沉箱基礎(chǔ)對搖板式波浪能裝置水動力性能影響研究

汪俊有，李愛軍，劉 勇

(中國海洋大學(xué) 山東省海洋工程重點實驗室，山東 青島 266100)

近年來，海洋波浪能的開發(fā)與應(yīng)用已經(jīng)成為很多沿海國家的重要課題。目前已有大量形式的波浪能發(fā)電裝置被開發(fā)出來。其中，底部鉸接浮力擺式波浪能裝置因具有頻率響應(yīng)范圍寬、可靠性好、常規(guī)海況下轉(zhuǎn)換效率高、建造成本低等優(yōu)點而引起廣泛關(guān)注。

Evans[1-2]采用理論解析方法分析了各種振蕩式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的能量俘獲效率。Evans和Porter[3]分析了無基礎(chǔ)底座的搖板式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的水動力性能，考慮了懸掛式搖板和底鉸式搖板兩種裝置。但是隨后對于搖板式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的研究較少，直至2000年以后，搖板式波浪能裝置技術(shù)才不斷得到重視。Caska和Finnigan[4]研究了底鉸圓柱型浮力擺式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的能量俘獲效率。Flocard和Finnigan[5]采用物理模型試驗方法進(jìn)一步研究了圓柱型底鉸搖擺式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的水動力性能，驗證了Caska和Finnigan[4]的理論解。趙海濤等[6]通過建立頻域解析解研究了鉸接于海床的搖板式波浪能裝置的能量俘獲效率。后來，趙海濤等[7]又從時域角度出發(fā)，進(jìn)一步研究了搖板式波浪能裝置的水動力性能。Renzi和Dias[8]基于勢流理論建立了波浪與帶有垂直薄板基礎(chǔ)的浮力擺式波浪能裝置相互作用的半解析解，分析了不同參數(shù)對裝置能量俘獲效率的影響。Gomes等[9]通過數(shù)值模擬方法研究了規(guī)則波與不規(guī)則波作用下三維底鉸矩形薄板式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的能量俘獲效率。Noad和Porter[10]采用多項Galerkin方法建立了波浪與帶有垂直薄板基礎(chǔ)的三維搖板波浪能轉(zhuǎn)換裝置相互作用的解析解，并分析了裝置的水動力特性。

工程應(yīng)用中，可以考慮將搖板式波浪能裝置鉸接在沉箱基礎(chǔ)上，便于工程施工，并有可能提高裝置的能量俘獲效率。帶有沉箱基礎(chǔ)的搖板式波浪能裝置已經(jīng)被應(yīng)用于青島市大管島海域，Xu等[11]針對該波能裝置的沉箱基礎(chǔ)穩(wěn)定性問題開展了物理模型試驗研究，對比分析了矩形和圓柱型兩種不同沉箱基礎(chǔ)的受力特性。為研究帶矩形沉箱基礎(chǔ)的搖板式波浪能裝置的水動力性能，將建立解析解，重點探討沉箱基礎(chǔ)對裝置能量俘獲效率的影響。研究結(jié)果可為實際工程設(shè)計提供科學(xué)指導(dǎo)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 邊值問題

圖1為帶有矩形沉箱基礎(chǔ)的搖板式波浪能裝置簡化示意。沉箱基礎(chǔ)的高度和寬度分別為a和2b，沉箱上表面與靜水面的距離為d=h-a。矩形截面搖板鉸接于沉箱基礎(chǔ)的上表面，密度為ρ0(低于海水密度ρ=1 023 kg/m3)、厚度為2δ，搖板鉸接中心處與沉箱基礎(chǔ)左邊緣的距離為l。建立直角坐標(biāo)系xoz，使得x軸與靜水面重合，方向水平向右為正，z軸與沉箱中垂線重合，方向豎直向上為正。搖板的轉(zhuǎn)動中心坐標(biāo)為(x0，z0)=(l-b，-d)。搖板密度小于海水密度，因此在沒有波浪作用時，搖板處于豎直狀態(tài)。忽略搖板在靜水面以上部分的質(zhì)量，則靜止?fàn)顟B(tài)下?lián)u板的重心與浮心坐標(biāo)相同，為(xc，zc)=(xb，zb)=(l-b，-d/2)。

圖1 帶有矩形沉箱基礎(chǔ)的搖板式波浪能裝置簡化示意Fig. 1 Sketch of flap wave energy device with a rectangular caisson foundation

