基于PID算法的單旋翼垂直起降系統(tǒng)的建模與仿真

譚 奧 陳再輝 劉沛堯 夏金康 陳 臣 陳凱文

(河南科技大學,河南 洛陽471003)

目前,無人機已廣泛應用于軍事偵察、高空攝影、農(nóng)林植保、電力巡檢等諸多領域,其中,四旋翼無人機憑借結(jié)構(gòu)簡單、機身輕巧、飛行靈活等優(yōu)勢備受關(guān)注。而單旋翼垂直起降系統(tǒng)是四旋翼無人機的基礎控制系統(tǒng)。所以本文將通過Matlab建模仿真,探索單旋翼垂直起降控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案。

1 數(shù)學建模

電機螺旋槳懸臂構(gòu)成了一組具有一定質(zhì)量的機械系統(tǒng),能夠在拉力的作用下繞中心上下轉(zhuǎn)動,為了簡化分析,忽略懸臂質(zhì)量和摩擦力。設l為懸臂長度,m為電機質(zhì)量,θ為懸臂角度,f為螺旋槳拉力,u為電機電壓,如圖1所示。

圖1 受力分析圖

已知電機電壓和轉(zhuǎn)速的簡化數(shù)學模型為一階線性微分方程,而工作點附近螺旋槳拉力和電機轉(zhuǎn)速成正比。則在切線方向上的運動方程由牛頓第二定律可以得到:

由(1)式可得到角度和電壓的關(guān)系:

在matlab Simulink搭建電機螺旋槳懸臂模型,選取參數(shù)后進行仿真。探究電機螺旋槳懸臂自身固有變量參數(shù)對模型的性能影響分析,進而對電機、懸臂的選用提供理論基礎。

2 參數(shù)辨識

2.1 螺旋槳懸臂系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建立

由所建模型可得螺旋槳升力與電機電壓的傳遞函數(shù):

方程(1)中存在難以分析的非線性項,則可以使用微小偏差法對其在某個特定的工作點附近進行線性化處理,得到其最后的傳遞函數(shù)為:

懸臂系統(tǒng)為三階系統(tǒng),有3個極點p1、p2、p3,如果電機的反應速度非?？?遠快于懸臂的反應速度,也就是說對應的極點遠離虛軸,其它兩個極點是主導極點。綜合公式(3)和(4)則可以簡化為二階系統(tǒng)為:

2.2 階躍響應辨識模型參數(shù)

搭建一簡易電機螺旋槳懸臂,以51單片機為控制器,進行單位階躍響應實驗。在工作電壓2V上施加一個 ΔU=0.2 V電壓增量,記錄角度 θ隨時間的變化情況,然后利用Matlab的系統(tǒng)辨識工具辨識懸臂系統(tǒng)模型的傳遞函數(shù)參數(shù),擬合曲線如圖2所示。

圖2 電機螺旋槳懸臂模型擬合曲線

圖中黃色代表三階系統(tǒng),擬合度為92.6%;

圖中紅色為二階系統(tǒng),擬合度為86.7%;

3 控制系統(tǒng)的設計仿真

3.1 PID的基本控制方法

通過持續(xù)不斷的調(diào)節(jié),系統(tǒng)最終能夠自動找到某個合適的控制指令,此時螺旋槳以某個速度旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生的拉力恰好與重力平衡,使懸臂停留在設定位置上,流程圖如圖3所示。

圖3 閉環(huán)負反饋控制器流程圖

PID控制算法作為工業(yè)控制實踐中最常見的控制算法?？刂破魇怯杀壤龁卧⒎e分單元及微分單元組成,包括Kp、Ki和Kd三個需要設定的系數(shù)。即:

而一個控制系統(tǒng)的基本要求是穩(wěn)定、準確、快速。PD控制中的比例項能夠減小偏差,微分項能夠減小偏差的變化速度、抑制振蕩。PI調(diào)節(jié)器主要用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。通過仿真可以得到Kp、Ki和Kd對控制器性能參數(shù)的影響。

3.2 綜合校正

電機懸臂控制系統(tǒng)中,Gmp(s)作為被控對象的傳遞函數(shù),控制器Gc(s)被稱為校正環(huán)節(jié)。輸入是期望角度,輸出是實際角度。則可以得到經(jīng)過校正后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

設計控制器使閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應滿足下列性能指標:

(1)上升時間小于0.5 s;

(2)穩(wěn)態(tài)誤差小于5%;

(3)幅值裕量大于20dB;

(4)相位裕量大于40°。

第一條代表了快速性,第二條代表快速性,第三、四條代表穩(wěn)定性。利用Matlab中的“Contral System Design”對控制系統(tǒng)進行校正,使控制器滿足給定的性能要求,校正結(jié)果如圖4所示。

圖4 校正設計結(jié)果

最終設計出的控制器由一個積分環(huán)節(jié)、兩個超前校正環(huán)節(jié)構(gòu)成。即:

閉環(huán)系統(tǒng)性能完全滿足給定要求:

(1)上升時間0.12 s;

(2)穩(wěn)態(tài)誤差0%;

(3)幅值裕量31.8 dB;

(4)相位裕量69.8°。

4 結(jié)論

4.1 電機螺旋槳懸臂是一個三階系統(tǒng),若電機反應速度很快,即電壓能迅速控制螺旋槳拉力,系統(tǒng)就可以進一步簡化為二階系統(tǒng),通過階躍響應實驗可以得到其傳遞函數(shù)模型。

4.2 從時間的角度考慮,比例作用主要是針對當前系統(tǒng)誤差進行控制,積分作用則針對系統(tǒng)誤差進行記憶,提高系統(tǒng)的無差度,而微分作用則反映了系統(tǒng)誤差的變化趨勢,這三者的組合PID則是“過去、現(xiàn)在、未來”的完美結(jié)合。

4.3 對控制系統(tǒng)進行綜合校正,可以達到設定的性能要求。