基于可控性的城市軌道交通客流控制車站識(shí)別方法

肖中圣，許奇*，馮旭杰，李佳杰

(1.北京交通大學(xué)，a.綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.中國綜合交通研究中心，北京100044；2.交通運(yùn)輸部科學(xué)研究院，北京100038)

0 引言

城市軌道交通客流需求的迅猛增長與難以提高的運(yùn)輸能力之間存在日益尖銳的矛盾[1]。京滬深等特大城市均采取常態(tài)化客流控制措施以保證運(yùn)營安全，然而應(yīng)采取客流控制措施車站(本文將此類車站稱為客流控制車站)的確定通常依靠運(yùn)營管理人員的工作經(jīng)驗(yàn)以及車站本身的情況?？茖W(xué)的識(shí)別方法和全局統(tǒng)籌思想的缺失，使城市軌道交通系統(tǒng)能力利用不充分，增加了乘客不必要的進(jìn)站時(shí)間[2]。

針對客流控制問題，國內(nèi)外學(xué)者多圍繞單一車站或線路對客流控制措施進(jìn)行研究。Liu 等[2]將客流控制措施與時(shí)刻表融合，通過線性規(guī)劃模型對單線客流控制措施進(jìn)行研究。陳維亞等[4]考慮客流安全容量等約束，提出一種大小交路方案與聯(lián)合限流相結(jié)合的運(yùn)輸組織方法。Xu 等[5]進(jìn)一步考慮了大客流沖擊下的站臺(tái)安全容量約束，在保證安全運(yùn)營的前提下盡可能地減小乘客延誤、提高服務(wù)水平。但既有研究對全網(wǎng)系統(tǒng)性的客流控制考慮得仍不夠充分。

客流控制的本質(zhì)是使城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)營維持穩(wěn)定的狀態(tài)，對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行控制并使其達(dá)到期望狀態(tài)是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的最終目標(biāo)。已有部分學(xué)者基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性理論對客流控制進(jìn)行研究，曾璐等[6]基于結(jié)構(gòu)可控性提出網(wǎng)絡(luò)限流優(yōu)化控制方法。然而既有研究采用的結(jié)構(gòu)可控性框架僅適用于有向無權(quán)圖，城市軌道交通客流網(wǎng)絡(luò)是有向有權(quán)的[7]。而且，城市軌道交通系統(tǒng)是否滿足可控性理論的應(yīng)用條件需要進(jìn)行充分論證。

針對上述問題，本文通過車站的客流關(guān)系論證其線性時(shí)不變的特性，建立客流網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)模型。進(jìn)一步，根據(jù)嚴(yán)格可控性框架下的PBH(Pov-Belevitch-Hautus)判據(jù)和基于滯留人數(shù)的子網(wǎng)生成策略，提出客流控制車站的識(shí)別方法，并結(jié)合北京市軌道交通網(wǎng)絡(luò)和實(shí)際數(shù)據(jù)對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可控性

根據(jù)可控性理論，通過對目標(biāo)系統(tǒng)給定輸入信號(hào)u，當(dāng)u可以通過某一路徑達(dá)到所有的節(jié)點(diǎn)，使得系統(tǒng)從任意初始的狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到任意期望狀態(tài)x(tf)時(shí)，該系統(tǒng)是可控的。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性理論將網(wǎng)絡(luò)視為一個(gè)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)和M個(gè)控制節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為

式中：x(k) 為第k步網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量；A為網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣；Β為輸入矩陣，表示控制信號(hào)與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系；u(k)為第k步輸入控制信號(hào)的狀態(tài)向量。

Liu 等[8]基于Kalman 判據(jù)提出結(jié)構(gòu)可控性框架，該框架用于分析有向網(wǎng)絡(luò)是否可控。該框架結(jié)合最大匹配算法求得需要采取控制的節(jié)點(diǎn)——驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)。然而，結(jié)構(gòu)可控性框架僅適用于無權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)。且輸入矩陣和輸出矩陣的邊權(quán)組合為特殊情況時(shí)，結(jié)構(gòu)可控性框架會(huì)對網(wǎng)絡(luò)是否可控產(chǎn)生誤判。

