羅爾定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造法

張磊 于飛 呂佳佳 王輝

摘要：輔助函數(shù)的構(gòu)造是應(yīng)用羅爾定理證明方程問題的關(guān)鍵。通過微分與積分的互逆關(guān)系，將積分思想用于構(gòu)造輔助函數(shù)，探究含中值的等式證明問題，并通過例題介紹湊微分法、還原法和分組法的適用情況。

關(guān)鍵詞：中值定理;輔助函數(shù);等式證明

中圖分類號(hào)：O172? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、緒論

微分中值定理建立了導(dǎo)數(shù)的局部性與函數(shù)整體性的聯(lián)系，有著非常重要的應(yīng)用價(jià)值。羅爾定理雖是微分中值定理中最基礎(chǔ)的一個(gè)，但其應(yīng)用最為廣泛，是處理微分中值定理的證明問題時(shí)最常見的方法。該類證明題的普遍難點(diǎn)在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，一旦確定了輔助函數(shù)，那么后續(xù)的證明步驟也就水到渠成了?？梢姡o助函數(shù)的構(gòu)造是求證微分中值問題的關(guān)鍵，也是方程問題考查的重難點(diǎn)。近日，石麗娜等引入了待定系數(shù)法[1]，張軍等[2]利用微分方程求通解的方法用于構(gòu)造輔助函數(shù)。輔助函數(shù)的構(gòu)造雖然千變?nèi)f化，但并非毫無規(guī)律可循?！疤卣鹘Y(jié)論變形”和“還原”是羅爾定理證明題涉及的兩種構(gòu)造輔助函數(shù)的常用技巧，本文在常見輔助函數(shù)構(gòu)造法的基礎(chǔ)上，借助逆向思維法，結(jié)合經(jīng)典例題分類梳理輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。

羅爾定理[3]若函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù);②f（x）在開區(qū)間a，b上可導(dǎo);③f（a）=f（b）成立;則在開區(qū)間a，b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，滿足f′（ξ）=0。

這里，我們稱ξ為中值，稱微分方程f′（ξ）=0為特征結(jié)論。此類證明通常以“至少存在一點(diǎn)ξ∈a，b，使h（ξ，f（ξ），f′（ξ），…，f（n）（ξ））=0成立”的形式出現(xiàn)。中值定理證明題的特征結(jié)論多種多樣，但都可以通過等價(jià)變換改寫成“h（ξ）=0”的形式，其中h（x）通常由x，f（x），f′（x）等經(jīng)過四則運(yùn)算構(gòu)成。證明方法是，從結(jié)論中的等式出發(fā)，通過等價(jià)變換將其化簡，構(gòu)造滿定理?xiàng)l件的函數(shù)φ（x），其中φ′（x）=h（x，f（x），f′（x），…，f（n）（x））。接下來我們探討常見輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。

二、湊微分法

觀察羅爾定理的條件③，如果能構(gòu)造一個(gè)函數(shù)φ（x），使得φ′（x）=h（x），且φ（a）=φ（b），就可以由羅爾定理得出h（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)存在零點(diǎn)。由等式φ′（x）=h（x）解出φ（x），這是一個(gè)求原函數(shù)的過程，因此求不定積分可以作為構(gòu)造輔助函數(shù)的一種方法。為了突出構(gòu)造法的中“湊”巧妙，習(xí)慣上我們將這種方法稱為湊微分法。湊微分法構(gòu)造輔助函數(shù)的要點(diǎn)在于“湊”，具體步驟如下：①將特征結(jié)論中的中值ξ改寫成x;②經(jīng)移項(xiàng)、去分母等恒等變換，將特征結(jié)論整理為h（x）=0;③令φ′（x）=h（x），解微分方程得出函數(shù)φ（x）;④驗(yàn)證φ（x）是否滿足羅爾定理?xiàng)l件，完成證明。

例2.1 設(shè)f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，g（x）≠0，g″（x）≠0，且f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0。證明存在ξ∈（a，b），滿足f（ξ）g（ξ）=f″（ξ）g″（ξ）。

分析：由湊微分法，將特征結(jié)論f（ξ）g（ξ）=f″（ξ）g″（ξ）改寫為f（x）g（x）=f″（x）g″（x）;移項(xiàng)去分母整理得f（x）g″（x）-g（x）f″（x）=0;令φ′（x）=f（x）g″（x）-g（x）f″（x），等式右端積分得φ（x）=∫f（x）g″（x）-g（x）f″（x）dx，再由分部積分可得φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）+C，從而構(gòu)造輔助函數(shù)φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）。

