一種新型腿部機構自由度分析與驅動輸入研究

于千源，饒曉波，李朋陽，高建設

(鄭州大學機械工程學院，河南 鄭州 450001)

1 引言

步行機器人的腿部作為機體和地面相接觸的媒介，腿部機構的剛度和活動空間很大程度上決定了機器人的承載能力和越障能力，腿部構型的設計也影響機器人的動態(tài)性能?，F(xiàn)有的步行機器人大多采用仿生串聯(lián)的構型設計，如波士頓動力公司的BigDog[1-2]、LittleDog[3]、意大利IIT大學的HyQ[4]、西班牙工業(yè)自動化研究所的SILO4[5]、機器人TeKKen[6]系列和南洋理工大學的四足機器人[7]等等。其中，最具代表性的BigDog單腿為四自由度串聯(lián)結構，髖關節(jié)由兩個主動驅動轉鉸構成，膝關節(jié)是一個主動驅動的轉鉸；意大利IIT大學研制的HyQ，單腿采用串聯(lián)構型，膝關節(jié)一個俯仰自由度，髖關節(jié)有俯仰和橫滾兩個自由度，膝關節(jié)處的俯仰自由度由放置于大腿的直線驅動完成驅動；西班牙工業(yè)自動化研究所的SILO4單腿采用六個自由度串聯(lián)結構，關節(jié)采用斜齒輪傳動。國內的串聯(lián)腿部機構以山東大學的SCalf[8]為代表，單腿上分別有1個橫擺關節(jié)和2個俯仰關節(jié)，膝關節(jié)以大腿上的直線驅動帶動轉動。上述的國內外的仿生串聯(lián)構型多采用關節(jié)驅動，機構簡單，易于控制，矢狀面的自由度多于冠狀面的自由度(機器人行走和跑步時向前和向上的運動多由腿部矢狀面的關節(jié)驅動完成)。但是，關節(jié)驅動使得下級驅動器成為上級驅動器的負載，增加了腿部的運動慣量和機器人的載重比。在太空、核電等需要對電子部件進行特殊防護的領域，關節(jié)驅動型步行機器人的驅動分散，不易防護，也限制了其應用領域。

除了串聯(lián)構型，并聯(lián)構型也是常用的腿部構型。例如，日本早稻田大學的WL系列步行椅[9]，廣瀨茂男研究室的并聯(lián)機器人Para-Walker[10]和同樣采用并聯(lián)構型的四足爬墻式機器人NIJIA[11]。國內四足/兩足可重組步行器人[12]和上海交通大學的六足并聯(lián)機器人[13]，其單腿都是采用結構對稱的直線驅動；張金柱、金振林[14]提出的新型腿部機構，其行走機構和驅動機構分開，并由一個連接球副S連接組成。并聯(lián)式腿部結構具有自重/載重比小、承載能力高、穩(wěn)定性好、精度較高等優(yōu)點。但是，目前并聯(lián)腿部結構采用對稱平行的直線驅動完成對動平臺位姿的控制，在矢狀面上的運動針對性不強，較難完成高速度的行走越障作業(yè)；足端部分與地面接觸形式多采用面接觸，使得并聯(lián)機構在非結構地面的穩(wěn)定性較差，適用范圍較小。

結合以上問題，提出了新型非對稱四自由度并聯(lián)腿部機構，利用4個無約束分支將關節(jié)空間與驅動空間分開，將關節(jié)驅動置于背部，減小腿部的運動慣量，還可用于對驅動進行特殊防護的太空或核電等環(huán)境。采用非對稱并聯(lián)構型，相比對稱的并聯(lián)驅動[可更針對性的對腿部的矢面運動進行控制。對并聯(lián)腿部進行描述并建立分支坐標系，根據(jù)螺旋理論建立了腿部機構的運動螺旋系和約束螺旋系，分析了腿部機構的自由度，明確了機構所受的約束力，并對驅動輸入選擇的合理性進行了分析。

