用數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)

李崢嶸

【摘 要】隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革和高考改革的深入，數(shù)學(xué)教學(xué)有了很多變化，但還是會(huì)遇到，一方面，都給學(xué)生講練很多遍了，可是學(xué)生怎么還不會(huì)呢？另一方面典型的問題都講了，也練熟了，但是問題稍微一變就不會(huì)了？作為數(shù)學(xué)教師，我們到底應(yīng)該怎么做，能夠使學(xué)生掌握所學(xué)，進(jìn)一步使得“即使學(xué)生把所教給的知識(shí)（概念、定理、法則和公式）全忘了，銘刻在他頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法卻能使他受益終生”呢？

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法，作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，是把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)能力有機(jī)地聯(lián)系起來，提高個(gè)體思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力，從而發(fā)展智力的關(guān)鍵所在，也是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)的要求，更是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一。

一、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)很重要

案例1：為了讓學(xué)生更好地掌握一個(gè)求和方法“乘公比錯(cuò)位相減”求形如{（2n-1）·3n}的數(shù)列的前n項(xiàng)和，實(shí)際授課時(shí)教師清楚地講解了解決過程，并工整的板書，總結(jié)了要點(diǎn)。學(xué)生在解決相關(guān)問題時(shí)，要參照著黑板上的過程。但當(dāng)教師將黑板上結(jié)論擦掉后，一些學(xué)生就不知所措。對(duì)這樣的課，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)真反思：這種教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)了“乘公比錯(cuò)位相減”方法的程序性，落實(shí)的是“技能”。這節(jié)課，教師實(shí)際上應(yīng)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)字：方程！讓學(xué)生分析乘公比錯(cuò)位相減的方法過程，發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是一個(gè)消元的過程，再進(jìn)一步分析這個(gè)過程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)運(yùn)算中產(chǎn)生的最高次項(xiàng)是數(shù)列前n項(xiàng)和的最高次項(xiàng)，其結(jié)構(gòu)必是的形式，結(jié)合待定系數(shù)法求出常數(shù)a，b的值也可以得到答案，最后再強(qiáng)調(diào)反思結(jié)果。這種方法體現(xiàn)的就是函數(shù)方程思想。

案例2：“y=f（2+x）與y=f（2-x）圖像是什么關(guān)系”，經(jīng)過訓(xùn)練的同學(xué)根據(jù)系數(shù)的符號(hào)可以看出它們的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，但是一個(gè)學(xué)生離開學(xué)校幾十年后能用什么辦法呢？利用函數(shù)y=x2作為f（x）的代表，描點(diǎn)研究得到了答案，這種研究函數(shù)的能力就是數(shù)學(xué)思想方法給他的力量。

這兩個(gè)例子雖然是個(gè)案，但也說明在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)起著重要的作用。數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟會(huì)使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)不再是零散的知識(shí)點(diǎn)，也不再是解決問題的刻板套路和一招一式，它能幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)鏈，為學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)起到十分重要的基礎(chǔ)作用，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”（布魯納），也有利于記憶;學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，能夠縮短高級(jí)知識(shí)和初級(jí)知識(shí)之間的間隙;數(shù)學(xué)思想方法能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是深化數(shù)學(xué)教育的突破口。

二、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一些實(shí)踐體會(huì)

數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)表層知識(shí)，又高于它的深層數(shù)學(xué)知識(shí)，它隱藏在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)方法之中，精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)、把握教學(xué)全過程是有效進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基礎(chǔ)和保證。

（一）數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的課堂組織模式

課堂組織以啟發(fā)式的教學(xué)思想為指導(dǎo)思想，設(shè)計(jì)課堂方案、組織實(shí)施。

教學(xué)模式一：觀察猜想——探究式。教師引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)運(yùn)用觀察與實(shí)驗(yàn)來獲取經(jīng)驗(yàn)材料，進(jìn)行大膽猜想，發(fā)現(xiàn)新事物。操作程序可設(shè)計(jì)為：觀察—猜想—實(shí)驗(yàn)—證明—應(yīng)用。此模式適用于規(guī)律課（定理、公式、性質(zhì)）的教學(xué)，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)從特殊到一般的方法。

例如：兩角和的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+

sinαsinβ，可采用如下研究方法。

1.讓學(xué)生探索特殊角的三角函數(shù)關(guān)系;

2.猜想規(guī)律，引出定理;