為打破結(jié)構(gòu)可控性框架的限制，Yuan 等[9]以PBH判據(jù)為基礎(chǔ)提出嚴(yán)格可控性框架，該框架可用于任意網(wǎng)絡(luò)的可控性分析。因?yàn)閲?yán)格可控性適用于有權(quán)圖，所以避免了在網(wǎng)絡(luò)矩陣和輸入矩陣有極端值的邊權(quán)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控但實(shí)際上卻是不可控的情況，即嚴(yán)格可控性框架提高了判斷網(wǎng)絡(luò)是否可控的準(zhǔn)確性。相對于結(jié)構(gòu)可控性框架，后者的目標(biāo)也是網(wǎng)絡(luò)是否完全可控，對所需要的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)也沒有相關(guān)限制，兩者對比如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)可控性框架與嚴(yán)格可控性框架的對比Table 1 Comparison of structural controllability framework and exact controllability framework

根據(jù)PBH可控性判據(jù)，系統(tǒng)的可控性矩為

式中：λi為鄰接矩陣的任意特征值；I為單位矩陣。當(dāng)rank(C)等于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)規(guī)模N時(shí)，網(wǎng)絡(luò)可控。要使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到完全可控，關(guān)鍵是找到合適的輸入矩陣B，使得系統(tǒng)(A,B)滿足可控性條件。在可控性分析中，控制輸入越大則所需要的費(fèi)用越大，所以應(yīng)選擇網(wǎng)絡(luò)中盡可能少的節(jié)點(diǎn)施加外部控制信號(hào)，即輸入矩陣B的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)應(yīng)盡可能少。

2 城市軌道交通客流網(wǎng)絡(luò)的線性時(shí)不變特性驗(yàn)證

在確定控制方案的過程中，管理者應(yīng)控制盡量少的車站以達(dá)到預(yù)期效果，這與可控性理論中“盡量保持最少的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量”的理念一致，且車站采取的客流控制措施可視為對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)輸入的控制信號(hào)。因此，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中客流控制車站數(shù)量和識(shí)別問題可轉(zhuǎn)化為驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量和識(shí)別問題。

若將可控性理論應(yīng)用于城市軌道交通系統(tǒng)，則后者應(yīng)滿足線性時(shí)不變的特性。因?yàn)槌鞘熊壍澜煌ňW(wǎng)絡(luò)的物理基礎(chǔ)設(shè)施變化周期較長，短時(shí)間內(nèi)其物理拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生改變，且本文僅研究常規(guī)客流控制情況，突發(fā)事故導(dǎo)致的封站等情況不在考慮范圍內(nèi)。同時(shí)，其行車組織在不同天內(nèi)的相同時(shí)段也不會(huì)發(fā)生改變。所以城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)具有時(shí)不變特征。然而該系統(tǒng)是否滿足線性特征有待證明?；诖?，通過單個(gè)車站的斷面客流和進(jìn)出站客流之間的關(guān)系對線性特性進(jìn)行驗(yàn)證，如圖1所示。

圖1 車站客流示意圖Fig.1 Schematic diagram of passenger flow at station

節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)與相鄰節(jié)點(diǎn)i-1和i+1在第k時(shí)段的狀態(tài)有關(guān)。以圖1為例，線路上有3 個(gè)連續(xù)車站，其順序?yàn)檐囌緄-1，車站i，車站i+1，本文假設(shè)乘客在規(guī)定時(shí)間內(nèi)(第k時(shí)段至第k+1 時(shí)段之間的時(shí)間)完成站內(nèi)的行程。各站之間的斷面客流量和進(jìn)出站客流量的關(guān)系為

式中：fi(i-1)(k)為第k步由車站i到車站i-1的斷面客流量，其他同理；ui(k)為第k時(shí)段車站i的進(jìn)站量；vi(k)為第k時(shí)段車站i的出站量；a為某斷面上的乘客進(jìn)入下一個(gè)區(qū)間的比例；b為某斷面上的乘客下車出站的比例；c為某斷面上的乘客進(jìn)入下一個(gè)區(qū)間的比例。整理式(3)～式(5)可得

將節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)定義為與i站相連的區(qū)間斷面客流量的線性組合，則式(6)可整理為

