整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的判定方法

摘 要：本文總結(jié)和歸納了整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的一些判定方法，并通過具體例子展示了這些方法的實(shí)際應(yīng)用和局限性，擴(kuò)展了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：整系數(shù)多項(xiàng)式;有理數(shù)域;不可約

據(jù)文獻(xiàn)[1]，每個(gè)次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積。這表明，復(fù)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式，而每個(gè)次數(shù)≥1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式或二次不可約因式的乘積。于是實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只可能是一次多項(xiàng)式和判別式小于零的二次多項(xiàng)式。然而，有理數(shù)域上存在任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式。另一方面，文獻(xiàn)[1]同時(shí)指出，若一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，則它可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。這一結(jié)論把有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約的問題歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式能否分解成次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積的問題。于是，考慮有理系數(shù)多項(xiàng)式的不可約的問題，只需就整系數(shù)多項(xiàng)式考慮即可。本文的目的是總結(jié)和歸納整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的判定方法，這對(duì)教師講授和初學(xué)者學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)有一定幫助。本文約定Q和Z分別表示整數(shù)集合和有理數(shù)域，而Q[x]和Z[x]分別表示系數(shù)在Q和Z中的關(guān)于x的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合。

1 基本結(jié)論

本節(jié)給出涉及整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的判定的一些事實(shí)。對(duì)任意非零多項(xiàng)式f（x），用f（x）表示f（x）的次數(shù)。

事實(shí)1.1 設(shè)f（x）∈Z[x]。

（1）若f（x）=1，則f（x）在Q上不可約。

（2）f（x）在Q中有根當(dāng)且僅當(dāng)f（x）在Q上有一次因式。

（3）若f（x）2且f（x）在Q中有根，則f（x）在Q上可約。

（4）若2SymbolcB@f（x）SymbolcB@3，則f（x）在Q上不可約當(dāng)且僅當(dāng)f（x）在Q中無根。

事實(shí)1.2 設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]且an，a0均不為零。記f*（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an。則f（x）在Q上不可約當(dāng)且僅當(dāng)f*（x）在Q上不可約。

證明 容易驗(yàn)證，若f（x）=g（x）h（x），g（x），h（x）∈Z[x]，則f*（x）=g*（x）h*（x）且f*（x）=f（x），h*（x）=h（x），g*（x）=g（x）。于是結(jié)論成立。

事實(shí)1.3 設(shè)f（x）∈Z[x]，a，b∈Z，a≠0。則f（x）在Q上不可約當(dāng)且僅當(dāng)f（ax+b）在Q上不可約。

證明 若f（x）在Q上可約，則f（x）=g（x）h（x），g（x），h（x）∈Z[x]， g（x），h（x）

故f（ax+b）在Q上可約。類似可證由f（ax+b）在Q上可約可推出f（x）在Q上可約。

事實(shí)1.4 （[1]第一章定理12）設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]，an≠0，而rs是它的有理根，其中r，s互素。則s|an，r|a0。

下面給出幾個(gè)關(guān)于Eisenstein型判別法的事實(shí)。

事實(shí)1.5 （[2]第三章第6節(jié)習(xí)題9）設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]。若有素?cái)?shù)p和某個(gè)非負(fù)整數(shù)k（k

證明 對(duì)f（x）的次數(shù)用歸納法。當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。設(shè)結(jié)論對(duì)次數(shù)小于n的整系數(shù)多項(xiàng)式成立，下考察次數(shù)等于n的整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）。若f（x）不可約，則結(jié)論成立。否則，設(shè)f（x）=g（x）h（x），g（x）=bmxm+…+b0，h（x）=clxl+…+c0∈Z[x]，0

由pan知pbm，pcl，由p|a0，p2a0知p|b0和p|c0有且只有一個(gè)成立，不妨設(shè)前者成立。則必有正整數(shù)0SymbolcB@sk。由歸納假設(shè)，g（x）有次數(shù)大于s的不可約因式，這個(gè)不可約因式也是f（x）的次數(shù)大于k的不可約因式。

