基于滑模狀態(tài)觀測器的兩自由度磁懸浮球控制

王偉超 褚曉廣 王文軒 宋蕊

1 曲阜師范大學 工學院,日照,276826

0 引言

磁懸浮技術因其無接觸、摩擦功耗小等優(yōu)點,被廣泛應用于磁懸浮列車、磁懸浮軸承等領域,但磁懸浮系統(tǒng)本身為開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮必須依賴主動懸浮控制．目前眾多科研工作者開展了磁懸浮控制策略研究,但所需控制算法驗證的磁懸浮試驗平臺往往結構復雜、搭建成本較高,磁懸浮球系統(tǒng)因其結構簡單、控制方案易實現(xiàn)等優(yōu)點,已成為磁懸浮控制策略驗證的首選平臺[1-3]．目前磁懸球系統(tǒng)模型構建時,大多忽視了磁力線扭曲對懸浮穩(wěn)定的影響,懸浮控制研究往往多為單自由度控制,即使設計基于干擾觀測器的眾多懸浮控制策略應對干擾[4-6],但由于未明確干擾來源以及影響機制,特別是無法獲知干擾的物理約束,因此無法獲得有效控制算法驗證．為此,本文首次提出兩自由度的磁懸浮球系統(tǒng)模型,并對多自由度運動下干擾影響機制進行分析,同時對非匹配性干擾進行轉化,進而進行懸浮控制策略研究和驗證工作．

近年來,對磁懸浮系統(tǒng)控制策略的研究大多數(shù)是對傳統(tǒng)的PID控制策略進行改進[7-10],基于線性系統(tǒng)下的傳統(tǒng)PID不適用于多工況、多干擾且參數(shù)未知的系統(tǒng),控制效果有限．因此,滑?？刂?SMC)、模糊控制(Fuzzy Control,FC)以及自適應控制(Adaptive Control,AC)等非線性控制理論及策略的引入是眾多科研工作者的研究熱點[11-13]．文獻[14-16]針對模型不確定性、外界干擾等所致懸浮系統(tǒng)模型失配問題,采用自適應魯棒控制完成懸浮體的穩(wěn)定控制．SMC是一種不依賴模型并具有較強抗干擾能力的控制策略,在動態(tài)響應速度以及補償系統(tǒng)時變參數(shù)等方面具有顯著優(yōu)勢,因此被廣泛應用于磁懸浮系統(tǒng)．一方面,采用SMC可對磁懸浮系統(tǒng)實施魯棒控制,但滑模邊界層極易產生切換抖振,采用神經網絡、自適應控制等開展切換邊界層優(yōu)化以及補償控制,同時借助濾波器可有效弱化抖振,獲得較好的懸浮性能[17];另一方面,借助觀測器機制,觀測獲取并動態(tài)補償懸浮控制能夠有效消抖,傳統(tǒng)觀測器雖然能提升系統(tǒng)懸浮性能,但動態(tài)響應速度慢．因此,本文結合SMC的優(yōu)點,設計了滑模狀態(tài)觀測器,通過切換函數(shù)中無窮小值的引入減小系統(tǒng)抖振,同時設計滑模跟蹤控制器趨近律消除觀測誤差引起的系統(tǒng)抖振．

在現(xiàn)有磁懸浮球系統(tǒng)研究基礎上,本文深入分析了磁懸浮球繞組磁力線扭曲特性,進行運行機理和模型受力分析,創(chuàng)新性地提出了

系統(tǒng)在兩維坐標系下的兩自由度運動模型;其次,將兩自由度模型下的干擾歸結為單自由度實現(xiàn)主動控制,實現(xiàn)了非匹配性干擾到匹配性干擾的轉化;然后建立磁懸浮球系統(tǒng)狀態(tài)空間方程,基于狀態(tài)空間方程進行控制策略優(yōu)化研究,設計含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略(Sliding Mode State Observation and Tracking Cooperative Control,SMSOTC);最后通過設計仿真實驗,驗證所提控制策略的有效性．