假定流體無黏且不可壓縮、流體運(yùn)動無旋，可以用速度勢Φ(x，z，t)描述整個流體運(yùn)動。在振幅為A、圓頻率為ω的線性波作用下，速度勢可以表示為:

Φ(x，z，t)=Re[φ(x，z)e-iωt]

(1)

(2)

(3)

為了研究問題方便，將整個流域分割為4個區(qū)域：區(qū)域1(-h≤z≤0，x≤-b)、區(qū)域2(-d≤z≤0，-b≤x≤l-b-δ)、區(qū)域3(-d≤z≤0，l-b+δ≤x≤b)和區(qū)域4(-h≤z≤0，x≥b)。速度勢滿足以下邊界條件：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，下標(biāo)j表示區(qū)域j；k0是以下色散方程的正實根。

ω2/g=k0tanh(k0h)

(9)

在相鄰區(qū)域的公共邊界和搖板表面，速度勢還滿足以下邊界條件：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

基于以上控制方程和邊界條件，可以求解得到散射勢和輻射勢，并計算得到搖板所受的激振力矩和輻射力矩：

(20)

(21)

當(dāng)搖板做單位幅值擺動時，附加質(zhì)量μ和輻射阻尼ν可由下式計算：

(22)

1.2 能量俘獲效率

搖板在波浪作用下的運(yùn)動方程為：

[-ω2(M+μ)-iω(B+ν)+C]θ=FS

(23)

其中，B為波浪能裝置PTO(Power Take-off)系統(tǒng)的機(jī)械阻尼；M為轉(zhuǎn)動慣量;C為恢復(fù)力矩。M與C分別表示為：

(24)

(25)

波浪能裝置的轉(zhuǎn)換能量：

(26)

波浪能裝置的能量俘獲效率：

(27)

其中，PW表示一個周期內(nèi)沿波浪傳播方向通過單位寬度垂面的波浪能量；Cg是波群速度，表示為：

(28)

(29)

將式(29)代入式(26)得到最大轉(zhuǎn)換能量為：

(30)

2 速度勢求解

2.1 繞射問題

當(dāng)搖板固定時，波浪繞射問題等同于入射波在直墻前臺階地形的散射問題，此時流域3和4的速度勢均為0，只需要在流域1和2中求解。

通過分離變量方法[13]，滿足控制方程(3)和邊界條件(4)～(7)的散射勢可表示成：

(31)

(32)

ω2/g=-kntan(knh)，n=1，2，……

(33)

ω2/g=λ0tanh(λ0d)=-λntan(λnd)，n=1，2，……

(34)

垂向特征函數(shù)Zn(z)和Yn(z)為：

(35)

(36)

將速度勢表達(dá)式(31)和(32)代入式(10)，再在兩邊同時乘以垂向特征函數(shù)Ym(z)，并沿水深對z積分后，可得：

(37)

類似地，將速度勢表達(dá)式(31)和(32)分別代入式(11)、(12)和式(16)，然后利用特征函數(shù)Zm(z)和Ym(z)的正交性，可得：

(38)

(39)

截斷n和m到M項，聯(lián)立線性方程組(37)～(39)，利用高斯消去法可求解出待定系數(shù)Rn、An和Bn。將散射勢(32)代入式(20)可求得搖板所受的波浪激振力矩：

(40)

(41)

無量綱波浪激振力矩定義為：

(42)

2.2 輻射問題

滿足控制方程(3)和邊界條件(4)～(8)的輻射勢可表示成：

(43)

(44)

(45)

(46)

將速度勢式(43)和(44)代入式(10)、(11)、(12)和(18)，利用垂向特征函數(shù)的正交性，可得如下線性方程組：

(47)

(48)

(49)

類似地，將速度勢式(45)和(46)代入式(13)、(14)、(15)和(19)，利用垂向特征函數(shù)的正交性，可得線性方程組：

(50)

(51)

(52)

截斷n和m到M項，聯(lián)立求解方程組(47)～(49)可求得搖板左側(cè)子域內(nèi)的輻射勢，聯(lián)立求解方程組(50)～(52)可求得搖板右側(cè)子域內(nèi)的輻射勢。將輻射勢(44)和(45)代入式(21)和(22)，可得到搖板所受的輻射力矩、單位幅值擺動而產(chǎn)生的附加質(zhì)量和輻射阻尼：

(53)

(54)

無量綱附加質(zhì)量μ0和無量綱輻射阻尼ν0定義為：

(55)