在事實(shí)1.5中分別取k=n-1和k=n-2，并結(jié)合事實(shí)1.1（2），可得以下事實(shí)。

事實(shí)1.6 （Eisenstein判別法）設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]。若有素?cái)?shù)p使得pan，p|an-1，p|an-2，…，p|a0，p2a0，則f（x）在Q上不可約。

事實(shí)1.7 設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]無有理根。若有素?cái)?shù)p使得pan，p|an-2，p|an-3，…，p|a0，p2a0，則f（x）在Q上不可約。

上述結(jié)論給出了整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的一些充分條件，但不能對(duì)所有整系數(shù)多項(xiàng)式解決問題。下面給出判定整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的一個(gè)一般方法，它是Kronecker在1881年提出的。

事實(shí)1.8 （[2]第三章第6節(jié)習(xí)題11，12，13）設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]沒有整數(shù)根，an≠0。記s為不大于n2的最大整數(shù)。取定互不相同的整數(shù)c0，c1，…，cs及：

d0|f（c0），d1|f（c1），…，ds|f（cs）， （*）

由Lagrange插值公式，存在唯一的次數(shù)不大于s的多項(xiàng)式：

u（x）d0，d1，…，ds=∑si=0（x-c0）…（x-ci-1）（x-ci+1）…（x-cn）（ci-c0）…（ci-ci-1）（ci-ci+1）…（ci-cn）di

使得u（ci）d0，d1，…，ds=di，i=0，1，…，s。若對(duì)任意d0|f（c0），d1|f（c1），…，ds|f（cs），都有u（x）d0，d1，…，dsf（x），則f（x）在Q上不可約。

證明 若f（x）在Q上可約，則可設(shè)f（x）=g（x）h（x），g（x），h（x）∈Z[x]，0

注 根據(jù)Kronecker的方法，要檢查f（x）是否可約，只需對(duì)所有滿足條件（*）的d0，d1，…，ds進(jìn)行檢測(cè)就可以了，注意到f（x）無整數(shù)根，這種檢測(cè)在有限步內(nèi)肯定能完成。當(dāng)然，驗(yàn)證的過程是冗長(zhǎng)的。因此，這個(gè)方法需要借助計(jì)算機(jī)才能發(fā)揮其最佳效果。

2 幾個(gè)例題

本節(jié)通過具體例子來闡述前面總結(jié)的若干事實(shí)的具體運(yùn)用。

例2.1 判斷f（x）=x3-5x+1在Q上是否可約。

解 由事實(shí)1.4知f（x）在Q中無根。注意到這是一個(gè)三次多項(xiàng)式，據(jù)事實(shí)1.1（4）知f（x）在Q上不可約。

例2.2 判斷px2-px+2p-1在Q上是否可約，其中p是素?cái)?shù)。

解 該多項(xiàng)式無實(shí)根，從而無有理根，據(jù)事實(shí)1.1（4）知它在Q上不可約。

注 例2.2不能用事實(shí)1.4或Eisenstein型判別法來解答。

例2.3 設(shè)p是素?cái)?shù)且p≠3。證明f（x）=xp+px+2p-1在Q上不可約。

證明 容易看出，本題無法用Eisenstein型判別法直接解答?，F(xiàn)考慮用事實(shí)1.3。事實(shí)上：

f（x+1）=（x+1）p+p（x+1）+2p-1

=xp+C1pxn-1+…+（Cp-1p+p）x+3p

用Eisenstein判別法立得f（x+1）在Q上不可約，從而由事實(shí)1.3知f（x）在Q上不可約。

下面的例題推廣了文獻(xiàn)[3]的例題的有關(guān)結(jié)果。

例2.4 設(shè)n4，p，q是素?cái)?shù)且p2

證明 直接用事實(shí)1.5或1.6無法解答。現(xiàn)考慮f*（x）=q2xn+qxn-1+p。據(jù)事實(shí)1.4，該多項(xiàng)式的有理根可能為±1，±1q，±1q2，±p，±pq，±pq2?？梢则?yàn)證，這些都不是f*（x）的根。據(jù)事實(shí)1.7，f*（x）在Q上不可約，從而據(jù)事實(shí)1.2，f（x）在Q上也不可約。