解：令φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）。顯然φ（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間a，b上可導(dǎo)，且φ（a）=φ（b）。由羅爾定理，在a，b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，滿足φ′（ξ）=0。又由于g（x）≠0，g″（x）≠0（a

例2.2 用湊微分法構(gòu)造輔助函數(shù)，證明拉格朗日（Lagrange）中值定理[3]：

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a。

分析：將特征結(jié)論f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a改寫為f′（x）-f（b）-f（a）b-a=0;去分母整理得f′（x）（b-a）-f（b）-f（a）=0;令φ′（x）=f′（x）（b-a）-f（b）-f（a），從而構(gòu)造輔助函數(shù)φ（x）=f（x）（b-a）-f（b）-f（a）x。

解：令φ（x）=f（x）（b-a）-f（b）-f（a）x，顯然φ（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間a，b上可導(dǎo)，且φ（a）=bf（a）-af（b）=φ（b）。

由羅爾定理，在a，b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，滿足φ′（ξ）=0，即f′（ξ）（b-a）-f（b）-f（a）=0，亦即f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a。

值得注意的是，拉格朗日中值定理作為微積分的經(jīng)典定理，它的證明方法有很多。定理的幾何意義：設(shè)連續(xù)的曲線弧y=f（x）上除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，那么這條曲線弧上至少有一點(diǎn)（ξ，f（ξ）），曲線在點(diǎn)（ξ，f（ξ））的切線平行于端點(diǎn)AB連線，其中AB為曲線弧端點(diǎn)。同濟(jì)大學(xué)版《高等數(shù)學(xué)》從定理的幾何意義出發(fā)，通過切線與曲線距離在端點(diǎn)處相等這一思想，利用做差法構(gòu)造出輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）b-a（x-a）。另外，2009年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)卷中，解答題18題第1問也考查了拉格朗日中值定理的證明。證明方法主要有三種：做差法、湊微分法、行列式法。對(duì)比這些方法看出，湊微分法僅僅通過觀察特征結(jié)論就能得到輔助函數(shù)，使考試較大程度地提高答題效率和準(zhǔn)確率，為后續(xù)題目爭取更多時(shí)間。湊微分法是構(gòu)造輔助函數(shù)最基本的方法，需要學(xué)生熟練掌握。

三、還原法

由原函數(shù)存在性可知，初等函數(shù)未必存在原函數(shù)。因此湊微分法構(gòu)造輔助函數(shù)存在一定的局限性。這里我們探究輔助函數(shù)的第二種構(gòu)造法——還原法。

若特征結(jié)論為f′（ξ）+g（ξ）f（ξ）=0，用湊微分法構(gòu)造輔助函數(shù)，步驟如下：①將結(jié)論中的ξ改寫成x，寫成f′（x）+g（x）f（x）=0;②將f′（x）+g（x）f（x）=0變換為f′（x）f（x）+g（x）=0;③還原為lnf（x）′+lne∫xag（t）dt′=0，即ln（f（x）e∫xag（t）dt）′=0;④由函數(shù)y=u（x）與z=lnu（x）同駐點(diǎn)，因此定義輔助函數(shù)φ（x）=f（x）e∫xag（t）dt;⑤驗(yàn)證φ（x）是否滿足羅爾定理?xiàng)l件，完成證明。

例3.1 設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b）=0。證明存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）-2f（ξ）=0。

分析：變換得f′（x）f（x）-2=0，還原得lnf（x）′+lne-2x′=0，即ln（f（x）e-2x）′=0;取φ（x）=e-2xf（x）。

解：令φ（x）=e-2xf（x）顯然φ（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間a，b上可導(dǎo)，且φ（a）=φ（b）。由羅爾定理，在a，b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，滿足φ′（ξ）=0，φ′（ξ）=e-2ξf′（ξ）-2f（ξ），因e-2ξ≠0，有f′（ξ）-2f（ξ）=0。

例3.2設(shè)f（x）在區(qū)間0，1上連續(xù)，在0，1內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0，證明：存在ξ∈0，1，使得1-ξ2f′（ξ）-f（ξ）=0。

