多視角深化線性代數(shù)矩陣教學(xué)的探索

摘 要：矩陣知識(shí)是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，但矩陣知識(shí)往往比較抽象，不好理解和把握。通過(guò)多視角的分析講解，使矩陣知識(shí)和其他相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，可以降低部分矩陣運(yùn)算的難度，拓寬學(xué)生解題的思路，加深學(xué)生的理解和記憶。

關(guān)鍵詞：代數(shù)運(yùn)算;矩陣運(yùn)算;綜合除法;逆矩陣;特征值

線性代數(shù)是高等院校開(kāi)設(shè)的一門重要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課。線性代數(shù)具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的實(shí)用性，學(xué)好線性代數(shù)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力有著重要的作用。而矩陣知識(shí)是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一，線性代數(shù)中行列式、線性方程組、二次型、線性變換、線性空間等的內(nèi)容都是以矩陣為重要工具，因此，矩陣知識(shí)的教學(xué)效果在線性代數(shù)的教學(xué)中具有重要意義。但矩陣內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，教師在教學(xué)過(guò)程中很容易將它孤立起來(lái)，機(jī)械地、照本宣科地實(shí)施教學(xué)，不利于學(xué)生的理解和掌握。針對(duì)如何提高矩陣教學(xué)的效果，深化學(xué)生的理解，本人在多年的教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上，從多個(gè)視角去探索矩陣教學(xué)，取得了一定的教學(xué)效果。所謂多視角，就是指不局限于一個(gè)角度或一種方法，而是從不同的角度或方法對(duì)矩陣知識(shí)進(jìn)行講解。特別是結(jié)合知識(shí)之間的相似性和相關(guān)性，通過(guò)矩陣知識(shí)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的相同點(diǎn)或者是矩陣知識(shí)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，深化對(duì)矩陣知識(shí)的基本內(nèi)涵、運(yùn)算方法和規(guī)律的理解，起到降低矩陣知識(shí)的難度，拓寬學(xué)生的思路，加深學(xué)生的理解和記憶的作用。

一、結(jié)合代數(shù)運(yùn)算與矩陣運(yùn)算的相同點(diǎn)分析講解

運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本概念和基礎(chǔ)內(nèi)容，矩陣是線性代數(shù)的基本概念和基礎(chǔ)內(nèi)容，因此，矩陣運(yùn)算理論是線性代數(shù)的重要理論之一，并且也是非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)的重要教學(xué)內(nèi)容。如何深化對(duì)矩陣運(yùn)算的理解，可以結(jié)合代數(shù)運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的相同點(diǎn)去講解。因?yàn)?，矩陣的加法、減法是通過(guò)對(duì)應(yīng)位置的元素來(lái)進(jìn)行的，從某種角度來(lái)說(shuō)，是與數(shù)的加、減一致的，因而，代數(shù)運(yùn)算與矩陣運(yùn)算有一定的相同點(diǎn)。在矩陣運(yùn)算中，矩陣的逆運(yùn)算，轉(zhuǎn)置運(yùn)算，伴隨矩陣的運(yùn)算經(jīng)常聯(lián)系到代數(shù)知識(shí)，因而，可以把代數(shù)運(yùn)算的一些運(yùn)算規(guī)律的形式，運(yùn)用到矩陣中。借助代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，可以很好地歸納矩陣的運(yùn)算規(guī)律，使得矩陣的運(yùn)算規(guī)律易記，易掌握，從而加深學(xué)生對(duì)矩陣運(yùn)算的理解和把握。

比如，在代數(shù)的運(yùn)算中有倒數(shù)運(yùn)算：11a=a。經(jīng)過(guò)兩次相同運(yùn)算，結(jié)果不變，還是a。矩陣運(yùn)算中也有類似運(yùn)算：（A-1）-1=A，（AT）T=A。即A的逆矩陣A-1，再求A-1的逆矩陣是A;A的轉(zhuǎn)置矩陣是AT，再作轉(zhuǎn)置運(yùn)算就是A。

又如，數(shù)的運(yùn)算中有乘方運(yùn)算：（xn）m=（xm）n，從形式上看，互換m，n的位置后，值不變。在矩陣運(yùn)算中也有類似運(yùn)算，例如，（A-1）*=（A*）-1，互換-1，*的位置后，矩陣的值不變;（AT）*=（A*）T，（AT）-1=（A-1）T也有相同的結(jié)論。其中A*是A的伴隨矩陣，AT是A是轉(zhuǎn)置矩陣。

