n維不連續(xù)分段線性金融市場模型低周期軌道的存在性條件

顧恩國,李大洋

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院,武漢 430074)

越來越多的學者開始關(guān)注基于個體的金融市場模型,該模型通過突出參與者的交易活動來解釋金融市場的動力學行為.該領(lǐng)域的開拓性貢獻包括DAY and HUANG[1],KIRMAN[2]等.根據(jù)這類模型,依賴簡單的交易規(guī)則,異質(zhì)的有限理性投機者之間的相互作用會產(chǎn)生復雜的內(nèi)生價格動力學行為.例如,泡沫和崩潰的出現(xiàn).更多的方法可查看文獻[3]. 近年來,在這一令人興奮的領(lǐng)域,有幾篇側(cè)重于分段線性映射的文獻[4-5].這類分段線性映射可以被看作是更復雜的非線性映射的近似.分段線性映射的優(yōu)勢在于它們通常允許對潛在的動力系統(tǒng)進行更深入的分析研究,從而提高對金融模型的動力學行為的理解. 具體例子可見文獻[6-8]中資產(chǎn)價格的分段線性動力學模型.然而,n維金融市場模型直到現(xiàn)在未見相關(guān)報道.在本文中,所建立的模型代表了一個典型的投機市場,市場中圖表分析師、基本面分析師和技術(shù)分析師相互作用,該模型是一個n維不連續(xù)分段線性映射.

因為最近發(fā)現(xiàn)分段不連續(xù)映射系統(tǒng)在許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,例如:DC-DC 轉(zhuǎn)換器[9], 和金融市場[10],所以用數(shù)學的方法研究不連續(xù)分段光滑映射是很重要的.在n維空間中存在一個(n-1)維流形(稱為Poincaré 截面),若該流形兩側(cè)無限接近的兩個點映射到相隔很遠的兩個點,就會產(chǎn)生不連續(xù)性Poincaré映射.關(guān)于一般n維不連續(xù)映射的一些與一周期和二周期軌道的存在的重要結(jié)果最近已經(jīng)在文獻[11]中給出.本文將根據(jù)DUTTA應(yīng)用的方法對n維金融市場模型進行分析.

1 不連續(xù)的金融市場模型

在本文的模型中,假設(shè)金融市場上有三種類型的投機者.投機者的交易是由造市商進行調(diào)解的, 造市商們也會根據(jù)過剩的需求調(diào)整價格.造市商對價格對數(shù)(其中Pt為價格對數(shù))線性調(diào)整如下:

(1)

μ為調(diào)價參數(shù).在式(1)右側(cè)的括號中的三項分別表示圖表分析師、基本面分析師和技術(shù)分析師的交易量.顯然,過度買入會推高價格,而過度賣出則會壓低價格.圖表分析師認為牛市和熊市可以持續(xù).因此,將圖表分析師的需求設(shè)置如下:

(2)

反應(yīng)參數(shù)ca,cb,cc,cd均非負,如果價格處于牛市(熊市)圖表分析師會積極買入(賣出),也就是說,如果價格的對數(shù)P高于(低于)它的基本價格的對數(shù)F,通常情況下圖表分析師會買入.其中基本價格是一個常數(shù),并且所有機構(gòu)投資者、市場參與者都知道這一價格.ca和cc分別反映了一種普遍的樂觀和悲觀的情緒而cb和cd分別表明圖表分析師根據(jù)他們感知到的價格信號進行交易的強度.

基本面分析師期望價格恢復到基本價格,因此將基本面分析師的需求設(shè)置如下:

(3)

同樣,反應(yīng)參數(shù)fa,fb,fc,fd均為非負的.因此,基本面分析師總是與圖表分析師相反的方向進行交易.在金融產(chǎn)品價格高于基本價格時,他們賣出并在金融產(chǎn)品價格低于基本價格時買入.與圖表分析師類似,基本面分析師的交易強度可能取決于市場環(huán)境:牛市中的價格偏差(資產(chǎn)價格與基本價格的差)可能引發(fā)比熊市中相同價格偏差更高或更低的交易強度，即fb≠fd.

技術(shù)分析師可以根據(jù)對歷史價格規(guī)律(如趨勢或周期)的觀察,通過簡單的技術(shù)進行預測.若預期當前價格高于歷史價格的平均值時,他們將作出購買決定,以便在未來以更高的價格出售,以獲得差額,其需求與價格上漲量成正比.相反,若當前的價格是低于以前的平均價格,他們出售金融產(chǎn)品,以盡量減少損失.因此,將技術(shù)分析師的需求設(shè)置為:

(4)

(5)

其中:

使用輔助變量xt=Pt-F得到:

(6)

其中:

(7)

其中 ' 和T分別表示單位時間推進算子和矩陣轉(zhuǎn)置,且:

i∈{L,R},

于是,該模型是一個n維不連續(xù)分段線性映射系統(tǒng).