式中：xi(k)為第k步車站i的客流狀態(tài)；m1，m2，m3，m4為常數(shù)，不同斷面的取值不同。由式(7)可知，城市軌道交通客流網(wǎng)絡(luò)滿足單個(gè)節(jié)點(diǎn)的線性特性。每個(gè)車站滿足線性特性，則全網(wǎng)所有車站均滿足該特性，進(jìn)一步代表全網(wǎng)滿足該特性。

3 城市軌道交通客流控制車站的識(shí)別方法

基于Yuan的算法[9]提出城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)客流控制車站的識(shí)別方法。驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)代表識(shí)別方法中的客流控制車站。城市軌道交通客流控制車站的識(shí)別問題即為如何找到網(wǎng)絡(luò)中適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)。根據(jù)PBH 判據(jù)，控制任意網(wǎng)絡(luò)所需要的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)Nd為

式中：N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量；λmin為鄰接矩陣A的最小特征值；Nd為矩陣A-λminI中線性相關(guān)的行數(shù)，而矩陣A-λminI的線性相關(guān)行所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)即為驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)。矩陣的線性相關(guān)行可通過初等變換得到，構(gòu)成線性相關(guān)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)組合雖不唯一，但最小驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)固定。鑒于此，采用奇異值分解算法計(jì)算λmin，并運(yùn)用初等行變換對驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行識(shí)別。網(wǎng)絡(luò)可控性nd則為驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量Nd與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)規(guī)模N的比值。

根據(jù)Yuan[9]的理論，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)因?yàn)榫哂行∈澜缧院蜔o標(biāo)度性，其驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量少。這會(huì)導(dǎo)致最初的識(shí)別方案無法與實(shí)際方案形成對比，單個(gè)結(jié)果較難驗(yàn)證該方法的適用性和準(zhǔn)確性。所以本文通過構(gòu)建子網(wǎng)的方式生成多個(gè)方案，不同子網(wǎng)代表城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)在不同時(shí)期的狀態(tài)。

早晚高峰期間，隨著車站滯留人數(shù)增多，會(huì)出現(xiàn)乘客無法上車的現(xiàn)象，對進(jìn)站乘客而言，該車站在這一時(shí)段將是不可用的。為了對結(jié)果進(jìn)行更充分的分析，針對超過一定滯留人數(shù)的車站，可采取策略將其相鄰的邊移除，生成更為稀疏的子網(wǎng)，并對子網(wǎng)進(jìn)行可控性分析。

滯留乘客Li為流入、流出車站i的客流之差的絕對值。Lt為滯留人數(shù)的閾值。具體步驟如下：

Step 1 導(dǎo)入城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣Au、斷面客流矩陣W以及進(jìn)出站客流量。計(jì)算Li中的最大值Lmax，設(shè)置間隔s，在區(qū)間(0,Lmax)中以s為間隔進(jìn)行取值，得到閾值集合L。

Step 2 從L中選擇最小值Lmin作為閾值對所有車站進(jìn)行篩選，如果Li>Lmin，則刪除所有與車站i相連的邊。篩選結(jié)束后得到子網(wǎng)Gsub，進(jìn)一步得到鄰接矩陣Asub。

Step 3 運(yùn)用奇異值分解算法，求出鄰接矩陣Asub的所有特征值λ，設(shè)置精度為10-6，如果任意兩個(gè)特征值之間的差小于精度，認(rèn)為兩個(gè)特征值相等。找出使rank(Asub-λiI) 最小的特征值λmin，并根據(jù)式(8)計(jì)算當(dāng)前閾值下網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量Nd。

Step 4 通過初等行變化，得到矩陣Asub-λiI的簡化行階梯形，其簡化行階梯的主元列對應(yīng)的車站即為客流控制車站，進(jìn)而得到客流控制車站集合。

Step 5 將Lt從L中剔除，判斷L是否為空集，如果L不是空集，則返回Step 2；否則，結(jié)束。

為評估該方法性能，以實(shí)際客流控制方案為基準(zhǔn)，引入計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中準(zhǔn)確率P、召回率R和假正例率PFPR這3個(gè)指標(biāo)。準(zhǔn)確率和召回率越高，識(shí)別方法的性能越好。其中，各概念互相對應(yīng)的情況如表2所示。

