高等數(shù)學(xué)中空間曲線切線求法的探討

張俊強 畢金龍 胡澳欣 茍喬笙

〈中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院 北京 100083〉

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是高校理工科專業(yè)學(xué)生第一年的一門必修課。由于該課程內(nèi)容多且難度大，因此大部分教材將其分成上下兩冊進(jìn)行兩學(xué)期講授。以同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等數(shù)學(xué)》[1]為例，下冊主要包括向量與空間解析幾何，多元函數(shù)微分學(xué)，重積分，曲線和曲面積分，無窮級數(shù)等內(nèi)容。其中空間解析幾何部分主要介紹了空間的直線，平面，曲線和曲面的性質(zhì)。在介紹完多元函數(shù)的微分學(xué)之后，以此作為研究工具，課本介紹了空間曲線切線和法平面以及空間曲面的切平面及法線的求法。學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，往往感到概念公式繁多、計算復(fù)雜、缺少幾何直觀等，這是造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的主要原因。

別一方面，十七世紀(jì)，著名的捷克教育學(xué)家夸美紐斯在他的著作《大教學(xué)論》中首次提出了“直觀教學(xué)”的思想并主張將“直觀性”作為一項基本教育原則。這一理論的核心觀點認(rèn)為“一切知識都是從感官的感知開始的，在可能的范圍內(nèi)，一切事物都應(yīng)盡量放在感官跟前，如果得不到實物，就用圖像、模型等直觀教具代替”[2]?；居谌祟惖恼J(rèn)知特點，人們往往對直觀的視覺刺激比對枯燥的文字描述和公式推導(dǎo)更加印象深刻。作者在進(jìn)行創(chuàng)新性教學(xué)活動中體會到，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，對那些有實際應(yīng)用背景以及幾何直觀性強的內(nèi)容更容易接受和掌握。因此，針對高等數(shù)學(xué)下冊部分幾何直觀性強的特點，本文對其教學(xué)方法做了新的探索。

同濟版《高等數(shù)學(xué)》下冊在第九章第六節(jié)介紹了空間曲線的切線方程的求法[1]：設(shè)Γ是三維空間中的一條曲線，設(shè)其方程為

設(shè)M(x0,y0,z0)是Γ上的一個點，下面求在M處Γ的切線方程。假設(shè)F,G具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足

由此（隱函數(shù)存在性定理可））在M(x0,y0,z0)的一個鄰域內(nèi)可確定一組函數(shù)y=(x)和z=ψ(x)。由此可得曲線Γ的參數(shù)方程為：

再由曲線參數(shù)方程求處切向量的方法，可知Γ在M處的切向量為

另一方面，根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)公式，我們有

其中

進(jìn)一步化簡，可得Γ在點M處的切向量為

再由直線的對稱式方程可知，曲線Γ在點M處的切線方程為

教材在介紹完空間曲線切線的求法之后，緊接著又講了空間曲面的切平面求法。觀察上述推導(dǎo)切線方程的步驟，我們發(fā)現(xiàn)其關(guān)鍵點是利用了隱函數(shù)存在性定理及其求導(dǎo)公式。這部分知識是前一節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生剛學(xué)完還比較熟悉，因此，這樣講解可以使學(xué)生強化之前所學(xué)的知識，并且使學(xué)生體會到所學(xué)知識在解決具體幾何問題中的應(yīng)用，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感。但另一方面，該方法也存在不足，其最大的不足是隱函數(shù)求導(dǎo)公式本身就比較繁瑣、復(fù)雜且推導(dǎo)過程沒有幾何直觀，不利于學(xué)生理解與記憶。對公式記憶不牢或記錯公式是導(dǎo)致學(xué)生考試成績不理想的一個主要原因，因在在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)時，要盡量地精簡公式，減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。本文的一個目的就是通過借鑒文獻(xiàn)[3,4]中的想法，探索空間曲線切線新的求法。

不同于同濟版教材先介紹曲線的切線再介紹曲面的切平面的次序，我們可以先研究曲面的切平面方程，然后再利用曲線和曲面以及切平面和切線的幾何關(guān)系，導(dǎo)出空間曲線的切線方程，這樣的推導(dǎo)更具幾何直觀性。具體地，設(shè)F(x,y,z)=0表示空間一個曲面，并選取該曲面上的一個點M (x0,y0,z0)，則由同濟教材推導(dǎo)[1]可知，曲面在M處的切平面方程為

Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0.

即?？醋鲀蓚€曲面Σ1:F(x,y,z)=0，和Σ2:G(x,y,z)=0的交線。取其上一點M(x0,y0,z0),下面我們求Γ在點M處切線的方程。由于M∈Σ1且M∈Σ2，分別考慮兩曲面在該點的切平面：

Π1:Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0.

和

Π2:Gx(x0,y0,z0)(x-x0)+Gy(x0,y0,z0)(y-y0)+Gz(x0,y0,z0)(zz0)=0.

則由幾何直觀容易看出，Γ在點M處的切線即為Π1和Π2的交線，即所求切線方程為：

因此所求切線的對稱式方程為

以上是高等教學(xué)中一個簡單的例子，但卻啟示我們，講授高等數(shù)學(xué)這門課時應(yīng)該多利用數(shù)學(xué)對象的幾何直觀進(jìn)行新的教學(xué)方法的探究，從而使學(xué)生更好地學(xué)好數(shù)學(xué)這門課。