分析：變換得f′（x）f（x）-11-x2=0，還原得lnf（x）′+lne-arcsinx′=0，即ln（f（x）e-arcsinx）′=0;取φ（x）=e-arcsinxf（x）。

解：令φ（x）=e-arcsinxf（x），顯然φ（x）在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，開區(qū)間0，1上可導(dǎo)，且φ（0）=φ（1）。由羅爾定理，在0，1內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，滿足φ′（ξ）=0，因φ′（ξ）=e-arcsinξf′（ξ）-11-ξ2，由e-arcsinξ≠0，必有f′（ξ）-11-ξ2=0，即1-ξ2f′（ξ）-f（ξ）=0。

四、分組法

當(dāng)湊微分法和還原法無法構(gòu)造輔助函數(shù)是，還可嘗試先將特征結(jié)論分組，再結(jié)合還原法構(gòu)造輔助函數(shù)。

例4.1[4]觀察以下特征結(jié)論，結(jié)合還原法和分組法，構(gòu)造輔助函數(shù)：

（1）f′（ξ）-f（ξ）+2ξ=2;

（2）f″（ξ）-f（ξ）=0;

（3）f″（ξ）+f′（ξ）=2。

解：（1）將特征結(jié)論f′（ξ）-f（ξ）+2ξ=2改寫為f′（x）-f（x）+2x=2;分組有f（x）-2x′-f（x）-2x=0，整理可得f（x）-2x′f（x）-2x-1=0;由還原法得ln（f（x）-2x）′+lne-x′=0。綜上，輔助函數(shù)φ（x）=e-x（f（x）-2x）。

（2）將特征結(jié)論f″（ξ）-f（ξ）=0改寫為f″（x）-f（x）=0;恒等變形得f″（x）-f′（x）+f′（x）-f（x）=0，分組為f′（x）-f（x）′+f′（x）-f（x）=0;由上文的還原法得ln（f′（x）-f（x）′+lnex′=0。綜上，輔助函數(shù)φ（x）=ex（f′（x）-f（x））。

（3）將f″（ξ）+f′（ξ）=2。改寫為f″（x）+f′（x）-2=0。;對(duì)f″（x）+f′（x）-2=0。分組為f′（x）-2′+f′（x）-2=0;用還原法得ln（f′（x）-2）′+lnex′=0，輔助函數(shù)φ（x）=ex（f（x）-2）。

五、小結(jié)

羅爾定理是微分中值定理中的基本定理，輔助函數(shù)的構(gòu)造是微分中值問題的關(guān)鍵和難點(diǎn)。本文采用逆向思維法探究了羅爾定理輔助函數(shù)構(gòu)造的三種常用方法，詳細(xì)介紹了輔助函數(shù)構(gòu)造法中“特征結(jié)論變形”和“還原”的應(yīng)用技巧，給出構(gòu)造輔助函數(shù)的具體步驟，并通過算例的分析和證明呈現(xiàn)出逆向思維法構(gòu)造輔助函數(shù)在求證微分中值問題的有效性和實(shí)用性。實(shí)際上，輔助函數(shù)法還可以用于后續(xù)課程中的微分方程求通解，教師在授課過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多觀察，勤思考，找準(zhǔn)異同點(diǎn)，排除干擾，注重各類構(gòu)造法的歸納整理，積極創(chuàng)造條件讓學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能有效解決做題中遇到的困難，提高學(xué)生的學(xué)生微積分的積極性和學(xué)習(xí)效率。本文適合作為初學(xué)高等數(shù)學(xué)的課堂同步輔導(dǎo)，高數(shù)期末復(fù)習(xí)以及考研第一輪復(fù)習(xí)時(shí)的參考資料。

參考文獻(xiàn)：

[1]石麗娜，邢麗麗.羅爾定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的兩種構(gòu)造方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2019，22（3）：13-14

[2]張軍，倪鑫，閆絲雨，等.利用微分方程求解微分中值問題的逆向思維方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2019，99（3）：15-16

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2015

[4]武忠祥.數(shù)學(xué)考研歷年真題分類解析[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2005

基金項(xiàng)目：遼寧省教育廳青年項(xiàng)目（L201730）;遼寧省科技廳博士啟動(dòng)項(xiàng)目（201601173）

作者簡介：張磊（1986— ），女，博士研究生，講師，碩士生導(dǎo)師，研究方向：控制論、微積分。