3 結(jié)果與討論

1.2節(jié)已經(jīng)指出當(dāng)PTO系統(tǒng)機(jī)械阻尼B滿足公式(29)時，波浪能裝置具有最佳俘獲效率。因此在算例中如果沒有特殊注明，PTO系統(tǒng)的機(jī)械阻尼均利用公式(29)計算。

3.1 模型驗證

為了檢驗級數(shù)解的收斂性，表1給出搖板的無量綱波浪激振力矩、無量綱附加質(zhì)量μ0和無量綱輻射阻尼ν0隨截斷數(shù)M的變化情況，計算條件為：d/h=0.3、2b/h=1.0、2δ/h=0.1和l/h=0.75。從表中可以看出，計算結(jié)果隨截斷數(shù)的增大而逐漸收斂，當(dāng)M=80時的計算結(jié)果可以滿足工程分析需求，因此在計算中，取截斷數(shù)為M=80。

表1 搖板的水動力參數(shù)隨截斷數(shù)M的變化Tab. 1 Variations of the hydrodynamic quantities of the flap with the truncated number M

當(dāng)沉箱基礎(chǔ)的高度為零時(a=0)，搖板直接鉸接于海床。趙海濤等[6]研究了鉸接于水平海床上的搖板式波浪能裝置的能量俘獲效率。圖2給出了搖板輻射阻尼ν的解析解計算結(jié)果與趙海濤等[6]理論解計算結(jié)果對比，圖中計算條件為：h=10 m和2δ=2 m。如圖2所示，文中解析與趙海濤等[6]理論解的計算結(jié)果一致。

圖2 文中解析解與趙海濤等[6]理論解計算結(jié)果的對比(h=10 m和2δ=2 m)Fig. 2 Comparison between the present analytical results and the results of Zhao et al.[6](h=10 m, 2δ=2 m)

除了解析解外，還利用了邊界元數(shù)值方法[14]求解了當(dāng)前的波浪繞射和輻射問題。圖3給出了解析方法計算的無量綱波浪力矩CFS、附加質(zhì)量μ0和輻射阻尼ν0和邊界元方法計算結(jié)果的對比，計算條件為：2b/h=1.0、d/h=0.5、2δ/h=0.1和l/h=0.25。從圖3可見，兩種不同方法的計算結(jié)果一致。注意到，作用在搖板的無量綱波浪力矩以及無量綱附加質(zhì)量和輻射阻尼均隨著波浪/振蕩頻率的增加而降低，其中輻射阻尼的變化尤為顯著。

圖3 文中解析解與邊界元數(shù)值解的對比(2b/h=1.0、d/h=0.5、2δ/h=0.1和l/h=0.25)Fig. 3 Comparison between the present analytical results and the numerical results of the boundary element method solution(2b/h=1.0, d/h=0.5, 2δ/h=0.1, l/h=0.25)

圖2和圖3中的對比結(jié)果表明文中解析解的求解過程是正確的。

3.2 結(jié)果分析

圖4給出不同沉箱基礎(chǔ)高度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數(shù)k0h的變化。沉箱基礎(chǔ)高度分別為：a/h=0.0、0.3、0.5和0.7。其它計算條件為：2b/h=1.0、2δ/h=0.1、ρ0=400 kg/m3和l/h=0.75。a/h=0.0表示搖板鉸接于海床。從圖4可以看出，沉箱基礎(chǔ)高度對能量俘獲效率有著顯著影響，具體表現(xiàn)為：俘獲效率的峰值隨著沉箱基礎(chǔ)高度增加而增大；對于波浪頻率滿足0.5

圖4 沉箱基礎(chǔ)高度對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 4 Effect of the caisson height on the capture efficiency of the wave energy device

圖5給出不同搖板到沉箱基礎(chǔ)左邊緣距離下波浪能裝置的俘獲效率隨波數(shù)k0h的變化。搖板到沉箱基礎(chǔ)左邊緣的距離分別為：l/h=0.25、0.50、0.75和0.90。其它計算條件為：2b/h=1.0、a/h=0.7、2δ/h=0.1和ρ0=400 kg/m3。從圖5可以看出，當(dāng)0.54.0時(更短波浪)，搖板位置的變化對裝置性能無明顯影響。以上分析表明，搖板安裝位置是影響裝置性能的重要參數(shù)，需要根據(jù)實際海況進(jìn)行選取。對于長波海域，搖板安裝在沉箱背浪側(cè)上表面更為合理；而對于短波海域，搖板鉸接于沉箱迎浪側(cè)上表面時，裝置性能更佳。