此外，如果自然數(shù)k與矩陣的逆，轉(zhuǎn)置，伴隨矩陣的運(yùn)算結(jié)合，也有如下運(yùn)算規(guī)律：

（Ak）-1=（A-1）k，（Ak）*=（A*）k，（Ak）T=（AT）k

k分別與T，-1，*互換位置后，矩陣的值不變，其中k是整數(shù)。

依據(jù)以上分析，我們就可以概括出T，-1，*，k次冪運(yùn)算規(guī)律，總結(jié)如下：

（1）抵消運(yùn)算：（A-1）-1=A，（AT）T=A;

（2）乘方運(yùn)算：（A-1）*=（A*）-1，（AT）*=（A*）T，（AT）-1=（A-1）T;

（3）互換位置：（AB）-1=B-1A-1，（AB）T=BTAT，（AB）*=B*A*;

（4）k次冪：（Ak）-1=（A-1）k，（Ak）*=（A*）k，（Ak）T=（AT）k。

二、深化逆矩陣的求解方法

逆矩陣概念是一個(gè)重要概念，逆矩陣計(jì)算是矩陣內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)中加強(qiáng)逆矩陣計(jì)算的講解，不但是計(jì)算本身所必需，也可加深對(duì)矩陣知識(shí)的理解和掌握。如何就逆矩陣作深入的講解，需要從多個(gè)角度或多種方法去分析，這樣才會(huì)有更好的效果。

逆矩陣的計(jì)算，教科書(shū)講得比較多的主要是以下三種方法，且這三種方法運(yùn)用得也比較多。

一是定義法，對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使AB=BA=E，則稱A矩陣是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。對(duì)于問(wèn)題中出現(xiàn)矩陣等式的，在證明矩陣可逆時(shí)，定義法是比較常用的一種方法。

二是公式法，即用公式求逆矩陣。

定理n階方陣A可逆的充要條件為|A|≠0，且A-1=A*|A|，其中A*是A的伴隨矩陣。

這種方法計(jì)算量較大，通常運(yùn)用在理論上或求階數(shù)較低方陣的逆矩陣。

三是初等行變換法。設(shè)A是n階矩陣，構(gòu)造n×2n階矩陣（A E），然后對(duì)其施以初行變換將矩陣A化為單位矩陣E，則上述初等行變換同時(shí)也將其中的單位矩陣E化為A-1，即：

（A E）初等行變換（E A-1）

除此之外，可以用綜合除法求一類抽象矩陣的逆矩陣。因?yàn)椋幸活惽竽婢仃噯?wèn)題，未給出方陣A的元素，僅給出A滿足某些條件，要求A的某個(gè)多項(xiàng)式f（A）是可逆矩陣，且要寫(xiě)出其逆矩陣。這類問(wèn)題的一般解法是將題設(shè)條件恒等變形，使之成為一個(gè)等式，等式一邊是f（A）乘以矩陣B，另一邊是E。但是，許多參考資料只是給出f（A）乘以矩陣B的結(jié)果，并未給出計(jì)算過(guò)程。而f（A）乘以矩陣B正是解這類題的關(guān)鍵?？梢杂镁C合除法給出計(jì)算f（A）乘以矩陣B的計(jì)算過(guò)程。

例：設(shè)方陣A滿足方程A2-A-2E=0，證明：A+2E可逆，并求它的逆矩陣。

分析：要證A+2E可逆，結(jié)合已知條件，就要對(duì)A2-A-2E=O分解出A+2E。這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為從多項(xiàng)式x2-x-2中分解出因式x+2，因此可以用綜合除法進(jìn)行因式分解來(lái)解決。

所以x2-x-2=（x+2）（x-3）+4。從而A2-A-2E=（A+2E）（A-3E）+4E。

解：因?yàn)锳2-A-2E=（A+2E）（A-3E）+4E=O，所以（A+2E）（A-3E）=-4E。從而A+2E可逆，它的逆矩陣是（A+2E）-1=-14（A-3E）。

