淺析轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

◎ 蔣 剛

高中階段的數(shù)學(xué)習(xí)題，重點(diǎn)考查了學(xué)生思維的靈活性與邏輯性。許多高中生的解題思維比較簡單，面對例題時(shí)，常常會(huì)覺得這些題的思路比較明確，而在遇到類似的習(xí)題時(shí)，則又出現(xiàn)無從下手的情況。針對學(xué)生的解題問題，轉(zhuǎn)化思想得到了深入應(yīng)用，它可以將復(fù)雜的問題簡潔化，幫助學(xué)生迅速聯(lián)想到熟悉的知識(shí)點(diǎn)，以減輕解題難度，提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確率。

一、化繁為簡

許多數(shù)學(xué)問題看上去十分復(fù)雜，找不到解題的突破口，但只要適當(dāng)?shù)貙㈩}目進(jìn)行轉(zhuǎn)化。擊碎外表那層神秘的“面具”，學(xué)生就能一目了然的看清其中的本質(zhì)。應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，可以將題目化繁為簡，幫助學(xué)生捕捉到解題的切入點(diǎn)，從迷霧重重過渡到柳暗花明。

例如:已知有x，y兩個(gè)未知數(shù)，滿足函數(shù)=0，試問的取值范圍為多少? 對于這個(gè)問題，學(xué)生們往往會(huì)感到十分費(fèi)解，從表面上分析，想要求出的取值范圍，就要分別求出x和y的取值范圍。而在這個(gè)函數(shù)中，x的最大值和最小值是否能正好對應(yīng)y的最大值和最小值，似乎還需要通過圖像來進(jìn)一步判定。由此，這道題的解析思路就變得十分復(fù)雜。如果通過轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用換元法來重新變換這道題目，就能起到化繁為簡的目的。

比如，假設(shè)k=則y=k(x-2)+2，代入到原式之中，就等于，將原式重新整理，就能聯(lián)立出x與k之間的函數(shù)關(guān)系式(1-k2)x2—2(2k2-k+1)x-(4k2-4k-1)=0，隨后，令△≥0，就能進(jìn)一步得出關(guān)于k的不等式，從而求出最后的取值范圍。由此可見，巧妙應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，可以將看似復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)變成單純的二次函數(shù)運(yùn)算，幫助學(xué)生快速找到解題的路徑。

二、數(shù)形結(jié)合

對于高中時(shí)期的習(xí)題而言，大部分題目都需要采用數(shù)形結(jié)合的方法來進(jìn)行解析。而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，同樣可以將復(fù)雜的“數(shù)”類問題轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，以起到簡化解題思路，提高解題效率的目的。

例如:已知有兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，滿足某函數(shù)(x-2)2+y2=1，試求的最大值為多少? 學(xué)生在面對這道題時(shí)，很容易產(chǎn)生困惑，因?yàn)檫@道函數(shù)題與二次函數(shù)最值問題的思路截然不同。似乎無法通過對稱軸的方式來判定最大值所處的地方。此時(shí)，學(xué)生就要轉(zhuǎn)換思路，思考這個(gè)函數(shù)滿足什么類型的圖像，能否從對應(yīng)的圖像上找到解題的切入點(diǎn)。

從函數(shù)的特點(diǎn)上進(jìn)行分析，該函數(shù)明顯屬于圓心為(2，0)，半徑為1 的圓形圖像。因此，可以在坐標(biāo)系中繪制出圖像(如圖一)。通過圖像，不難發(fā)現(xiàn)可以表示為換言之，也就是過圓上一點(diǎn)(設(shè)為A)與原點(diǎn)相連的直線OA的斜率，并求該斜率的最大值。從圖形上可見，當(dāng)直線OA與圓相切時(shí)，斜率值最大。此時(shí)OA⊥AG，通過計(jì)算，不難求出斜率的最大值為

三、正逆轉(zhuǎn)化

觀察部分高中數(shù)學(xué)題，題干的答案往往有非正即反的特點(diǎn)。學(xué)生在解題過程中，發(fā)現(xiàn)如果按照正面的思路，需要進(jìn)行大量的分類討論，解題過程十分復(fù)雜。而應(yīng)用逆向思維，可以另辟蹊徑，從未知的角度入手，反向推導(dǎo)出隱藏的已知條件。因此，學(xué)生們在解題中遇到困境時(shí)，不妨從反面的角度入手，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，鍛煉逆向思維，從而有效突破難題。