表2 概念間的對應(yīng)情況Table 2 Correspondence of concepts

(1)準(zhǔn)確率P

代表識(shí)別方法得到的車站集合中，實(shí)際客流控制車站在識(shí)別車站集合所占的比例，反映識(shí)別方法對實(shí)際客流控制車站匹配的精確性。

(2)召回率R

代表識(shí)別方法得到的車站集合中，實(shí)際客流控制車站在所有實(shí)際客流控制車站的比例，反映實(shí)際客流控制車站被驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)匹配的全面性。

(3)假正例率PFPR

代表識(shí)別方法得到的車站集合中，非實(shí)際客流控制車站占所有普通車站的比例，該指標(biāo)可反映識(shí)別方法的誤診程度，該值越小，則誤診程度越小。

4 案例分析

4.1 案例基本信息

本文數(shù)據(jù)集為2017年10月20日北京城市軌道交通早高峰6:30-9:30的斷面客流和進(jìn)出站客流，4.2 節(jié)和4.3 節(jié)使用7:00-8:00的數(shù)據(jù)，4.4 節(jié)使用6:30-7:00和9:00-9:30的數(shù)據(jù)。除去機(jī)場線和京港地鐵運(yùn)營的線路，北京城市軌道交通共計(jì)18 條運(yùn)營線路，車站234座(不包括重復(fù)計(jì)算的換乘站)，其中早高峰客流控制車站76座。鄰接矩陣Au的規(guī)模為234×234，斷面客流量作為邊權(quán)可得斷面客流矩陣W。

4.2 可控性分析

根據(jù)PBH可控性判據(jù)，計(jì)算鄰接矩陣Au，可得Nd=10，nd=0.043，表明在非高峰時(shí)段，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)無需控制。圖2為城市軌道交通客流網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量、邊數(shù)量與閾值間的相互關(guān)系。當(dāng)閾值小于3000 時(shí)，驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)迅速下降；當(dāng)閾值大于3000 時(shí)，驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量下降緩慢，說明網(wǎng)絡(luò)中大部分車站換入換出的客流差距較小。當(dāng)閾值在[4700,5700]時(shí)，驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量不變而邊數(shù)量不斷增加，說明在該識(shí)別方法下，部分滯留人數(shù)過高的車站對網(wǎng)絡(luò)整體的可控性并沒有影響。

圖2 網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)與閾值的關(guān)系Fig.2 Relationship between network drive nodes and threshold

由圖3可知，召回率和假正例率隨閾值增高呈指數(shù)下降趨勢，且假正利率下降速度高于召回率，這表明隨閾值增大，識(shí)別方案與實(shí)際方案的吻合度增高。當(dāng)閾值從4700 變?yōu)?800 時(shí)，驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量穩(wěn)定在24，但具體的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)有所改變。育知路站和馬泉營站(均不為實(shí)際客流控制車站)變?yōu)榛佚堄^東大街站和望京站(均為實(shí)際客流控制車站)，說明在閾值不斷升高的過程中，本文提出的識(shí)別方法的準(zhǔn)確度也在不斷提高。

圖3 準(zhǔn)確率、召回率和假正例率與閾值關(guān)系Fig.3 Relationship between accuracy,recall,false positive rate and threshold

準(zhǔn)確率的范圍為[0.25，0.70]，且隨閾值升高先升高再下降。當(dāng)閾值為3400 時(shí)，準(zhǔn)確率達(dá)到最高值0.7。當(dāng)閾值為2360時(shí)，召回率與準(zhǔn)確率相等，為0.61，此時(shí)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量為76，等于實(shí)際客流控制車站數(shù)量。76個(gè)驅(qū)動(dòng)節(jié)中有46個(gè)節(jié)點(diǎn)與客流控制車站方案相匹配，說明本文識(shí)別方法能找到大部分實(shí)際客流控制車站。

4.3 識(shí)別方案的效果與空間分布

為對比識(shí)別方案與實(shí)際方案的差異，本文對比分析了識(shí)別方案中驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量與實(shí)際客流控制車站數(shù)量相同時(shí)的結(jié)果。識(shí)別方法和實(shí)際控制方案中不同類別車站在網(wǎng)絡(luò)中的空間分布如圖4所示。

圖4 不同類型城市軌道交通車站空間分布Fig.4 Spatial distribution of different types of urban rail transit stations