3.構(gòu)造向量進(jìn)行證明。

教學(xué)模式二：研究、實(shí)踐——探究式。在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題中經(jīng)過逐步抽象、概括而得到數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)研究數(shù)學(xué)模型的結(jié)論，分析數(shù)據(jù)，并解釋實(shí)際問題蘊(yùn)含的內(nèi)在原因。此模式適用于數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題教學(xué)，一方面是利用函數(shù)方程思想、最優(yōu)化思想解決有關(guān)的實(shí)際問題;另一方面是利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)方法，處理數(shù)據(jù)，研究有關(guān)的實(shí)際問題。

例如，利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)研究西安的空氣污染問題、美國NBA熱火隊(duì)的取勝因素的問題、學(xué)生總成績(jī)與各科目的相關(guān)程度的問題。

教學(xué)模式三：類比、歸納——探究式。運(yùn)用類比幫助學(xué)生找出相關(guān)數(shù)學(xué)概念、相關(guān)數(shù)學(xué)命題之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而確切地去理解數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式。此模式適用于新課，復(fù)習(xí)課。在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)，結(jié)構(gòu)思想、最優(yōu)化思想、比較與分析、歸納與類比等方法。

例如：基本初等函數(shù)、等差等比數(shù)列、圓錐曲線教學(xué)中，通過對(duì)照數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相近的知識(shí)，用已學(xué)過的知識(shí)方法來幫助理解新的概念和性質(zhì)。

教學(xué)模式四：化歸、轉(zhuǎn)化——探究式。借助舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)來處理面臨的新問題。其程序是：對(duì)問題觀察—聯(lián)想—回憶舊知識(shí)—問題解決。此模式適用于“規(guī)律”課，復(fù)習(xí)課，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。

例如：余弦函數(shù)聯(lián)想到正弦函數(shù);立體幾何教學(xué)中，立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何，研究空間線面關(guān)系時(shí)，借助長(zhǎng)方體進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)聯(lián)想平面幾何的有關(guān)結(jié)論探究立體幾何中的圖形性質(zhì)。

（二）數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)過程中的策略

在教學(xué)中，抓住機(jī)會(huì)，適時(shí)滲透、化隱為顯。課堂內(nèi)容的組織結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，實(shí)際上也是思想方法的發(fā)生過程、思考過程。因此，問題的發(fā)現(xiàn)過程、概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、方法的思考過程、規(guī)律的被揭示過程都蘊(yùn)藏著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練思維的極好機(jī)會(huì)。

策略一：讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人。 柏拉圖說：他從不把自己看作一個(gè)教師，而是看作一個(gè)幫助別人產(chǎn)生他們自己思想的“助產(chǎn)生”。學(xué)習(xí)有一條很重要的原則，就是自我培養(yǎng)的原則。對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也不僅僅靠灌輸。應(yīng)將概念、結(jié)論性知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的教學(xué)。通過探索研究活動(dòng)，使學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的過程中領(lǐng)悟、體驗(yàn)、提煉數(shù)學(xué)思想方法，并逐步掌握、應(yīng)用它。

策略二：?jiǎn)卧Y(jié)構(gòu)組織——要先給出一個(gè)整體的知識(shí)目標(biāo)框架。“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”（布魯納）。在組織安排教學(xué)內(nèi)容時(shí)，改變按課時(shí)分配劃分的方法，把教材按照知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將教學(xué)內(nèi)容劃分成若干單元進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，獲得的知識(shí)比較系統(tǒng)、完整，便于記憶，更重要的是學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，有利于學(xué)生體會(huì)掌握其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。

策略三：注重知識(shí)的形成過程。概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是感性飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)尤其重視數(shù)學(xué)概念，許多技巧性強(qiáng)的地方可以被計(jì)算機(jī)代替，因此概念教學(xué)應(yīng)完整地體現(xiàn)這一生動(dòng)過程，既重視概念的運(yùn)用，更重視概念的獲得，引導(dǎo)學(xué)生揭示概念本質(zhì)特征，讓學(xué)生對(duì)理解概念有一定的思想準(zhǔn)備，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維方法。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、法則、公式等結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過程，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系。

策略四：導(dǎo)入、小結(jié)、復(fù)習(xí)——數(shù)學(xué)思想方法是隱性的知識(shí)，在導(dǎo)入的環(huán)節(jié)，不僅羅列出復(fù)習(xí)的知識(shí)，還給出本節(jié)的基本思維流程、基本思想方法，使數(shù)學(xué)思想方法顯現(xiàn)出來引導(dǎo)學(xué)生研究體會(huì);或在小結(jié)、復(fù)習(xí)的環(huán)節(jié)，有效的利用對(duì)比、類比、化歸、轉(zhuǎn)換等，揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，講清來龍去脈，從整體上對(duì)內(nèi)容有清晰的認(rèn)識(shí)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，利用算法思想展示思維流程，引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，引起共鳴，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。

