實變函數(shù)測度論中有限無限的轉化方法

余楠 丁兆東

摘 要：分析實變函數(shù)測度論中幾個基本定理的證明過程，論述求解該類問題的基本方法：有限與無限的轉化。給出解決測度論相關問題的一種思路。

關鍵詞：實變函數(shù)測度論;有限與無限的轉化;方法總結

1 緒論

實變函數(shù)是一門重要的數(shù)學課程，主要內容包括勒貝格測度、可測函數(shù)和勒貝格積分，其中測度理論是其建立的基礎與核心。實變函數(shù)在各個領域有著廣泛的應用，但該課程理論高度抽象，證明過程需要很強邏輯性和構造性。有鑒于此，很多學者與老師總結了實變函數(shù)解題過程中的各種方法：胡鵬針對Fatou引理以及Lebesgue控制收斂定理進行了總結與推廣[1];涂郗討論了Lebesgue控制收斂定理的應用[2];石秀文對特征函數(shù)的應用進行了總結[3]。本文將針對測度論中相關例題進行歸納總結，給出解決測度論問題的一種常用的，有效的方法：有限與無限的轉化。

在數(shù)學領域幾百年的發(fā)展中，數(shù)學家們致力于將“有限”上的成果推廣到“無限”，從而開拓思維，壯大現(xiàn)有理論體系。實變函數(shù)主要研究可數(shù)層面相關的理論，但由于可數(shù)這個與無限有關的概念十分抽象，研究起來存在一定的困難，而“有限”層面的內容目前已經(jīng)比較完善，故通過一定方法先將“無限”轉化為“有限”，在“有限”的理論基礎上研究，再推廣到“無限”。這種有限與無限的轉化方法在實變函數(shù)尤其是測度論中屢見不鮮。本文結合基本定理的證明過程，闡述該種方法在測度理論中應如何使用，給出了解決測度論相關問題的一種思路。

在證明與測度有關的問題時，若題目中直接出現(xiàn)無窮或者有諸如康托集，開集，F(xiàn)σ集，Gδ集等字眼，可以考慮有限與無限的轉化。這種方法的思路大致是：根據(jù)題意及已知定理將“大”集合分解為“小”集合，對“小”集合的性質特點進行研究，再延拓到“大”集合上。一般的，可以通過有限覆蓋定理或者用有界區(qū)間分割集合完成從無限到有限的轉化;取極限是一種經(jīng)常被使用的從有限推廣到無限的手段，在某些情況下，還可以取可數(shù)并……測度論的很多證明需要將上述方法結合使用，這就要求我們靈活運用這些方法，具體問題具體分析。

2 有限可加的性質結合極限原理

定理1[4] （勒貝格可測集的有限可加性）若Ankn=1是Rn中有限個可測集，則∪kn=1An也可測，且當Ankn=1兩兩不交時，成立：m（∪kn=1An）=∑kn=1m（An）。

例1 （勒貝格可測集的可數(shù)可加性）若AnSymboleB@n=1是Rn中可數(shù)個可測集，則∪SymboleB@n=1An也可測，且當AnSymboleB@n=1兩兩不交時，成立：m（∪SymboleB@n=1An）=∑SymboleB@n=1m（An）。

證明 記A=∪SymboleB@n=1An，考慮一個分解：

B1=A1，Bk=Ak＼∪k-1i=1Ai，k=2，3，…

得到：

A=∪SymboleB@n=1An=∪SymboleB@k=1Bk（1）

由于AnSymboleB@n=1是可測集序列，則B1=A1，Bk=Ak∩（∪k-1i=1Ai）c，k=2，3，…是可測集，且諸Bk之間互不相交。令FRn，對于每一個p∈N+，由定理1得到∪pk=1Bk是可測集。所以由可測集的定義：

m*（F）=m*（F∩（∪pk=1Bk））+m*（F∩（∪pk=1Bk）c）（2）

由于∪pk=1BkA，得到：

（∪pk=1Bk）cAc（3）

因此：

m*（F）m*（F∩（∪pk=1Bk））+m*（F∩Ac）

=m*（∪pk=1（F∩Bk））+m*（F∩Ac）（4）

諸Bk之間互不相交，諸F∩Bk之間也互不相交，根據(jù)定理1，（4）式可化為：

m*（F）∑pk=1m*（F∩Bk）+m*（F∩Ac）（5）

（5）式兩邊同時令p→+SymboleB@得到：

m*（F）∑SymboleB@k=1m*（F∩Bk）+m*（F∩Ac）

m*（∪SymboleB@k=1（F∩Bk））+m*（F∩Ac）

=m*（F∩（∪SymboleB@k=1Bk））+m*（F∩Ac）

=m*（F∩A）+m*（F∩Ac）（6）

而m*（F）SymbolcB@m*（F∩A）+m*（F∩Ac）是顯然的。故A=∪SymboleB@n=1An是可測集。

當AnSymboleB@n=1兩兩不交時，由于：

m*（A）=m*（∪SymboleB@n=1An）m*（∪qn=1An）=∑qn=1m*（An）（7）

（7）式兩邊同時令q→+SymboleB@得到：

m*（A）∑SymboleB@n=1m*（An）m*（∪SymboleB@n=1An）=m*（A）（8）

因此：

m（∪SymboleB@n=1An）=∑SymboleB@n=1m（An）（9）

對于一些比較簡單的題目，可以直接利用已有的有限個集合測度（外測度）的結論，通過取極限得到對可數(shù)個集合成立。在上題中，需要利用定理1，找到不等式關系，再取極限。