真正例節(jié)點(diǎn)和假反例節(jié)點(diǎn)的并集代表實(shí)際客流控制方案，而真正例節(jié)點(diǎn)和假正例節(jié)點(diǎn)的并集代表識(shí)別方法得到的客流控制方案。結(jié)果表明，識(shí)別方案側(cè)重于對城市西部，尤其是麗澤橋附近和花園橋周邊區(qū)域的站點(diǎn)進(jìn)行控制。如表3所示，識(shí)別方案側(cè)重于對側(cè)重于中心城區(qū)的站點(diǎn)進(jìn)行控制，而實(shí)際控制方案則側(cè)重于城市軌道交通線網(wǎng)外部；三環(huán)、四環(huán)和五環(huán)間的各類節(jié)點(diǎn)數(shù)量相差不大。

表3 不同類型節(jié)點(diǎn)的空間分布統(tǒng)計(jì)Table 3 Spatial distribution statistics of different types of nodes

識(shí)別方案與實(shí)際客流控制方案產(chǎn)生明顯差異的原因?yàn)椋阂环矫?，北京的客流量分布具有時(shí)空異質(zhì)性，流入流出客流量之差大的車站集中在網(wǎng)絡(luò)西北部；另一方面，嚴(yán)格可控性理論從全網(wǎng)可控的角度出發(fā)對驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行識(shí)別，而實(shí)際在采取客流控制措施中往往只考慮車站本身的需求，較少考慮線網(wǎng)協(xié)同的情況。

4.4 早高峰不同時(shí)期方案對比

通常而言，早高峰時(shí)段為7:00-9:00，但客流卻并不會(huì)在整個(gè)早高峰內(nèi)一直保持不變，至少存在形成、頂峰和消散3個(gè)階段。不同階段應(yīng)采取不同的客流控制方案，以最少的資源達(dá)到理想的客流控制效果。根據(jù)北京市城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)早高峰客流變化規(guī)律以及實(shí)際客流控制方案的開始和結(jié)束時(shí)間，本文將早高峰的客流形成期定為6:30-7:00，客流消散期定為9:00-9:30，頂峰期為7:00-8:00。形成期和消散期的識(shí)別客流控制方案如圖5所示。

圖5 早高峰不同時(shí)期客流控制方案對比Fig.5 Comparison of passenger volume control schemes during different periods of morning peak

形成期和消散期的識(shí)別方案準(zhǔn)確率分別為59.2%和44.7%，均低于頂峰期識(shí)別方案的準(zhǔn)確率。因?yàn)樾纬善诤拖⑵诘目土鲏毫∮陧敺迤?，所以這一現(xiàn)象與實(shí)際情況具有一致性。同時(shí)，兩者的識(shí)別方案與頂峰期一致，均側(cè)重于對城市西部的站點(diǎn)進(jìn)行控制。但是，早高峰客流從形成期至消散期的過程中，識(shí)別方案對網(wǎng)絡(luò)的控制由城市外圍逐漸向中心收攏。以房山線為例，在客流形成期，識(shí)別方案控制了蘇莊、長陽兩個(gè)外圍站點(diǎn)，頂峰期則收縮至長陽、郭公莊站，消散期則不對房山線進(jìn)行控制。這也反映了北京市明顯的“郊區(qū)居住、中心區(qū)工作”的職住分離現(xiàn)象。

5 結(jié)論

本文通過對城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)線性時(shí)不變特性的論證，確認(rèn)了可控性理論在城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)上的適用性，使用嚴(yán)格可控性框架克服了先前研究中使用的結(jié)構(gòu)可控性框架的不足，最后引入機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的相關(guān)指標(biāo)對方法進(jìn)行評估。以北京城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)為案例的結(jié)果表明：該方法有一定的適用性，且北京城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)在平峰時(shí)段可控性較好；在早高峰從形成到消散的過程中，識(shí)別方案進(jìn)一步放松了對城市外圍區(qū)域的線網(wǎng)控制；識(shí)別方法的準(zhǔn)確率最高值為0.7，而且從空間分布來講，識(shí)別方法得到的方案更加側(cè)重于城市西部和中心區(qū)域的站點(diǎn)進(jìn)行控制。