雙師同堂：“平行與垂直”教學紀實與反思

吳正憲　佟寧寧　鄭玉捷

教學內容：人教版義務教育教科書四年級數(shù)學上冊第56～57頁。

教學目標：

1.在分類活動中建立“平行”與“垂直”的表象，并能夠正確地辨析“平行”和“垂直”這兩種位置關系。

2.在探究“平行”與“垂直”的過程中，培養(yǎng)學生的想象能力，從而進一步發(fā)展學生的空間觀念。

教學重點：正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，發(fā)展學生的空間想象能力。

教學難點：理解有相交趨勢的兩條直線的位置關系和異面直線的位置關系。

教學流程：

一、課前對話，感知“互相”

佟老師：孩子們，你們還認識我嗎？（認識。）誰知道我的名字？

生：您叫佟寧寧。

佟老師：你怎么知道我的名字的？

生：聽我班老師跟別的老師聊天知道的。

佟老師：看來聽別人聊天還能知道很多事兒。

佟老師：他認識我了，知道我叫什么了，咱們現(xiàn)在算不算互相認識？

生：不算。

佟老師：為什么？

生：因為您還不知道我的名字。

佟老師：你說說怎么才能算是互相認識。

生：我認識你，你也認識我，這樣才算互相認識。

佟老師：你愿意讓我認識你嗎？（愿意。）介紹一下自己，好嗎？

生：我叫小然。

佟老師：小然你好。（互相握手。）現(xiàn)在咱們兩個算不算互相認識了？

生：算。

佟老師：同學們，通過我跟小然剛才的對話，你們覺得什么是“互相”？

生：“都”認識，你和對方，對方和你。

佟老師：除了“互相認識”，你還知道“互相什么”。

生1：互相幫助。

生2：互相理解。

佟老師：不管是“互相”認識，還是“互相”理解，都是幾個人的事兒？

生：兩人或者兩人以上。

佟老師：我們?yōu)槭裁匆摹盎ハ唷蹦?，那是因為我們這節(jié)課的知識就與“互相”這個詞兒有關系。（板書：互相。）

吳老師：這節(jié)課除了佟老師，還有吳老師。我和佟老師跟你們一起學數(shù)學。

二、回顧舊知，導入新課

佟老師：剛剛我們說“互相”是兩個人的事兒。這節(jié)課我們所說的不是兩個人，而是兩個它。（課件出示：直線。）認識嗎？知道它有什么特點嗎？

生：直線，它沒有端點，可以向兩端伸長。

佟老師：（把直線向兩端伸長一點兒。）可以了嗎？

生：不可以。

佟老師：怎么回事？

生：還可以延長。

佟老師：（把直線再向兩端延長一點兒。）這樣可以了嗎？

生：不可以。

佟老師：（把直線一直延長到屏幕盡頭。）這肯定可以了。

生：不可以。

佟老師：怎么回事兒？到頭兒了，還不行？

生：因為還有更大的紙，就可以畫很長，一直畫下去，無限延長。

佟老師：說的真好。除此之外，直線的擺放位置可以橫著放、豎著放、斜著放，想怎么放都可以，可是不管怎么放，它都是“直線”。（課件出示：直線各種擺放位置。）

佟老師：這節(jié)課，我們就來研究兩條直線的位置關系。（板書：兩條直線的位置關系。）

三、借助分類，建立表象

1.任意畫出兩條直線。

佟老師：老師課前給每個同學都發(fā)了一張紙?，F(xiàn)在需要同學們在這張紙上任意畫出兩條直線。

（兩位教師共同巡視，挑選：直接相交、垂直、延長后相交、平行的作品貼到黑板上。）

佟老師：黑板上這些作品放著有點亂，能不能試著給它們分分類？先自己想一想，再跟同桌商量一下。

2.認識“相交”和“平行”。

佟老師：誰來把你的分法跟大家交流一下？