例如:從某個(gè)四面體中，提取所有的頂點(diǎn)，以及每一條棱的中點(diǎn)，共能找出10 個(gè)點(diǎn)，如果從10 個(gè)點(diǎn)中選取4 個(gè)不共面的點(diǎn)，那么一共有多少種取法? 學(xué)生在解答這道題目時(shí)，若采用正面思維，分類討論的情況將十分復(fù)雜，不易進(jìn)行分析。而將題目的特點(diǎn)進(jìn)行細(xì)致剖析，則可以得出以下結(jié)論:除了4 個(gè)點(diǎn)不共面以外，其他的情況一定是4 個(gè)點(diǎn)共面。因此，學(xué)生只要從反面進(jìn)行思考，找出所有4 個(gè)點(diǎn)共面的情況，再從所有的取法中減掉，就能求出該題的最后答案。

通過分析，4 點(diǎn)為同一面的情況可以分為三種情況。第一種:這四個(gè)點(diǎn)恰好為四面體的同一個(gè)面，而四面體的任意一面都為三角形，根據(jù)題意，包括三個(gè)頂點(diǎn)和三條邊的中點(diǎn)，一共6 個(gè)點(diǎn)。那么代入公式計(jì)算，共有個(gè)4 點(diǎn)同面的情況。第二種:先保證三點(diǎn)為一邊，也就是四面體的同一條棱上，剩下的最后一點(diǎn)選擇對面棱的中點(diǎn)。這四點(diǎn)滿足共面的要求，因?yàn)樗拿骟w有6 條棱，所以有該情況有6 種可能。此時(shí)學(xué)生需要注意，不能選擇與該棱相近棱上的任意一點(diǎn)，不然會(huì)與第一種情況出現(xiàn)重復(fù)。第三種，找出四面體中各個(gè)三角形面的中位線，也就是相鄰兩條棱中點(diǎn)的連線。將這些中線進(jìn)行組合，正好可以構(gòu)成三個(gè)平行四邊形。綜合以上分析，上述幾種情況都不滿足題意要求，應(yīng)當(dāng)從總數(shù)中進(jìn)行刪減，經(jīng)計(jì)算，不難求出最后的答案為141。

四、主次變換

在解答數(shù)學(xué)題的過程中，通常會(huì)遇到主要變量和次要變量。一般來說，主要變量是題干要求解答的目標(biāo)，而次要變量屬于題目中的關(guān)鍵信息。在實(shí)際解題中，如果學(xué)生直接針對主要變量，計(jì)算的過程往往比較復(fù)雜。而采用主次變換的方式，調(diào)換兩種變量的位置，原本繁雜的題目就能變得清晰明了。

如:已知4x+1≥m(x2-1)對于m∈[-3，3]恒成立，試求x的取值范圍為多少? 通過這個(gè)題目可以判斷，主要變量為x，也就是本題所要求解的最終目標(biāo)。而m為次要變量，也就是題干中給出的關(guān)鍵信息。想要求得x的范圍，按照傳統(tǒng)的解題思路，通常會(huì)將m代入進(jìn)去，以進(jìn)行求解。而這種解題方式需要花費(fèi)大量的精力來完成運(yùn)算，且很難保證絕對的準(zhǔn)確度。因此，需要換一種思路，通過轉(zhuǎn)換思維，來轉(zhuǎn)換兩種變量的定位。

解題過程如下:首先，建立關(guān)于m的函數(shù)f(m)，則f(m)=m(x2-1)-4x-1。此時(shí)f(m)≤0 恒成立，且m∈[-3，3]。由此可見，當(dāng)兩種變量的主次發(fā)生了轉(zhuǎn)變，這道題目就巧妙的轉(zhuǎn)化成了一次函數(shù)的圖像問題。在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行細(xì)致的分析，根據(jù)一次函數(shù)的公式y(tǒng)=kx+b來進(jìn)行分類討論，探究該一次函數(shù)圖像在[-2，2]之間的單調(diào)性問題。通過以上解題過程，學(xué)生們不難梳理解題思路，求出最后的答案。

總之，在高中數(shù)學(xué)解題過程中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可以幫助學(xué)生突破固有的解題思路。教師要在解題教學(xué)中積極滲透轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生能規(guī)避掉數(shù)學(xué)題中的“礁石”，成功化繁為簡，從而準(zhǔn)確求解出答案。