對機器人的自由度進行運算的傳統(tǒng)方法是利用Kutzbach-Grübler(KG)公式，在使用KG公式時，還需要考慮到冗余約束和局部自由度的影響，運用起來相對復雜。這里引入螺旋理論對并聯(lián)腿部的自由度進行分析求解，通過螺旋理論能更直觀地觀察到自由度以及機構約束力的情況。利用并聯(lián)機構的結構約束螺旋判斷腿部機構的驅動選擇合理性。

2 機構的描述和坐標系的建立

主體部分由運載平臺、髖關節(jié)、大腿、膝關節(jié)和小腿順次連結構成，如圖1所示。通過球頭桿件將虎克鉸的轉動驅動換置于靠近機身的直線驅動，以減小腿部運動慣量，便于對驅動集中防護，并聯(lián)腿部非對稱布置的形式更利于驅動腿部在矢狀面的運動控制。并聯(lián)腿部機構由三個支路構成，支路一、二分別是與小腿相連的兩個驅動分支(RPRRSS)，支路三是由一個并聯(lián)支路M(記此并聯(lián)支路為M)和膝關節(jié)的虎克鉸串聯(lián)構成U(2髖關節(jié)虎克鉸記為U1，膝關節(jié)的虎克鉸記為U2)構成。其中，并聯(lián)支路M是由與大腿相連接的兩個驅動分支(RPRRSS)和U2組成閉環(huán)并聯(lián)結構。兩個驅動分支RPRRSS和U1共同完成對大腿的控制，并與U2串聯(lián)作為動平臺的一個分支，與另外兩個驅動分支RPRRSS共同完成對小腿位姿勢的控制。記與小腿相連的兩個驅動分支(RPRRSS)分別為驅動分支一、四；與大腿相連的兩個驅動分支(RPRRSS)分別為驅動分支二、三。運載平臺作為定平臺，小腿作為動平臺，與地面接觸方式為點接觸，以擴大腿部應用范圍。

圖1 腿部機構的三維視圖Fig.1 The 3D View of Parallel Leg Mechanism

3 腿部自由度及瞬時性分析

自由度指確定機械系統(tǒng)位形或位姿所需要的獨立變量或廣義坐標數(shù)。采用螺旋理論對機構進行自由度分析，建立坐標系，求取并聯(lián)分支的結構約束螺旋并判斷自由度。

并聯(lián)腿部的機構簡圖，如圖2所示。在機架中心位置建立基坐標系{A}，以水平方向為XA軸，ZA方向與機架孔軸線方向平行，YA軸的方向由右手螺旋定則確定。與機架相連的四個驅動P副將直線驅動通過與機架相連的V型桿轉化為轉動驅動，根據(jù)機構學可以將驅動分支RPRRSS看作由V架的轉動提供驅動，繼而可以將這四個驅動分支簡化為分支RSS進行分析。為了研究方便，引入五個分支坐標系OAi-XAiYAiZAi(i=1，2，3，4，5)，如圖2所示。分別在四個分支RSS的V型桿中心建立分支坐標系OAi-XAiYAiZAi(i=1，2，3，4)；在髖關節(jié)U1副的軸線相交處建立分支坐標系OA5-XA5YA5ZA5。

圖2 并聯(lián)腿部的機構簡圖Fig.2 Mechanism Diagram of the Parallel Leg

假設腿部機構在一般位形且未到達奇異位形。對腿部支路一、二的螺旋分析可看作對驅動分支RSS的螺旋分析，且驅動分支結構對稱，可以以分支Ai為代表進行分析，如圖3所示。在分支坐標系OAi-XAiYAiZAi(i=1，2，3，4)中，記第i個支鏈的第j個運動副為Aij，R副坐標軸線與基坐標的坐標軸線平行，XAi1平行于水平方向，ZAi1的方向平行于機架孔軸線方向，YAi1可通過右手定則判定；Si2的XAi2軸與軸XAi1有α的夾角，YAi2與軸XAi1夾角是β，ZAi2由右手定則判定；Si3副的OAi3-XAi3YAi3ZAi3的軸線與Si3副的軸線平行，且SS副中XAi2和XAi3是同軸線。