策略五：例題、習(xí)題——要會(huì)反思，“反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力”（弗蘭登塔爾）。對(duì)于例、習(xí)題，不能就題論題，讓學(xué)生解完題后進(jìn)行反思。反思解法是怎樣想出來的----關(guān)鍵是哪一步----自己為什么沒想出來;能找到更好的解題途徑嗎----結(jié)論還能優(yōu)化嗎----這個(gè)方法能推廣嗎;通過解決這個(gè)題，我們應(yīng)該學(xué)什么;這種反思能較好地概括思維本質(zhì)，從而上升到數(shù)學(xué)思想方法上來。

策略六：重視數(shù)學(xué)史的教育。縱觀數(shù)學(xué)史，大凡有所成就的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)思想方法上都有良好的素質(zhì)，他們從無數(shù)次的成功與失敗中，經(jīng)過分析與研究探索到了科學(xué)的思維規(guī)律，掌握了數(shù)學(xué)思想方法、他們給人類的奉獻(xiàn)不僅是數(shù)學(xué)成就，更重要的是給后人留下從事數(shù)學(xué)研究的思想方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史也是對(duì)于一些重要的數(shù)學(xué)概念形成過程的人文描述，通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)加深對(duì)它們的認(rèn)識(shí)和理解。為此我們?cè)谡n堂教學(xué)中介紹數(shù)學(xué)史之外，還開設(shè)了數(shù)學(xué)選講的選修課。

策略七：不斷反復(fù)，螺旋上升。數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)知識(shí)，又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的一種隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，要在反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐中才能使個(gè)體逐漸認(rèn)識(shí)、理解，內(nèi)化為個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決有著生長(zhǎng)點(diǎn)和開放面的穩(wěn)定成分。在高中三年教學(xué)中，一方面在日常教學(xué)中滲透、突出、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，另一方面，依據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，可接受的原則，在不同的階段進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)教學(xué)。

三、啟示

（一）深入鉆研教材，充分挖掘有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法

對(duì)教材的定義、公理、定理、公式、法則等要逐字逐句推敲，抓住揭示其本質(zhì)屬性的關(guān)鍵字眼，搞清彼此之間的邏輯結(jié)構(gòu)，掌握教材的科學(xué)性;明確本節(jié)教材在整個(gè)體系中所處的地位，以及教材本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，探討和挖掘教材中的辨證唯物主義因素，掌握其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。

（二）注重對(duì)教學(xué)的反思，開展教學(xué)研究，撰寫經(jīng)驗(yàn)小論文

在每節(jié)講課結(jié)束后，要認(rèn)真撰寫課后反思，回顧課堂的組織，知識(shí)的引入、問題的處理、作業(yè)問題等方面，特別是分析學(xué)生的問題，提高課堂效率、教學(xué)實(shí)效，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)針對(duì)性，在此基礎(chǔ)上，針對(duì)一些典型的問題展開研究，剖析問題，全面認(rèn)識(shí)有關(guān)的概念、法則，并撰寫小論文，不僅能將自己的研究成果或教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及時(shí)總結(jié)出來，啟發(fā)他人，又通過參考大量的文獻(xiàn)資料，展開一定的探討與研究，提高自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和教學(xué)能力，并形成對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。

（三）掌握與教材有關(guān)的數(shù)學(xué)史

“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀”（龐卡萊）。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有助于全面深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí);通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，可以了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，有利于教師處理教材，尋求有效的教學(xué)方法;學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，可以了解數(shù)學(xué)先輩們的刻苦鉆研的作風(fēng);中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有大量的數(shù)學(xué)史料，必須掌握與充分利用這些史料才能很好地完成教學(xué)任務(wù)。

（四）緊密地團(tuán)隊(duì)合作

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)情景中，對(duì)一個(gè)問題的討論往往需要比較多的時(shí)間，方案設(shè)計(jì)也需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，需要教師發(fā)揮他的聰明才智。如果有一個(gè)志同道合的人與他合作，相互交換意見之后的過程會(huì)少走許多彎路，另外，教師在交流的過程中能夠碰撞出智慧的火花，并使得教師們?cè)跀?shù)學(xué)教育中形成一種伙伴關(guān)系，以共同協(xié)作進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。

總之，在教學(xué)中，將數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的教學(xué)結(jié)合起來，以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)進(jìn)行備課，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)滲透、明晰數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

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