生1：我把“連接”在一起的分為一類，“不連接”在一起的分為一類。

（當生1按照自己所說的分類方法，移動黑板上的作品進行分類時，吳老師對其他同學說：“看清她是怎么分的了嗎？分了兩大陣營?！保?/p>

生1：這邊是不連接的，那邊是連接的。

吳老師：什么是連接？

生1：“連接”就是粘在一塊兒了。

吳老師：（用手勢幫助學生理解。）“連接”就是粘在一塊兒了，“不連接”就是沒粘在一塊兒，明白了吧？

佟老師：粘在哪兒了？你能把它畫出來嗎？（畫出“交點”。）

佟老師：連在一起了，就是相交。按“相交”和“不相交”來分的。

佟老師：課前我們說直線有什么特點？（向兩端無線延長。）延一延，試一試。（找一名學生到黑板前，選擇沒相交的線進行延長。）

吳老師：這名同學選擇了4號，在她畫好之前，大家閉上眼睛想一想，如果是兩條直線的話，一會兒會怎么樣？伸出手來試一試。a線在這兒呢，b線在那兒呢。（學生用手在空中畫這兩條線。）一會兒這兩條直線就會怎么樣？

生齊：相交。

（學生在黑板上延長完畢。）

佟老師：延長后，兩條線交上沒？應該放在哪兒？

生：交上了，應該放在相交的一類。

佟老師：（拿出1號。）想象一下這幅，又會怎樣？

生：又會相交。

吳老師：是的，又會相交。同學們，好好看看這些不交的，還有誰延長就會交上了？想好了，就喊出來。

吳老師：9號會交嗎？

（大部分學生說：“會！”有一名學生說：“不會！”）

吳老師：（滿臉笑容。）你說不會，那你來畫一下！

（學生在吳老師和佟老師的幫助下，在這張紙旁邊又加了一張紙，把這兩條直線進行延長后，自言自語“交了”。）

吳老師：（親切摟住這名學生。）你說什么？交沒交？

生：交了。

（把所有相交的移走后，就剩下了10號，全班同學都認為，無限延長后也不能相交。吳老師又從學生作品中選出了一幅13號。）

吳老師：真的不交？誰不信？誰試一試？

（找一名學生到黑板前，向兩邊分別延長13號的兩條直線。）

吳老師：怎么樣？

生：不相交。

吳老師：（吳老師用自己的動作，幫助學生想象這兩條直線超出黑板范圍后，繼續(xù)延長，仍然不相交。）那咱們就畫到那頭兒去，交不交？（不交。）畫到那頭兒去，交不交？（不交。）兩條線畫，畫，畫……總是不交？（是。）

佟老師：13號能放到相交的一類嗎？應該跟誰放到一類？

生：13號和10號，延長后不相交，放到一類。

佟老師：（面向學生。）你們同意嗎？

生：同意。

吳老師：你們就這么同意了？能不能畫“站起來”的兩條線，不相交。

（一名學生到前面用直尺畫。當這名學生在直尺一側畫完一條直線，想要移動直尺時。）

吳老師：不移動這個尺子，行嗎？（學生疑惑。）

吳老師：不動尺子，再畫一條線。

（學生認真思考后想到：不移動尺子，在尺子的另一側畫出另一條直線，這兩條直線不相交。）

吳老師：誰能畫兩條“躺著的線”？

（學生能夠熟練地運用直尺畫出兩條不相交的直線。）

佟老師：通過剛才的討論，我們已經把黑板上所有的作品分了“相交”和“不相交”兩類。（邊說邊完成集合圈。）不相交的這類，我們就叫它“互相平行”。（板書：相交和互相平行。）

3.認識“互相垂直”。

佟老師：在這么多“相交”的作品中，你能不能找出特別的？

生：有的作品“相交”成一個角。

佟老師：想象這幾幅作品中的兩條直線繼續(xù)延長，會怎樣？（交叉。）還是一個角嗎？（不是。）出現(xiàn)幾個角了？（4個。）所有這些都會出現(xiàn)4個角嗎？（會。）