圖3 分支坐標系RSS示意圖Fig.3 Schematic Diagram of the Branch RSS Coordinate System

rij、sij分別表示Ai中第(jj=1，2，3)個運動副的位置向量和姿態(tài)向量。所以在分支Ai中，所以軸線的位置向量r和姿態(tài)向量s，如表1所示。

表1 軸線的位置向量r和姿態(tài)向量Tab.1 Position Vectors and Pose Vectors of the Axis

表中，cα表示cos(α)，sα表示sin(α)；表示第i個支鏈第二個運動副x軸的姿態(tài)向量，以此類推。分支坐標系的XAi2和XAi3是同軸線，所在的螺旋線性相關，所以在進行運動螺旋系的建立時可省去一個螺旋分支，此處省去。各運動螺旋用Plücker坐標表示，且，此時，RSS的運動螺旋，如表2所示。

表2 分支RSS的螺旋系Tab.2 Screw System of the Branch RSS

分支Ai(i=1，2，3，4)的運動螺旋系為：

對式(1)求反螺旋可得分支約束螺旋系為：

由此可知，分支RSS約束反螺旋系為空集，即并聯(lián)支路一和支路二對動平臺不提供約束力，因為A1和A4的結構相同且對稱分布，分支A2和A3的結構相同且對稱分布，且變量參數(shù)表示具有代表性，所以分支A2、A3在分支三的并聯(lián)支鏈M中也不提供約束。所以，UU副對整個機構的約束等于定平臺對小腿(動平臺)提供的約束。

在機架中心位置建立基坐標系{A}，以水平方向為XA軸，{A}的ZA方向與機架孔軸線方向平行，YA軸的方向可由右手螺旋定則判定。在髖關節(jié)U副處建立分支坐標系{A5}，其中：ZA5的方向由原點OA5指向原點OA，YA5平行于機架孔軸線方向(這里由紙面向里)，XA5可通過右手定則判定，如圖4所示。其中，OA5到H點的距離為a2；U2副軸線中心與H點的距離為L3；δ是大腿OA5H與分支坐標系ZA5軸的夾角。與ZA5同向，與YA5同向。

圖4 串聯(lián)虎克鉸螺旋分布Fig.4 Screw Distribution of the Serial Hook Joint

在分支坐標系{A5}下，r(ii=1，2，3，4)和si(i=1，2，3，4)描述各個U副軸線的位置向量和姿態(tài)向量，如表3所示。

表3 虎克鉸的位置向量和姿態(tài)向量Tab.3 Position Vectors and Pose Vectors of the Hook Joint

此時，UU運動螺旋系可表示為：

其中，

運動副U1、U2的運動螺旋系分別為和。由螺旋的互易性得到式(3)的反螺旋系為：

當δ=0時，式(4)可化簡為：

式(5)為腿部機構運動學螺旋系的互易螺旋系，即約束力螺旋系，反映了動平臺(小腿)所受公共約束力的情況，分析其結構約束螺旋矩陣容易得到，整個機構對小腿有兩個力線矢量的約束，分別為軸線方向為，即此時動平臺不能產(chǎn)生沿力線矢量軸線方向的移動。結構約束矩陣的秩為并聯(lián)腿部各分支對動平臺提供線性無關的約束螺旋的數(shù)目，因此，該機構具有四個自由度，分別為x，y，z軸的轉動，和×方向的移動，其中。由于利用變量參數(shù)表示關節(jié)角和桿長，所以無論機構在任何姿態(tài)下其自由度不會改變，即自由度不是瞬時的。

