一個高維非線性方程的三波解

郭婷婷

(山西工程科技職業(yè)大學 數(shù)學教學研究部,山西 太原 030619)

0 引言

繼相對論和量子力學之后,對非線性科學的研究在自然科學中異軍突起。而孤立子理論作為該領域內(nèi)的一個重要分支,為數(shù)學物理及相關(guān)學科開辟出一片新天地,例如非線性光學中涉及的空間光孤子,電荷密度波,生物科學中研究的達維多夫孤子等。數(shù)學的啟發(fā)性與相關(guān)學科的應用性相得益彰,孤子理論研究領域生機盎然。

孤子是一種非線性現(xiàn)象,為合理描述其不斷演化的力學性態(tài),對非線性孤波模型的求解顯得尤為重要。隨著孤子問題的深入研究,許多有效的求解方法應運而生,例如:Lie代數(shù)方法[1-2]、Pfaffian化技巧[3]、黎曼Theta函數(shù)方法[4]、Wronskian技巧[5]、Hirota方法[6]、Bell多項式方法[7]等。在直接對非線性偏微分方程求解較困難的情況下,可以借助Bell多項式、雙線性算子等工具將其雙線性化,進而為方程求解拓寬道路。

對于(3+1)維非線性偏微分方程

(1)

1 雙線性算子與雙線性方程

一般地,對于給定的自然數(shù)q,引入雙線性Dq微分算子:

(2)

這里k≥1,δj=(-1)r(j),j≥0,r(j)表示被q整除所得的余數(shù)。當q取自然數(shù)1,2,3時,δj的取值情況如下：

q=1:+,+,+,+,+,+,…,j=0,1,2,…

q=2:+,-,+,-,+,-,…,j=0,1,2,…

q=3:+,-,+,+,-,+,…,j=0,1,2,…

可以看出,當q=1時,Dq算子為一般的導數(shù);當q=2時,Dq算子為Hirota雙線性算子;當q=3時,Dq算子的表達式將不同于Hirota算子。

對于非線性方程(1),通過做應變量變換φ(t,z,y,x)=-3[lng(t,z,y,x)]xx,可轉(zhuǎn)化為

(3gxz-2gyt-g3xy)g+3gx(g2x,y-gz)-3g2xgxy+gy(2gt+g3x)=0

(3)

結(jié)合雙線性Dq算子(2)的定義,我們考慮q=2時的情形,將其轉(zhuǎn)化為雙線性型方程

(4)

下面我們來構(gòu)造方程(1)的三波解。

2 一個(3+1)維非線性方程的三波解

對于一個可積的非線性方程,我們可以運用擬設解的方法來構(gòu)造方程的解,通過平衡方程,確定待定系數(shù),進而得到給定方程更多的精確解,來豐富非線性波動模型的解集。根據(jù)推廣的三波方法,首先假設雙線性方程(4)存在解：

g(t,z,y,x)=p1(eα1+e-α1)+p2cosα2+p3sinα3

(5)

其中αi=dit+ciz+biy+aix,i=1,2,3,這里ai,bi,ci,di為待定系數(shù)。將表達式(5)代入雙線性方程(4),并平衡方程中包含e-α1,eα1,cosα2,sinα2,cosα3,sinα3項的系數(shù),將得到一組關(guān)于ai,bi,ci,di,pi(i=1,2,3)的代數(shù)方程,通過符號計算軟件Maple求解出該代數(shù)系統(tǒng)。

2.1 第一種情況

(6)

這里a1,b3,c1,c2,c3,p1,p2,p3為非零的常數(shù),ε=±1,與之相應可以確定

(7)

為雙線性方程(4)的解,

(8)

為(3+1)維非線性方程(1)的精確解。為分析該孤波不斷演化的性態(tài),圖1給出t=0和t=4兩幅波形圖。隨著時間的推移,孤波向著y軸負半軸方向運動。

(a) t=0

(b) t=4

2.2 第二種情況

(9)

這里a2,b2,b3,c1,p1,p2,p3為非零的常數(shù),ε=±1,將以上復系數(shù)解代入(5)式,有以下表達式成立:

(10)

因而,(3+1)維方程(1)有以下解：

(11)

為描述孤子解的傳播態(tài)勢,圖2給出兩幅將y,z確定后,孤波隨x和t變化的波形圖,可以看出,孤波位于xot坐標面的下方。

(a) y=-3

(b) y=3

2.3 第三種情況

(12)

其中ε=±1,a3,b1,b2,b3,c1為非零的常數(shù),結(jié)合以上系數(shù)表達式,雙線性方程(4)存在解：

(13)

相應地,(3+1)維偏微分方程(1)存在解：

(14)

為了解孤子動態(tài),我們給出一種x=0,y=1時的波動圖,如圖3所示。

圖3 當p1=b1=c1=y=1,p2=2,p3=-2i,a3=i,b2=-i,b3=i,x=0時的三波解(式(14))Fig.3 The three-wave solution(14)with p1=b1=c1=y=1,p2=2,p3=-2i,a3=i,b2=-i,b3=i,x=0

2.4 第四種情況

(15)

其中,a2,a3,b1,b2,c1,p1,p2,p3為可以自由選取的非零實常數(shù),將以上實系數(shù)代入(5)式,得雙線性方程(4)的解：

(16)

于是,我們得到非線性方程(1)的三波解：

(17)

特別地,當x=z=2時,孤波(17)的力學性態(tài)如圖4所示。

圖4 當p1=p2=1,b2=-1,p3=a2=b1=z=x=2,a3=c1=3時的三波解 (式(17))Fig.4 The three-wave solution(17)p1=p2=1,b2=-1,p3=a2=b1=z=x=2,a3=c1=3

3 結(jié)論

對于高維孤子方程(1),為方便尋求其孤子解,可引入雙線性Dq微分算子,將其轉(zhuǎn)化為相應的雙線性方程(4),依據(jù)推廣的三波方法,提前擬設雙線性型方程(4)具有形式解(5),其中的待定參數(shù)將通過符號計算軟件Maple獲取,構(gòu)造出雙線性方程(4)的四種解,其中解(7)、(10)、(13)是復系數(shù)解,(16)式為實系數(shù)解。相應地,(3+1)維孤子方程(1)的三波解為(8)、(11)、(14)、(17)式,并分別給出四種情況下的六幅波形圖,這種求三波解的方法可以推廣到許多高維孤子方程上。