佟老師：都有4個角，快看看4個角中有沒有特殊的。

生：其他的都是鈍角和銳角，第7幅里面有直角。

（這名學生運用三角板測量7號作品的4個角，都是直角。）

吳老師：真的很佩服你。在這么多的圖形中，一眼就能找到7號跟別的不一樣，能看到7號有個直角，而且，你會用直角板找到一個又一個直角，一共有幾個？（4個。）

吳老師：我找到了1個直角，我就說找到了4個直角。我這么說有道理嗎？（沒有。）

吳老師：這事兒慢慢去想。（吳老師拿著三角板又操作了一次。）我找到一個直角，就說另外3個都是直角。

（這時，有一個女學生點頭并站起來贊同了吳老師的說法。）

吳老師：謝謝你支持我。

吳老師：除了7號，這里面還有特殊的情況嗎？（找了一名一直沒發(fā)言的女生到臺前。）

吳老師：（伸手遞過三角板。）用嗎？

女生：不用。

（女生找出了一幅有直角的作品。）

佟老師：只用眼睛看，就能確定它是直角嗎？

女生：不能。

佟老師：用借助工具嗎？

女生：用。

佟老師：快去取啊?。ㄅR上回到了吳老師處，準備取三角板。）

吳老師：你要不用，你能保證嗎？

女生：不能。

吳老師：有了它，你能保證嗎？

女生：能。

（學生把有相交成直角的作品找出來。）

佟老師：這樣相交成直角的兩條直線，我們稱為“互相垂直”。

佟老師：互相垂直的這幾幅作品，我們放在相交的圈外，行不行？

生：不行。

佟老師：為什么不行？

生：因為它們是一類的。

佟老師：哪類？

生：相交，相交中特殊的情況。

佟老師：特殊，你們都相交成銳角和鈍角，我相交成直角。但我還是相交，所以要放在圈內。怎么表示它特殊??？

生：給它圈上。

（老師完成集合圈。）

4.用手勢表示“相交”“平行”“垂直”。

佟老師：如果用我們的兩條手臂代表兩條直線，你能做出“相交”“平行”和“垂直”這幾種關系嗎？

5.處理“異面”。

（老師與一名學生用手臂做出了不在同一平面內的兩條直線。）

佟老師：這兩條直線永遠也不會相交，它們是平行嗎？

吳老師：（拿出學生畫作品用的兩張紙。）一條在這個面兒上，一條在那個面兒上，是我們這節(jié)課研究的嗎？（不是。）

佟老師：像這樣在兩個面兒上，不相交的兩條直線，不叫平行，叫異面直線。（板書：異面直線。）

佟老師：異面直線在我們的生活中其實也是很常見的，比如，我們經?？吹降倪^街天橋。（出示圖片。）這就是異面直線，不相交，也不平行。因為它們不在同一平面。而我們這節(jié)課研究的是在同一平

面內兩條直線的位置關系。（板書：在同一平面內。）

四、看書自學，對接經驗

佟老師：我們已經知道了什么樣的兩條直線是“平行”和“垂直”，書中對于這兩個知識給出了怎么樣的定義呢？請同學們自學教科書56～57頁。（結合黑板上的分類，講解平行和垂直的含義及讀寫法。）

（判斷兩條直線位置關系的練習。）

吳老師：兩條直線是“平行”和“垂直”的就說出來，不是的不出聲。

（判斷結束后，教師總結。）

佟老師：為什么吳老師讓同學們只說出“平行”和“垂直”這兩種關系呢？因為這是在同一平面內，兩條直線很重要的兩種位置關系。（板書課題：平行與垂直。）

師總結：這節(jié)課，我們先在紙上任意地畫出兩條直線，然后把這些作品進行分類，邊分邊討論，邊分邊想象。我們知道了同一平面內兩條直線的位置不是相交就是平行，相交中還有一種相交成直角的特殊情況，我們稱為互相垂直。

反思：

自從哈爾濱市平房區(qū)成立了吳正憲工作站分站，我便成為其中一員。從那一刻起，我開始學習吳正憲的兒童教育思想與教學策略，并嘗試著在課堂上像吳老師那樣去營造寬松的學習氛圍，放手讓學生質疑、對話、互動，努力讓我的學生也能感受到“好吃而又有營養(yǎng)”的數(shù)學。但常常掌控不好火候，有時怕完不成教學任務“放不開”；有時“放開了，收不回來”課堂效率低，教學難點未突破……這些問題令我很困惑和迷茫。這次有幸與吳老師同臺上課，收獲頗豐，也引發(fā)了一些思考。

