε(n)+μD(p,α,γ)(ξ-Rxxw*),

(9)

其中,ξ=E{x(n)d(n)},Rxx=E{x(n)x(n)T}，差分方程解收斂當且僅當矩陣I-μD(p,α,γ)Rxx的所有特征值小于1[8]。本文算法使用變步長函數(shù)μ(n)代替VLMP算法的固定步長μ，可得變步長VLMP算法各參數(shù)收斂范圍為

可推出

得到

其中,λ1max和λ2max分別是x(n-i)和x(n-i)x(n-j)自相關矩陣的最大特征值。

可假設1

在噪聲信號為高斯噪聲背景情況下，設p=2，α=2，所以D(p,α,γ)=1，可得變步長VLMP算法p參數(shù)收斂范圍為1

可推出

其中，λ1max和λ2max分別是x(n-i)和x(n-i)x(n-j)自相關矩陣的最大特征值。這是本文提出的變步長VLMP算法在不同背景環(huán)境下的參數(shù)選取。

2 算法仿真與性能分析

以FIR系統(tǒng)辨識模型為例(圖1)，對本文算法進行仿真和性能分析[10-11]。

圖1 系統(tǒng)辨識原理框圖

非線性系統(tǒng)采用二階Volterra濾波系統(tǒng)，二階非線性系統(tǒng)輸入和輸出關系為

(10)

這個系統(tǒng)中線性核和二階核分別為

ψ1=(-0.76,-1,1)T.

(11)

(12)

2.1 高斯噪聲背景

將算法用于高斯噪聲環(huán)境下非線性系統(tǒng)辨識，如圖1所示。本實驗中，非線性系統(tǒng)是一個記憶長度的二階Volterra非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的期望信號為

(13)

輸入信號為

x(n)=x(n-1)+v2(n).

(14)

為檢驗高斯噪聲背景下本文算法性能，將本文算法與VLMP算法和DOVLMP算法[12]進行比較。其中，v1(n)是均值為0、方差為1的高斯噪聲。v2(n)是均值為0、方差為1的高斯白噪聲，且與v1(n)獨立。設定輸入的信噪比(SNR)為15 dB。經多次實驗，VLMP算法中最佳值為μ=0.02，p=1.1。DOVLMP算法中，μ1=0.05，μ2=0.008，p=1.1。本文算法中，α=0.005，β=8，p=1.1，所有仿真曲線都是通過100次獨立仿真結果取平均得到，三種算法曲線圖如圖2所示。

圖2 算法的學習曲線

由圖2可見，高斯噪聲背景環(huán)境下，VLMP算法學習曲線可以收斂到-7 dB，DOVLMP算法誤差學習曲線可以收斂到-8 dB，本文算法誤差學習曲線可以收斂到-11 dB；本文算法比VLMP算法穩(wěn)態(tài)誤差值要小4 dB左右，同時比DOVLMP算法穩(wěn)態(tài)誤差值要小3 dB左右。所以VLMP和DOVLMP算法擁有較高的穩(wěn)態(tài)失調量，本文算法的穩(wěn)態(tài)失調量較低。在收斂速度上，本文算法比DOVLMP算法快，但與VLMP算法收斂速度相當。

在仿真實驗中，三種算法系統(tǒng)核辨識結果如表1所示，VLMP算法的ωV為選取的一組VLMP算法權系數(shù)與真實值較接近一組值(迭代1 205次時的權系數(shù))。DOVLMP算法的ωD為選取的DOVLMP算法權系數(shù)值，本文算法的為ωc選取的本文算法權系數(shù)值，為增加算法的對比性，DOVLMP算法和本文算法的權系數(shù)也選取迭代1 205次時的值，表1是三種算法在同一時刻核辨識結果。

表1 三種算法核辨識結果

表1中，VLMP算法核辨識結果與真實值的誤差范圍為0.025 4

2.2 α穩(wěn)定分布噪聲背景

將算法應用在α穩(wěn)定分布噪聲背景下的非線性系統(tǒng)辨識，非線性系統(tǒng)是一個記憶長度N=3的二階Volterra非線性系統(tǒng)，二階非線性系統(tǒng)的期望信號為

(15)

(16)

在實驗仿真1中，為檢驗高斯噪聲背景下本文算法性能，下面將本文算法與VLMP算法、DOVLMP算法進行比較。VLMP算法參數(shù)的值均取其達到最優(yōu)性能時的參數(shù)值，其中，p=1.2。圖3(a)(b)是在特征指數(shù)α=1.9時，VLMP算法、DOVLMP算法和本文算法的權系數(shù)誤差范數(shù)曲線，是三種算法的MATLAB仿真結果。圖3(a)中，VLMP算法權系數(shù)誤差最小時，另外兩種算法也取相同的權系數(shù)誤差。其中，VLMP算法參數(shù)最優(yōu)取值為μ=0.002，p=1.2；DOVLMP算法參數(shù)最優(yōu)取值為μ1=0.002，μ2=0.003,p=1.2；本文算法的參數(shù)取值為，α=0.01，β=2，p=1.2,圖3(b)中，VLMP算法權系數(shù)收斂速度最快時，另外兩種算法也取相同的收斂速度。其中，VLMP算法參數(shù)最優(yōu)取值為μ=0.006，p=1.2；DOVLMP算法參數(shù)最優(yōu)取值為μ1=0.006，μ2=0.008,p=1.2；本文算法的參數(shù)取值為α=0.01，β=2，p=1.2。