3 有限覆蓋結合極限原理

先論述一個定理。

定理2[4] （有限覆蓋定理）設F是一個有界閉集，是一族開鄰域，完全覆蓋F（即對于F中任何一點x，恒有鄰域N∈，使x∈N），則在中一定存在有限多個鄰域N1，N2，…，Nm，它們完全覆蓋F。

例2[4] （開集測度的單調性）令O1，O2是R上的兩個開集，如果：O1O2，則m（O1）SymbolcB@m（O2）成立。

證明 設O1O2，將O1，O2分別表示成可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并，即：

O1=∪SymboleB@n=1In，O2=∪SymboleB@k=1Jk

其中InSymboleB@n=1，JkSymboleB@k=1兩兩不交。

對于每個In（n∈N+），存在一個Jk（k∈N+）使得InJk成立。

不失一般性下證所有的Jk（k∈N+）都是有界的。令q∈N+且ε>0。記：

Iεn：=[an+ε2q，bn-ε2q]∈In：=（an，bn）

∪qn=1Iεn是閉集，由有限覆蓋定理：Jk1，Jk2，…，Jkp，使得：∪qn=1Iεn∪pj=1Jkj。于是有：

-ε+∑qn=1In=∑qn=1Iεn=∪qn=1IεnSymbolcB@∪pj=1Jkj=∑pj=1JkjSymbolcB@m（O2）（10）

由ε的任意性，有：

∑qn=1InSymbolcB@m（O2）（11）

其中q∈N+。再令q→SymboleB@得到：

m（O1）=∑SymboleB@n=1InSymbolcB@m（O2）（12）

在該題目中，所求與開集有關，開集可以表示成可數(shù)個不相交開區(qū)間的并，這是一個與無限有關的問題。由包含關系，可以將區(qū)間縮小變成閉集，根據(jù)有限覆蓋定理，找到有限個開區(qū)間包含這有限個閉區(qū)間。利用已知性質，得到一邊有參數(shù)一邊無參數(shù)的不等式，令參數(shù)q→SymboleB@，得到結論。

4 利用化整為零思想分解集合

例3[4] （勒貝格可測集幾乎就是一個開集）E是勒貝格可測的，則ε>0，存在一個開集OE，使得m（O＼E）<ε。

證明設E是勒貝格可測集，由于：

m（E）=m*（E）=inf{m（O）：O是開集且OE}（13）

由下確界的定義ε>0有：

m（O）

而O=（O＼E）∪E且（O＼E）∩E=，有：

m（O＼E）+m（E）=m（O）

當m（E）<+SymboleB@時，m（O＼E）<ε顯然成立。

如果m（E）=+SymboleB@，考慮En=E∩[-n，n]，則存在一個開集OnEn，m（On＼En）<ε2n成立。

記：O=∪SymboleB@n=1On，則O是開集且OE。滿足：

O＼E=（∪SymboleB@n=1On）＼（∪SymboleB@m=1Em）=∪SymboleB@n=1（∩SymboleB@m=1（On＼Em））∪SymboleB@n=1（On＼En）（16）

于是有：

m（O＼E）SymbolcB@∑SymboleB@n=1m（On＼En）SymbolcB@∑SymboleB@n=1ε2n=ε（17）

綜上所述，不論m（E）=+SymboleB@或者m（E）<+SymboleB@命題始終成立。

在該題中，由于集合E的測度存在無窮的情況，需要分類討論：當測度小于無窮時，不等式兩邊直接減去相同項;當測度值為無窮時，需要將集合E分解成測度有限的集合的并，找到滿足的關系式進行求解。

有限與無限轉化的方法不光在測度論以及其他數(shù)學領域中被廣泛使用，日常生活的很多方面都體現(xiàn)著這種思想。無限到有限是由難到易的過程，有限到無限是量的積累引起質的飛躍。解決實際問題時，需要在認真觀察的基礎上仔細分析，找到事物之間的聯(lián)系，將復雜問題不斷細分為一個個簡單問題，對每個小問題深入研究，得到解決方法， 各個小問題解決了，大的問題也就迎刃而解了，從而實現(xiàn)了有限與無限之間的轉化。學習也是這樣，復雜的知識是由一個個最基本的小知識點構成的，所以不能好高騖遠，要腳踏實地，認真學好現(xiàn)在的每一門課，把基礎打牢，只有這樣，才能量變引起質變。

道雖遠，不行不至;事雖難，不為不成。

參考文獻：

[1]胡鵬. Fatou引理以及Lebesgue控制收斂定理推廣及其應用[J].科技風，2020（13）：41.

[2]涂郗. Lebesgue控制收斂定理的應用[J]. 教育現(xiàn)代化，2019，6（73）：119120.

[3]石秀文. 特征函數(shù)的性質在實變函數(shù)中的應用[J]. 邢臺學院學報，2018，33（04）：182184.

[4]江澤堅，吳智泉，紀友清.實變函數(shù)論[M].第四版.北京：高等教育出版社，2019.

作者簡介：余楠（1999— ），女，漢族，內蒙古呼和浩特人，本科，研究方向：數(shù)理基礎科學（數(shù)學）。

*通訊作者：丁兆東（1987— ），男，漢族，內蒙古烏蘭察布人，碩士，副教授，研究方向：微納流體力學。