基于Maple軟件對推廣KP方程的對稱研究

王芬

(河南科技職業(yè)大學,河南周口 466000)

1 李群理論

一般的非線性演化方程可表示為:

其中G是其變量的已知光滑函數,v=v（x,t）是待求函數。稱函數(記σ（v）或σ)為方程(1)的一個對稱(symmetry),如果

對任意的v都成立,其中G（v）是v及其導數的已知函數,且

19世紀,S.Lie在研究微分方程的基礎上,提出了李群理論的思想。由于李群理論相對比較抽象,因此在20世紀70年代以前,這一理論并沒有被廣泛應用。直到Bluman寫了易懂的著作,李群理論才被逐漸廣泛地用于研究和求解非線性偏微分方程(非線性發(fā)展方程或演化方程)。李群方法是研究微分方程的有效方法之一,應用李群可得到方程的不變解或簡化方程。偏微分方程(組)的對稱約化的經典方法就是李群方法[1],李群理論有著非常豐富的內容,其中李代數的研究是數學理論中的重要內容。從集合的觀點來看,v1和v2可以作為一個線性空間 Ω=span{v1,v2}的兩個基來對待。如果規(guī)定σ（x,t,v,v x,vxx,L）換位子運算:,則該線性空間還構成代數(滿足分配律及數乘交換律的線性空間),稱為李代數。假設（x,t）∈R2是自變量。

應用經典李群方法,我們考慮無窮小單參數李群變換（x,t,u）,給定:

其中ε是群參數,這就要求方程組(2)在變換(3)下是不變的,同時生成一個關于無窮小元ξ（x,t,u）、τ（x,t,u）和φ（x,t,u）的超定線性方程組,無窮小對稱的相關李代數有下面向量場形式:

這里 ?/?x≡?x。這個方法完全依靠算法解決問題的,經常涉及復雜代數和輔助運算,這就需要利用Maple軟件等符號計算。Maple軟件是由加拿大Waterloo大學開發(fā)的數學和工程計算軟件,不但具有精確的數值處理功能,而且具有無與倫比的符號計算功能,是一種交互式計算機代數系統(tǒng)[2],因而被廣泛運用于數學的各個分支領域[3]。

2 優(yōu)化系統(tǒng)

總的來說,對于全對稱群G的每一個s參數子群H,一個微分方程有p＞s個自變量,它會有相應的群不變解,由于總有一定有限數量的子群,因此列出方程所有可能的群不變解是不可行的。我們需要一個有效的、系統(tǒng)的分類這些解的方法——“優(yōu)化系統(tǒng)”,該優(yōu)化系統(tǒng)涉及到群不變解的任何一個解。由于元素g∈G且g不屬于子群H,該元素使得H不變解轉換為其他群不變解[4]。

3 (3+1)維推廣KP方程的對稱及優(yōu)化系統(tǒng)

(3+1)維推廣KP方程:

對于(3+1)維推廣KP方程,采用經典李群方法,要求方程(4)的解集合S:={u:Δ=0}在(3)變換下是不變的。這可以得到有關ξ、δ、κ、τ和φ的線性齊次偏微分超定方程:

其中pr（4）（v）是向量場的四階延拓給定為

這里φx,φxx,φtt和φxxxx在文獻中被給定。

利用Maple軟件得到方程(4)的有關無窮小元的139個方程,其編程源代碼如下:

并運用符號計算得到

進而得到方程(4)的對稱為

這里是任意常數,F1（t）、F2（t）和F3（t）均為任意函數。

在σ1中,取F1（t）=c6+G1（t）,則可得到(3+1)維推廣KP 方程的有限維李代數由下面六個向量場生成,具有如下形式:

即可得到(3+1)維推廣KP方程的相關向量場

總的來說,一個對稱群的子群都有(3+1)維推廣KP方程的群不變解,由于列出所有可能的群不變解較復雜,這里引入群不變解優(yōu)化系統(tǒng)[5]。

解在單參數群下仍是不變解,為了得到這些解,找到產生所有群不變解的最小子群集——優(yōu)化系統(tǒng)。眾所周知,找子群優(yōu)化系統(tǒng),等同于找子代數優(yōu)化系統(tǒng)。本文將子代數問題轉化為伴隨表示分類問題。

表1 李括號Tab.1 Li brackets

表2 伴隨表示Tab.2 Adjoint Representation

4 結論

符號計算是以符號、公式為對象的研究數學問題的算法求解學科,由計算機代替人工推導,實現公式的機器推演,從而大大提高了演算速度,使得復雜的計算變得簡單快捷,而這些符號計算需要在Maple平臺上實現。本文采用經典李群方法并且運用Maple軟件,通過符號計算得到(3+1)維推廣KP方程的對稱,進而得到該方程的無窮小生成元李代數系統(tǒng)的優(yōu)化子系統(tǒng)。通過文章的完成,不但給相關的科研人員提供理論依據,而且能夠拓寬研究方法的應用范圍,使其理論更加完善。