注 例2.4中的多項(xiàng)式無法用事實(shí)1.3和事實(shí)1.6（即Eisenstein判別法）來解答。事實(shí)上，設(shè)a，b∈Z，a≠0。則：

f（ax+b）=p（ax+b）n+q（ax+b）+q2=panxn+pC1nan-1bxn-1+…

+pCn-2na2bn-2x2+（pCn-1nabn-1+qa）x+pbn+qb+q2

設(shè)有素?cái)?shù)u滿足：

upan，u|pC1nan-1b，…，u|pCn-2na2bn-2

u|（pCn-1nabn-1+qa），u|pbn+qb+q2，u2pbn+qb+q2

則：

ua，up，u|Cinbi，i=1，2，…，n-2;u|pnbn-1+q，

u|pbn+qb+q2，u2pbn+qb+q2

由u是素?cái)?shù)知u|n或u|b。于是，u|q，但q也是素?cái)?shù)，故u=q，從而u|pbn。但up，于是u|b，這導(dǎo)致u2pbn+qb+q2，矛盾。

例5 證明f（x）=x4-10x2+1在Q上不可約。

解 由事實(shí)1.4知f（x）沒有整數(shù)根。取c0=-2，c1=0，c2=2。則f（c0）=-23=f（c2），f（c1）=1。

易見1的因數(shù)有±1，-23的因數(shù)有±1，±23?？梢则?yàn)證，對(duì)任意d0，d2∈{±1，±23}，d1∈{±1}，按事實(shí)1.8定義的u（x）d0，d1，d2均不能整除f（x）。由事實(shí)1.8，f（x）在Q上不可約。

注 本題用事實(shí)1.1，1.2，1.4，1.5，1.6或1.7無法解答。事實(shí)上，本題也不能用事實(shí)1.3配合事實(shí)1.6解答。限于篇幅，具體理由不再陳述。 另一方面，例5也可以用反證法來證明，因?yàn)樗拇味囗?xiàng)式若可約的話，只能寫成一次多項(xiàng)式乘三次多項(xiàng)式或二次多項(xiàng)式乘二次多項(xiàng)式，具體細(xì)節(jié)不再贅述。

3 結(jié)論

本文總結(jié)和歸納了整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的一些基本判定方法，并通過具體的例子闡述了這些方法的實(shí)際應(yīng)用及局限性。本文的結(jié)果對(duì)教師講授和初學(xué)者學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)有一定幫助。另一方面，限于篇幅，還有不少整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的判定方法在本文中沒能涉及，例如，文獻(xiàn)[4]利用剩余類環(huán)的理論得到了愛森斯坦判別法的一些新的推廣形式，文獻(xiàn)[5]利用矩陣?yán)碚撘驳玫搅藧凵固古袆e法的新推廣方式，而文獻(xiàn)[6]則用復(fù)分析中的儒歇定理給出了整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的新判定方法，有興趣的讀者可以參考上述文獻(xiàn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]Hungerford T.W.，Algebra[M].北京：世界圖書出版公司，1998.

[3]朱一心.不能用Eisenstein判別法判別的不可約多項(xiàng)式[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，19（02）：11+60.

[4]彭學(xué)梅.整系數(shù)多項(xiàng)式可約性的幾個(gè)新判別法[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，21（04）：9092.

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[6]謝庭藩，裴定一.關(guān)于多項(xiàng)式的不可分解性[J].科學(xué)通報(bào)，1975，（09）：414415.

基金項(xiàng)目：云南師范大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（YNJG201831）;云南師范大學(xué)本科線下一流課程建設(shè)項(xiàng)目（2019xxkc28）;國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11661082）

作者簡(jiǎn)介：王守峰（1979— ），男，漢族，山東濟(jì)南人，博士，教授，研究方向：代數(shù)。