4 驅動副輸入選擇分析

根據(jù)驅動副的選擇原則[15]，運動形式簡單，且盡可能的靠近機架等等。選擇機構中四個移動副(P副)作為驅動輸入，驗證驅動副選擇的合理性的方法是鎖定移動副后，根據(jù)并聯(lián)機構約束螺旋矩陣的特點，通過求解并聯(lián)分支的運動螺旋，利用結構螺旋和約束螺旋的互易性，得到動平臺的約束螺旋系，分析動平臺的約束矩陣的秩來驗證輸入的合理性，若剛化后腿部機構自由度為0，即約束螺旋矩陣的秩為6，則選擇P副作為驅動輸入就是合理的。

在驅動副剛化后，對并聯(lián)腿部機構的三個分支進行分析，剛化后的驅動分支RSS只剩下SS運動副。

4.1 并聯(lián)腿部支路一、二的約束螺旋分析

對分支RSS的A1和A4支鏈進行分析。分支Ai(i=1，4)結構相似且對稱，分支Ai坐標系與基坐標系的軸線相平行，而且在分析Ai時，位置坐標參數(shù)化，軸線姿態(tài)向量不變，所以它在基坐標下的螺旋系也不變，將以分支A1為例，分析其約束螺旋。由表2可得支鏈A1上的SS副的運動螺旋系為：

對式(6)求取反螺旋為：

4.2 并聯(lián)腿部支路三的約束螺旋分析

并聯(lián)支路三是由一個并聯(lián)子鏈M和膝關節(jié)U2串聯(lián)組成。驅動剛化后，求出U1、U2在基坐標系下的約束螺旋系之后，再計算支路三的約束螺旋系。

4.2.1U1、U2在基坐標系下的約束螺旋系

剛化驅動后，U1、U2的姿態(tài)向量和位置向量需要在基坐標系{A}內重新定義，其中，基坐標系{A}下的位置向量r可通過變換矩陣得到，如式(9)所示。為分支坐標系{A5}變換至基坐標系{A}的變換矩陣，記虎克鉸在{A}坐標系下的位置向量為rNi。

其中，P1=c?(a2-L3sα)-L2s?-L3cαc?；

對式(11)、式(12)求取反螺旋得：

其中，

4.2.2 并聯(lián)子鏈M的約束螺旋分析

并聯(lián)子鏈M是由驅動分支A2、A3和髖關節(jié)的U1并聯(lián)而成，所以其約束螺旋就是并聯(lián)子鏈的并集。由式(8)、式(13)得并聯(lián)子鏈M的約束螺旋系：

由式(15)中并聯(lián)子鏈M的約束螺旋系(約束矩陣)秩為6，說明剛化后，并聯(lián)子鏈M自由度為0，虎克鉸U1由驅動分支A2、A3驅動。所以鋼化后支路三的約束螺旋就是虎克鉸U2的約束螺旋，即。

4.2.3 動平臺約束螺旋分析

動平臺的結構約束螺旋系是并聯(lián)分支約束螺旋的并集：

由式(8)、式(14)得到動平臺約束螺旋系：

5 結論

提出了一種新型非對稱四自由度并聯(lián)腿部機構，其優(yōu)勢在于：

(1)驅動置于背部減小腿部運動慣量；

(2)便于對驅動進行集中性防護，擴大了該腿部機構的適用領域。

利用螺旋理論分析了腿部機構的自由度，通過建立分支坐標系簡化求解過程，求解出動平臺所受的結構約束螺旋系，由此得到機構的四個自由度，分別為x，y，z軸的轉動和方向的移動，其中，當δ=0時，=(a20-L3)。剛化四個直線驅動副后，對并聯(lián)腿部動平臺的約束螺旋進行了分析，得到約束螺旋矩陣的秩為6，即剛化后并聯(lián)腿部自由度為0，驗證了驅動副選擇的正確性。為步行機器人腿部構型設計提供一種新的設計思路，為之后并聯(lián)腿部的運動學、動力學工作的開展奠定基礎。