一、備課中要多想一想核心目標

以往，我在備課時總會先去想“本節(jié)課的知識點是什么”。卻很少再往深一層次想“通過這節(jié)課培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)是什么”。比如，通過分類讓學生掌握在同一平面內兩條直線的位置關系有相交和平行，這是本節(jié)課的知識目標；而核心素養(yǎng)是幫助學生建立兩條直線位置關系的空間觀念。這節(jié)課中，吳老師抓住很多細節(jié)之處切入教學，培養(yǎng)學生空間觀念，落實數(shù)學素養(yǎng)目標。吳老師多次讓學生進行想象，并用手勢、動作來表示，幫助學生建立空間觀念。這些細節(jié)的處理，讓我感受到吳老師不僅是在教知識，而且關注數(shù)學的核心素養(yǎng)?！昂诵乃仞B(yǎng)”看不見、摸不著，但它卻是數(shù)學大餐中最有“營養(yǎng)”、最本質的東西。它應是我們每節(jié)課前首先要考慮的問題，須要我們在每節(jié)課的知識建構過程中逐漸滲透與培養(yǎng)。

二、教學關鍵處多一些追問

這節(jié)課讓我感受到吳老師的教育機智，尤其是能夠快速讀懂學生，巧妙地進行追問，引發(fā)學生深入思考。如，在分類的教學環(huán)節(jié)，一名學生說：“連接的分一類，沒連接的分一類?！碑敃r，我就想怎么才能引導出“相交”這個詞呢？吳老師則不急于引導，而是讓學生自己來解釋“什么是連接”。孩子說“粘在一起”就是“連接”。此時，吳老師暗示我接著追問：“粘在哪了，你能把它畫出來嗎？”吳老師順勢把課堂還給我，讓我接著教學“相交”和“交點”等概念。這時，教學概念就容易了，因為學生已經在前面的操作與對話中理解了概念，雖然學生的語言很生活化，但是形象生動。我們總覺得自己說的學生才能懂，書上的定義才最標準，于是急于過早用定義來描述數(shù)學概念，學生理解困難。吳老師曾說：“嚴格的數(shù)學孩子聽不懂，聽得懂的數(shù)學往往不太嚴格?！钡拇_是這樣，往往用學生稚嫩的語言才能更好地幫助學生理解，也更容易讓學生聽懂。而在學生理解的基礎上，老師再用數(shù)學語言來歸納、描述，學生就很容易接受。

三、教學難點處多一點兒等待

萬物生長，都需要一個過程。學生對于問題的思考，知識的內化同樣也需要時間，不要急于把答案和盤托出，等一等，再等一等。比如，這節(jié)課中吳老師設計了讓學生借助工具畫平行線環(huán)節(jié)，這是教學的難點。當學生用直尺畫了一條后，想要移動直尺畫另一條時，吳老師把著直尺說：“不移動這個尺子，行嗎？”學生沒有理解老師的意思。這時，下面學生已經躍躍欲試，但吳老師依舊重復說：“不動尺子，再畫一條線。”幾秒鐘的等待換來了學生的頓悟，學生想到沿著尺子的另一側畫就可以了。對學生的教育需要等待，靜待花開?；ㄩ_放的時間不同，自然等待的時間也不同。有的時候，我們甚至須要等很久，但是，不要急，我們可以先把種子種上，慢慢澆水、施肥，總會豁然開朗的。

通過與吳老師“雙師同堂”讓我感受到了大師的睿智，更感受到了吳正憲的兒童數(shù)學教育思想的真諦，同時也感受到自身的不足與問題。“知不足，然后能自反也。”今后，我將以提升學生的核心素養(yǎng)為目的設計課堂教學，學會傾聽和等待，增強兒童積極探索實踐研究的意識，不斷提高自己教學實踐能力，努力使自己成為一名更加優(yōu)秀的數(shù)學教師。

編輯∕宋 宇