三、用綜合除法求矩陣的特征值

特征值的求解也是矩陣的一個(gè)重要內(nèi)容。但在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)求矩陣的特征值感到困難.如求矩陣-122

2-1-2

2-2-1的特征值，許多教材上只有三次多項(xiàng)的分解式，沒(méi)有求分解的過(guò)程便直接得出如下結(jié)果：

A-λE=-1-λ22

2-1-λ-2

2-2-1-λ=（λ-1）2（λ+5）

如果不能求出特征向量，就不能進(jìn)行矩陣的對(duì)角化等各種與特征值有關(guān)的計(jì)算。因此，求出矩陣的特征值顯得非常重要。

下面介紹用綜合除法求矩陣特征值的方法。

定理 設(shè)f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有理數(shù)uv是f（x）的一個(gè)根（其中u，v是互質(zhì)的整數(shù)），那么：

（1）v整除f（x）的首項(xiàng)系數(shù)a0，u整除f（x）的常數(shù)項(xiàng)an;

（2）f（x）=x-uvq（x），其中q（x）是整系數(shù)多項(xiàng)式。

矩陣的特征多項(xiàng)式可寫(xiě)成f（λ）=A-λE，其中矩陣A的元素是整數(shù)。f（λ）的首項(xiàng)系數(shù)是1或1。首先，根據(jù)以上定理，f（λ）=0的根一定整除常數(shù)項(xiàng)。如果常數(shù)項(xiàng)的數(shù)值不大，可以通過(guò)試根的方法求出f（λ）=0的部分根。其次，求特征值時(shí)，不僅要求出全部特征值，還要知道特征值是f（λ）=0的幾重根。但上述定理不能解決根的重?cái)?shù)問(wèn)題。當(dāng)f（λ）=0有重根時(shí)，結(jié)合綜合除法，就能確定根的重?cái)?shù)。

例：設(shè)矩陣A=122

212

221，求A的特征值。

解 矩陣A的特征方程為：

f（λ）=λE-A=λ-1-2-2

-2λ-1-2

-2-2λ-1=λ3-3λ2-9λ-5=0

f（λ）=0可能的根是±1，±5。容易驗(yàn)算λ1=5，λ2=-1是特征根。此時(shí)方程可能有重根，用綜合除法，可以求出根的重?cái)?shù)。

從而x3-3x2-9x-5=（x-5）（x2+2x+1）=（x-5）（x+1）2。λ=-1是二重根，矩陣A的特征值是λ1=5，λ2=-1，λ3=-1。

對(duì)高于3階的矩陣，它的特征多項(xiàng)式是一個(gè)高次方程?？梢岳蒙鲜龆ɡ硐惹蟪霾糠謱?shí)根，結(jié)合多項(xiàng)式綜合除法，就可以得到方程的部分實(shí)根及其重?cái)?shù)。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，多視角的矩陣教學(xué)，可以解決矩陣教學(xué)中部分難以掌握的內(nèi)容，在一定程度上拓寬了學(xué)生的思路，是矩陣教學(xué)中值得探索和有效的方法。以上所列舉的三個(gè)方面的矩陣教學(xué)探索，是基于知識(shí)之間的相似性和相關(guān)性進(jìn)行的。但與矩陣知識(shí)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)并不僅僅局限于以上提到的三個(gè)方面的分析講解，還可以結(jié)合更多相關(guān)知識(shí)進(jìn)一步探索實(shí)踐。另外，多視角的矩陣教學(xué)，還可以從矩陣知識(shí)的應(yīng)用性角度，深化學(xué)生對(duì)矩陣知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解。因?yàn)?，矩陣一些基本概念有很?qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，若在講授這基本概念之前，能從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)歸納總結(jié)，引申出矩陣概念，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，矩陣知識(shí)本身也還有很強(qiáng)的應(yīng)用性。在教學(xué)過(guò)程中，可以把矩陣的計(jì)算知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用知識(shí)或應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)合起來(lái)講解，同樣可以增加學(xué)生對(duì)抽象的矩陣知識(shí)的認(rèn)識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)興趣和積極性?？傊虒W(xué)有法，但無(wú)常法，只有不斷總結(jié)和探索，才會(huì)取得更好的教學(xué)效果。

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作者簡(jiǎn)介：潘就合（1965— ），男，漢族，廣西賀州人，本科，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)教育、信息文化。