圖5 搖板到沉箱基礎(chǔ)左邊緣距離對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 5 Effect of the spacing between the flap and the caisson’s left side on the capture efficiency of the wave energy device

圖6給出了不同沉箱基礎(chǔ)寬度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數(shù)k0h的變化。沉箱基礎(chǔ)寬度分別為：2b/h=0.5、1.0、1.5和2.0。其它計算條件為：a/h=0.7、2δ/h=0.1、ρ0=400 kg/m3和l/(2b)=0.75。從圖6可以看出，裝置的能量俘獲效率隨著波浪頻率增大呈現(xiàn)振蕩變化，并且沉箱基礎(chǔ)寬度越大振蕩現(xiàn)象越明顯。增加沉箱基礎(chǔ)寬度雖然能有效地增大裝置能量俘獲效率的峰值，但是也會明顯縮小裝置俘獲效率高于50%所對應(yīng)的波浪頻率范圍。實際工程中，建議沉箱基礎(chǔ)寬度2b/h的取值在0.5到1.0之間較為合理。此外，采用更寬的沉箱基礎(chǔ)需要更高的工程成本，顯然是不明智的。

圖7給出了不同搖板厚度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數(shù)k0h的變化。搖板厚度分別為：2δ/h=0.05、0.10、0.15和0.20。其它計算條件為：2b/h=1.0、a/h=0.7、ρ0=400 kg/m3和l/h=0.75。從圖7可以看出，當(dāng)k0h≤0.6時，增加搖板厚度會降低波能裝置性能；而當(dāng)0.6

圖7 搖板厚度對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 7 Effect of the flap thickness on the capture efficiency of the wave energy device

圖8給出了不同搖板密度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數(shù)k0h的變化。搖板密度分別為：ρ0=200、400、600和800 kg/m3。其它計算條件為：2b/h=1.0、a/h=0.7、2δ/h=0.1和l/h=0.75。從圖8可以看出，搖板密度對裝置性能有著顯著影響。當(dāng)k0h<0.75時，選取更大密度的搖板有利于提升裝置的能量俘獲效率。搖板密度不影響俘獲效率峰值所對應(yīng)的波浪頻率，俘獲效率均在k0h≈0.8時達(dá)到峰值。當(dāng)k0h>1.0時，可以忽略搖板密度對波能裝置性能的影響。實際工程中，建議選取密度較大的搖板。

圖8 搖板密度對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 8 Effect of the flap density on the capture efficiency of the wave energy device

需要說明的是，上述分析結(jié)果均是基于勢流理論，沒有考慮水體黏性所產(chǎn)生的能量耗散。然而，實際情況中，當(dāng)沉箱基礎(chǔ)的高度較大時，沉箱迎浪側(cè)和背浪側(cè)的直角附近可能會存在較明顯的流動分離，板的搖擺運(yùn)動也可能會導(dǎo)致水體運(yùn)動產(chǎn)生旋渦，引起一部分的能量耗散，從而裝置的實際能量俘獲效率可能會低于解析解的計算結(jié)果。

4 結(jié) 語

基于勢流理論建立波浪與帶有矩形沉箱基礎(chǔ)的搖板式波浪能裝置相互作用的解析解。通過計算結(jié)果與文獻(xiàn)中已有結(jié)果和邊界元數(shù)值結(jié)果的對比驗證了解析解的正確性。分析了波浪入射頻率、沉箱基礎(chǔ)高度、沉箱基礎(chǔ)寬度、搖板位置、搖板厚度和搖板密度對裝置能量俘獲效率的影響，研究結(jié)果表明：

1) 具有沉箱基礎(chǔ)的搖板式波浪能裝置，能夠在較寬頻率范圍內(nèi)具備較高的俘獲效率，說明該裝置具有可靠性好、轉(zhuǎn)換效率高的優(yōu)點。

2) 當(dāng)0.5

3) 當(dāng)0.5

4) 適當(dāng)?shù)卦黾映料浠A(chǔ)寬度能夠有效增大裝置能量俘獲效率的峰值，但也會縮小裝置高俘獲效率所對應(yīng)的波浪頻率范圍；建議沉箱基礎(chǔ)寬度為0.5到1.0倍水深。

5) 適當(dāng)減小搖板厚度和增加搖板密度能夠提升裝置的能量俘獲效率。