1 兩自由度磁懸浮球系統(tǒng)模型

兩自由度磁懸浮球系統(tǒng)如圖1所示,包括懸浮繞組、懸浮球、氣隙傳感器以及MOSFET、電源、DSP(內含A/D轉換器)和PWM驅動一體化的控制回路．

圖1 兩自由度磁懸浮球系統(tǒng)Fig.1 Two degree of freedom magnetic levitation ball system

懸浮球穩(wěn)定的首要條件是軸向合力為零,懸浮球一般運行在中心區(qū)(位置1),但外界干擾力Fsx極易導致懸浮球偏離中心區(qū),進入磁力線扭曲變形區(qū)(位置2).磁懸浮繞組磁力線分布如圖2所示,假設磁力線均勻,懸浮電磁力F因磁密變化而減小,由于Fsx使得懸浮球發(fā)生Δθ的偏移,為此電磁吸力F必須產生軸向分量Fz和徑向分量Fr,用于平抑懸浮重力mg、豎直干擾力Fδ和水平干擾力Fsx,實現(xiàn)懸浮球受力平衡．

圖2 磁懸浮繞組磁力線分布Fig.2 Distribution of magnetic force line for magnetic suspension winding

懸浮球進入位置2后,由于磁力線變稀疏、有向圓面S發(fā)生改變的原因使得所受電磁力F發(fā)生改變,引入磁感應強度占比系數(shù)γ,其含義為懸浮球最大切圓截面容納的磁感應強度在整體磁感應強度B中的占比．

在圖1中,給出了懸浮球的受力分析、有向圓面S以及分析磁感應強度用到的輔助圓結構,基于水平和豎直兩維坐標系下,根據牛頓第二定律,兩自由度磁懸浮球系統(tǒng)運動模型為

(1)

式(1)提出了由Fsx主導的懸浮球水平方向的運動方程,得到兩自由度系統(tǒng)模型.由于主動控制策略的研究是在單自由度上進行的,為此,需將水平方向等效干擾力納入到豎直方向．

受初始位置、磁場分布和軸向干擾的影響,假定懸浮球穩(wěn)定在中心穩(wěn)定區(qū)內理想平衡點的平面鄰域中,與理想平衡點距離為ε,懸浮球平衡態(tài)為(I0,δref,ε),設Δi=i-I0為懸浮球平衡位置的電流擾動,Δδ=δ-δref為懸浮球豎直位置的氣隙擾動,將式(1)在平衡位置處進行線性化:

(2)

懸浮球受到外界水平干擾力Fsx偏離中心穩(wěn)定區(qū),水平位置移動sx后進入位置2穩(wěn)定,此時懸浮球水平方向加速度為零,結合式(2)得:

(3)

從而構建起水平方向干擾力Fsx對懸浮球軸向運動的影響式為

(4)

懸浮球位于磁力線扭曲區(qū)域中時,因懸浮氣隙變化所致變化電感可表示為

(5)

電磁鐵繞組電流由BUCK變流器控制,其內部結構參數(shù),尤其是電感值會隨懸浮球位置改變而變化,為此構建懸浮繞組電流控制運動模型為

(6)

(7)

上述過程實現(xiàn)了匹配性干擾的轉化,同時將兩自由度模型建構為單自由度進行主動控制,為控制策略的研究奠定了基礎．

(8)

2 磁懸浮球系統(tǒng)控制策略

兩自由度磁懸浮球控制策略包括含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測以及懸浮氣隙跟蹤控制器,磁懸浮球系統(tǒng)控制結構如圖3所示.由于磁懸浮球系統(tǒng)極易受水平位置不確定性擺動及電流波動等多種干擾影響,同時懸浮氣隙及氣隙加速度不易精確測量,為此設計滑模狀態(tài)觀測器,準確提取狀態(tài)變量.懸浮氣隙滑模跟蹤控制器能夠提高系統(tǒng)動態(tài)響應速度,實現(xiàn)懸浮氣隙的跟蹤控制．

圖3 磁懸浮球系統(tǒng)控制結構Fig.3 Control structure of magnetic levitation ball system

2.1 滑模控制器設計

滑模變結構控制通過狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的運動引導至滑模面上,最終形成漸近穩(wěn)定的滑動模態(tài)．基于已確定的磁懸浮球模型(8),若在滑模面中包含進懸浮球運動的位移、速度、加速度信號,則能夠有效應對系統(tǒng)干擾,提高系統(tǒng)動態(tài)性能．