(a)穩(wěn)態(tài)誤差相同時收斂速度曲線 (b)收斂速度相同時穩(wěn)態(tài)誤差曲線圖3 α為1.9時穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度比較

由圖3(a)可見，當三種算法權系數(shù)誤差值相同時，本文算法在迭代次數(shù)1 000次左右到達穩(wěn)態(tài)進程，DOVLMP算法在迭代次數(shù)1 700次左右到達穩(wěn)態(tài)進程，VLMP算法在迭代次數(shù)2 000次左右到達穩(wěn)態(tài)進程，相同的穩(wěn)態(tài)失調量情況下，本文算法的收斂速率更快。

由圖3(b)可見，三種算法曲線收斂速率相同時，本文算法的穩(wěn)態(tài)誤差值可達到-30 dB左右，DOVLMP算法和VLMP算法穩(wěn)態(tài)誤差值均達到-20 dB左右，相同的收斂速率下，本文比DOVLMP算法和VLMP算法的穩(wěn)態(tài)誤差值小10 dB左右，所以本文算法穩(wěn)態(tài)失調量最小。

在實驗仿真2中，脈沖噪聲背景下通過VLMP算法和本文算法對非線性系統(tǒng)進行辨識。在特征指數(shù)α=1.25時，信噪比為10 dB的α穩(wěn)定分布噪聲背景，輸入信號為高斯白噪聲信號，輸入信號和脈沖噪聲信號如圖4(a)所示。VLMP算法p的取值為p=1.2，步長因子最優(yōu)為μ=0.01，本文算法取值為p=1.2，α=100，β=0.05，兩種算法的核誤差曲線圖如圖4(b)所示。

由圖4(b)可以看出，本文算法線性核誤差h1在迭代180次左右達到收斂，非線性核誤差h2在迭代250次左右達到收斂，VLMP算法線性核誤差h1在迭代330次左右達到收斂，非線性核誤差h2在迭代410次左右達到收斂，本文算法線性核和非線性核的學習曲線收斂速度均比VLMP算法快。兩種算法的線性核誤差值均小于二階項核誤差值。究其原因，是由于二階項相關矩陣的特征值擴展要大于線性項。

(a)輸入信號和脈沖噪聲(α為1.25，信噪比為10 dB) (b)算法的學習曲線圖4 脈沖噪聲背景下算法學習曲線比較

3 發(fā)動機振動噪聲消噪仿真分析

為檢驗本文算法對發(fā)動機噪聲的降噪效果，仿真實驗采用原始發(fā)動機噪聲,見圖5(e)，分別對基于LMS算法的wiener濾波器、Volterra濾波器和基于LMP算法的Volterra濾波器以及基于本文算法的Volterra濾波器的降噪效果進行實驗驗證，經多次實驗，LMS算法步長因子取最優(yōu)值μ=0.1；VLMS算法線性項和二階項步長因子均取最優(yōu)值μ=2，參數(shù)p=1.2；VLMP算法線性項和二階項步長因子均取最優(yōu)值μ=0.2，參考文獻[8]參數(shù)p=1.2；本文算法線性項和二階項步長因子均取變步長，其中，參數(shù)α=100，β=1，為保證其他條件相同，參數(shù)p=1.2?；贚MS算法、VLMS算法、VLMP算法、本文算法對發(fā)動機噪聲進行自適應濾波降噪效果如圖5所示，表2是四種算法構成的濾波器對車內發(fā)動機噪聲濾波后的降噪效果指標計算結果。

(a)基于LMS濾波殘余噪聲(b)基于VLMS濾波殘余噪聲 (c)基于VLMP濾波殘余噪聲

(d)基于本文算法濾波殘余噪聲 (e)發(fā)動機振動噪聲圖5 發(fā)動機噪聲濾波降噪效果比較

表2 降噪的效果指標計算結果

圖5(a)至(e)中，橫坐標表示迭代次數(shù)，縱坐標表示幅度。由圖5和表2可以看出，Volterra濾波器的殘余誤差的收斂速度明顯比wiener濾波器快，發(fā)動機噪聲經過本文算法濾波后的均方根誤差值最小，可得Volterra濾波器的降噪效果明顯好于wiener濾波器，本文算法的降噪效果優(yōu)于VLMS濾波器和VLMP濾波器,本文算法適用于發(fā)動機噪聲的降噪。

4 結語

本文針對發(fā)動機噪聲的降噪問題，提出了一種在高斯噪聲環(huán)境以及脈沖干擾環(huán)境下變步長VLMP算法，該算法利用sigmoid函數(shù)更新步長因子，然后對一階和二階權系數(shù)迭代更新。仿真實驗表明，本文算法構成的Volterra濾波器較其他常用的濾波算法具有更好的濾波效果，能同時對發(fā)動機噪聲中的高斯噪聲和脈沖干擾進行降噪。下一步研究需要在計算復雜度方面進行改進，減小計算量。