類比遷移，突出研究路徑和方法

張蕾萍

摘要：蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第5章第2節(jié)《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》安排了3課時(shí)，分別引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)形如y=ax2，y=ax2+k、y=a（x+h）2，y=a（x+h）2+k、y=ax2+bx+c的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。有必要“放眼全局”“瞻前顧后”，對(duì)這一單元進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)。具體地，可以引導(dǎo)學(xué)生類比遷移研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，抓住從特殊到一般的研究路徑和數(shù)形結(jié)合的研究方法，研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧w教學(xué);類比遷移;研究路徑;研究方法;二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第5章第2節(jié)《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》安排了3課時(shí)，分別引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)形如y=ax2，y=ax2+k、y=a（x+h）2，y=a（x+h）2+k、y=ax2+bx+c的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這樣分課時(shí)的學(xué)習(xí)有利于分解難點(diǎn)，逐個(gè)突破，但容易忽略知識(shí)之間的聯(lián)系，使得所學(xué)習(xí)的知識(shí)是零散、孤立、碎片化的，缺乏整體性。這不利于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成和優(yōu)化，也不利于學(xué)生核心素養(yǎng)（思維能力）的培養(yǎng)和發(fā)展，因而不利于學(xué)生真正理解和掌握知識(shí)。因此，有必要“放眼全局”“瞻前顧后”，對(duì)這一單元（任何具有內(nèi)在聯(lián)系的內(nèi)容模塊都可以被視為“單元”）進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)。

“放眼全局”，分析3課時(shí)內(nèi)容的聯(lián)系，可以發(fā)現(xiàn)：它們之間是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的遞進(jìn)關(guān)系，體現(xiàn)了從解析式到圖像再到性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合方法，共同構(gòu)成了研究二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的路徑和方法。“瞻前顧后”，分析這一節(jié)內(nèi)容與這一章其他節(jié)內(nèi)容的聯(lián)系，可以發(fā)現(xiàn)：它們共同構(gòu)成了“定義—圖像和性質(zhì)—應(yīng)用”的函數(shù)研究路徑。因此，可以抓住研究路徑和方法這樣的策略性知識(shí)，對(duì)這一單元進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)。

此外，學(xué)習(xí)不是被動(dòng)接受的過(guò)程，而是主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，是利用原有的知識(shí)探索發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而同化和順應(yīng)新知識(shí)的過(guò)程。對(duì)于《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》這一節(jié)內(nèi)容，分析學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，初步積累了研究函數(shù)圖像和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比遷移這些經(jīng)驗(yàn)，研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

由此，大致的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

一、類比遷移已有經(jīng)驗(yàn)，初步建構(gòu)研究路徑和方法

問(wèn)題1之前我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些函數(shù)？對(duì)于這些函數(shù)，我們除了研究定義，還研究了什么？

問(wèn)題2我們剛剛學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的定義，你認(rèn)為接下來(lái)要研究二次函數(shù)的什么？

問(wèn)題3我們是如何研究一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的？路徑如何？方法如何？

問(wèn)題4類比一次函數(shù)，如何研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)呢？

問(wèn)題1引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，概括得出函數(shù)研究的一般路徑，即“定義—圖像和性質(zhì)—應(yīng)用”。問(wèn)題2引導(dǎo)學(xué)生基于函數(shù)研究的一般路徑，自然得出接下來(lái)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，即“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”。

問(wèn)題3和問(wèn)題4則引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究路徑和方法，類比得到二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究路徑和方法，即從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的遞進(jìn)和從解析式到圖像再到性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合。

二、研究幾種形式之間的關(guān)系，具體明確從特殊到一般的路徑

問(wèn)題5具體而言，你能設(shè)計(jì)出怎樣的研究路徑？

追問(wèn)具體而言，一次函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究路徑是什么？二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)呢？

問(wèn)題6哪一種路徑更合理？

追問(wèn)一次函數(shù)的研究路徑下，兩種形式y(tǒng)=kx與y=kx+b的圖像之間有什么關(guān)系？二次函數(shù)的研究路徑下，各種形式的圖像之間有什么關(guān)系？

問(wèn)題5及其追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)從y=kx（分k>0和k<0兩種情況）到y(tǒng)=kx+b的具體研究路徑，設(shè)計(jì)出二次函數(shù)的兩條研究路徑：一是從特殊的y=ax2到一般的y=ax2（分a>0和a<0兩種情況），到復(fù)雜的y=ax2+c和y=ax2+bx，再到更復(fù)雜的y=ax2+bx+c;二是從特殊的y=ax2到一般的y=ax2（分a>0和a<0兩種情況），到復(fù)雜的y=ax2+k和y=a（x+h）2，再到更復(fù)雜的y=a（x+h）2+k。

問(wèn)題6及其追問(wèn)則引導(dǎo)學(xué)生采用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，類比一次函數(shù)兩種形式的圖像之間的平移關(guān)系，逐步發(fā)現(xiàn)兩條研究路徑下，二次函數(shù)幾種形式的圖像之間是否有平移關(guān)系，從而確定第二條研究路徑更合理。

這里，特別要注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)y=ax2+bx+c和y=a（x+h）2+k可以相互轉(zhuǎn)化，本質(zhì)上是同一種形式，從而發(fā)現(xiàn)兩條研究路徑“殊途同歸”，進(jìn)而確定后續(xù)學(xué)習(xí)應(yīng)該選擇第二條研究路徑。

三、研究最簡(jiǎn)單形式的圖像和性質(zhì)，充分感悟數(shù)形結(jié)合的方法

問(wèn)題7根據(jù)二次函數(shù)y=x2的解析式，你能猜測(cè)其圖像有什么特征嗎？

問(wèn)題8對(duì)y=x2取值、列表，根據(jù)得到的數(shù)對(duì)特征，你能驗(yàn)證你的猜想嗎？

問(wèn)題9對(duì)y=x2描點(diǎn)、連線，根據(jù)得到的函數(shù)圖像，你能描述函數(shù)的性質(zhì)嗎？

問(wèn)題10類似地，你能研究二次函數(shù)y=-x2的圖像和性質(zhì)嗎？

問(wèn)題12你能嘗試概括二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)嗎？

問(wèn)題7引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)二次函數(shù)y=x2的解析式，考慮自變量x的取值，分析y對(duì)應(yīng)的值，猜想其圖像的特征，包括大致位置和變化趨勢(shì)、對(duì)稱性和增減性等。問(wèn)題8引導(dǎo)學(xué)生從解析式到具體值，進(jìn)一步驗(yàn)證二次函數(shù)y=x2圖像的特征。問(wèn)題9引導(dǎo)學(xué)生從具體值到圖像，進(jìn)一步提煉二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)。由此，學(xué)生充分經(jīng)歷“由式想形（猜想）→描點(diǎn)作圖（驗(yàn)證）→由形到性（完善）”的函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究過(guò)程，感悟數(shù)形結(jié)合的研究方法。

經(jīng)過(guò)上述教學(xué)過(guò)程，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究路徑和方法有了清晰而深刻的認(rèn)識(shí)。接下來(lái)，可以讓學(xué)生自主研究其他形式的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

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