建立滑模面函數(shù):

s=Gx,

(9)

構建狀態(tài)變量與調控電壓的聯(lián)系,設計滑模趨近律為

(10)

以上設計能夠保證系統(tǒng)在有限時間內到達滑模面.由于狀態(tài)估計誤差的存在,系統(tǒng)需要引入數(shù)值較大的β1值,增大了系統(tǒng)的抖振．為有效解除觀測誤差對β1數(shù)值大小的限制,同時抑制系統(tǒng)抖振,設計:

K=‖A‖+ξ.

(11)

由趨近律結合Lyapunov理論設計控制律為

(12)

2.2 滑模狀態(tài)觀測器設計

在控制策略設計中,狀態(tài)變量獲取較為困難,傳統(tǒng)控制方式通常為直接求導,但這種方法會引入干擾噪聲且測量精度受約束;其次,由于不確定性干擾的存在,使得控制信號未知．因此,引入狀態(tài)觀測器對狀態(tài)變量進行估計,同時將干擾信息引入至估計值中．傳統(tǒng)觀測器不能實現(xiàn)對狀態(tài)變量的精確估計且動態(tài)響應速度較慢,因此,本文將系統(tǒng)所受的干擾統(tǒng)一歸結為匹配性干擾后,結合SMC特有的優(yōu)勢對傳統(tǒng)的觀測器進行改進,設計滑模狀態(tài)觀測器如下:

(13)

將式(8)與式(13)相減得:

(14)

由特征方程知,存在正實數(shù)ξ與對稱矩陣P>0,使得:

(15)

對某個正定矩陣Q成立,且M,Q滿足:

‖G‖≤‖MC‖,

(16)

(17)

綜合設計過程,將控制律設計為

(18)

2.3 穩(wěn)定性分析

選取Lyapunov函數(shù)為

(19)

對式(19)求導并將式(10)代入得:

(20)

將GB0=1代入式(20)得:

(21)

將式(11)入式(21)得:

(22)

由于,

(λmax(GTG)λmax(A)+ξλmax(GTG)+

從而有,

(23)

式中,τ為無窮小值,可忽略不計．

又因為‖G‖≤‖MC‖,所以,

2β‖MC‖)≤0.

(24)

綜合式(20)、(21)、(22)、(23)、(24)得:

因此,本文所設計的含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略在李雅普諾夫穩(wěn)定條件下漸近穩(wěn)定,即磁懸浮球系統(tǒng)的跟蹤誤差在有限時間內可收斂至原點附近的可調節(jié)鄰域內．

3 仿真結果分析

基于MATLAB/Simulink搭建磁懸浮球系統(tǒng)仿真平臺,進行系統(tǒng)性能分析和控制策略驗證．磁懸浮球系統(tǒng)結構參數(shù)如表1所示．仿真研究分為變氣隙點跟蹤和抗干擾能力兩部分,進行含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略和傳統(tǒng)PID控制策略在跟蹤性能、跟蹤誤差和抗干擾能力的對比實驗研究,全面評價所提控制策略對磁懸浮球控制系統(tǒng)的優(yōu)化．在所有仿真研究中,傳統(tǒng)PID控制器及含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略式(9)、(10)、(13)、(14)所含參數(shù)設計如表2所示．

表1 磁懸浮球系統(tǒng)結構參數(shù)

表2 控制器參數(shù)

3.1 變氣隙點跟蹤仿真實驗

以8 s為一個周期,參考氣隙δref(單位:m)設定為

圖4為不同控制器下氣隙跟蹤性能對比,在氣隙參考值的變化跨度為0.008(0.006～0.014)時,傳統(tǒng)PID基本無法實現(xiàn)氣隙的準確跟蹤．含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略相比傳統(tǒng)PID控制策略,動態(tài)響應速度提高,跟蹤性能好且跟蹤誤差小,在傳統(tǒng)PID無法實現(xiàn)的大跨度變氣隙控制中展現(xiàn)出明顯優(yōu)勢．為更好突出所提控制策略在實現(xiàn)跨度大的變氣隙控制中的優(yōu)勢,在此做進一步仿真說明．

圖4 不同控制器下氣隙跟蹤性能對比Fig.4 Comparison of air gap tracking performance under different controllers

以8 s為一個周期,PID控制策略的參考氣隙設定為

圖5和圖6分別為氣隙參考值跨度為0.003(0.011～0.014)時PID控制策略下的氣隙跟蹤性能和氣隙跟蹤誤差,圖7和圖8分別為氣隙參考值跨度為0.008(0.006～0.014)時含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略下的氣隙跟蹤性能和氣隙跟蹤誤差,在跨度相差近2.67倍的情況下,兩種控制策略可實現(xiàn)氣隙準確跟蹤,但PID控制下的小跨度跟蹤在響應速度、氣隙變化瞬間跟蹤誤差(0.97 mm)遠大于大跨度下含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略(0.37 mm),氣隙變化瞬間跟蹤誤差相差約3倍．

圖5 PID氣隙跟蹤性能(δref∈[0.011,0.014])Fig.5 Air gap tracking performance of PID (δref∈[0.011,0.014])

圖6 PID氣隙跟蹤誤差(δref∈[0.011,0.014])Fig.6 Air gap tracking error of PID (δref∈[0.011,0.014])

圖7 SMSOTC氣隙跟蹤性能(δref∈[0.006,0.014])Fig.7 Air gap tracking performance of SMSOTC (δref∈[0.006,0.014])

圖8 SMSOTC氣隙跟蹤誤差(δref∈[0.006,0.014])Fig.8 Air gap tracking error of SMSOTC (δref∈[0.006,0.014])

3.2 抗干擾能力對比仿真實驗

系統(tǒng)參考氣隙δref=0.012 m,并在5 s時引入脈沖式干擾如圖9所示．

圖9 脈沖式系統(tǒng)干擾Fig.9 Impulse system disturbance

圖10—12分別為引入干擾后PID控制和含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制下的氣隙跟蹤性能、氣隙跟蹤誤差和懸浮電流仿真對比．可以看出,引入干擾后,傳統(tǒng)PID控制和含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制的調節(jié)時間、跟蹤誤差分別為1.085 s和0.085 s、0.456 mm和0.112 mm,就兩種控制策略的抗干擾能力而言,滑模觀測器能夠有效識別加入的干擾,含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略能夠有效平抑外加干擾帶來的懸浮振蕩,以更快的響應速度跟蹤參考氣隙,而傳統(tǒng)PID控制策略無法實現(xiàn)識別并抑制干擾．

圖10 抗干擾性能對比-懸浮氣隙Fig.10 Anti-disturbance performance comparison in air gap

圖11 抗干擾性能對比-跟蹤誤差Fig.11 Anti-disturbance performance comparison in air gap tracking error

圖12 抗干擾性能對比-懸浮電流Fig.12 Anti-disturbance performance comparison in suspension current

4 結論

針對目前磁懸浮領域研究實驗平臺所用到的磁懸浮球系統(tǒng)存在的單自由度干擾機制無法明確的問題,本文構建了一種含軸向和水平兩自由度的磁懸浮球運動模型,并提出了一種新的非線性控制器設計方法．該模型能有效地描述系統(tǒng)在兩維坐標系下的運動方程,將干擾力對系統(tǒng)的作用機制做詳細闡述,同時能將非匹配性干擾轉化為匹配性干擾加以控制.新的非線性控制策略為含干擾重構的滑模狀態(tài)觀測和跟蹤協(xié)同控制策略,該控制策略的特點是:采用觀測器提取相應狀態(tài)變量,滑模變結構控制能夠提高系統(tǒng)動態(tài)響應速度,增強系統(tǒng)魯棒性,與現(xiàn)有文獻相比,本文提出的控制策略對非線性的磁懸浮球系統(tǒng)具有優(yōu)化作用．最后,通過MATLAB/Simulink仿真,驗證了所提控制器的有效性,并給出了仿真分析結果,未來研究將在實驗中進一步驗證所提控制策略的有效性．