2 不動點的存在性

(8)

(9)

因此,假設(shè)I-AL和I-AR是可逆,可以得到:

(10)

其中Pl(1)是AL的特征多項式在1處的值.類似地有:

(11)

其中PR(1)是AR的特征多項式在1處的值.

pi(1)=-(μsb+μni)-μsbDn-1,i∈{L,R},

其中:

所以:

pi(1)=-μni,

(12)

adj(I-Ai)e1=[1,-μsb,-μsb,…，-μsb,-μsb]T,

i∈{L,R}.

(13)

將(12)和(13)代入(10)和(11)得到:

i∈{L,R}.

(14)

命題1

3 二周期軌道的存在性

PR=ALPL+mLe1,

(15)

PL=ARPR+mRe1.

(16)

用(16)式減去(15)式,得到:

ΔP=ARPR-ALPL+(mR-mL)e1,

(17)

(I+AL)ΔP=[AR-AL]PR+(mR-mL)e1.

(18)

同樣,在式(17)的兩邊加上ARPL再減去一個ARPL,得到:

(I+AR)ΔP=[AR-AL]PL+(mR-mL)e1.

(19)

假設(shè)(I+AL)是可逆的,由(18)式可以得到:

(20)

同樣,假設(shè)(I+AR)是可逆的,由(19)式可以得到:

(21)

其中:

n0=nR-nL,m0=mR-mL,

其中:

B0=adj(I+Ai)e1=[1,μsb,-μsb,…,(-1)n-1μsb,(-1)nμsb]T,i∈{L,R}.

(22)

把(20)和(21)式寫成標量形式:

(23)

(24)

從(23)式和(24)式的第一個方程可以得到:

(25)

從方程(20)和(22)可以得到:

(26)

將(26)式帶入(16)式,可以得到:

(27)

其中:

PR=αmR-βm0,

(28)

其中:

(28)式的第一個分量為:

(29)

并將(29)式代入(25),得到:

(30)

所以,有以下命題:

命題2

在映射(7)中,若滿足以下兩個條件:

(31)

(α1-β1)mR+β1mL>0.

(32)

則M存在一個二周期點.

4 在三維不連續(xù)分段線性金融市場模型中的應(yīng)用

假設(shè)技術(shù)分析師僅關(guān)注近兩個交易日的價格,即:

得到金融模型:

(33)

二周期軌道的存在條件可以從式(31)和式(32)中得到.首先要找到k1,k2的值,從第三節(jié)中知道:

這里b=1+cμsb.利用上述等式, (31) 和 (32) 給出:

(34)

將pL(-1)=-2b-μnL,pR(-1)=-2b-μnR,n0=nR-mL代入式(34),得到二周期軌道的存在性條件:

現(xiàn)在證明,這些確實是三維映射(33)中二周期不動點存在的條件.由于系統(tǒng)在邊界的每一邊是線性的,所以二周期(或更高周期)的周期點僅在L平面或R平面都不能存在.然而,在參數(shù)空間的一些區(qū)域中,可能存在一個二周期的周期點分別在L平面和R平面,通過求解

(35)

(36)

解上面兩個方程,可以發(fā)現(xiàn)

這與從n維系統(tǒng)理論得到的結(jié)果相同.這意味著如果

nLnR>-(1+cμsb)(nL+nR).

(37)

當

(38)

則二周期軌道存在.

而且如果

nLnR<-(1+cμsb)(nL+nR).

(39)

當

(40)

則二周期軌道存在.

圖1中的黑色區(qū)域給出了當參數(shù)取定μ=0.8,sb=0.5,c=0.6,nL=-2,nR=-3時，在參數(shù)平面nL-nR上的2周期存在區(qū)域，它們由條件(37)～(40)確定.

圖1 nL-nR平面中2周期軌存在的區(qū)域Fig.1 The region in the plane nL-nRwhere a 2 periodic orbital exists

圖2是參數(shù)設(shè)為μ=0.8,sb=0.5,c=0.6,nL=-2,nR=-3時關(guān)于兩個參數(shù)(mL,mR)的分叉圖,白色區(qū)域為共存吸引子存在的區(qū)域，淺灰色區(qū)域為不動點存在的區(qū)域，深灰色區(qū)域為二周期軌道存在的區(qū)域.

圖2 關(guān)于兩個參數(shù)(mL,mR)的分叉圖Fig.2 Bifurcation diagram of 2-parameters (mL,mR)

5 結(jié)語

本文在TRAMONTANA 等[4-5]的基礎(chǔ)上,建立了n維不連續(xù)金融市場模型,然后根據(jù)DUTTA應(yīng)用的方法研究了該模型中低周期軌道的存在條件.最后,給出了這些方法在三維分段線性不連續(xù)金融市場模型中的實施過程. 研究發(fā)現(xiàn)，異質(zhì)投機者間相互作用可以產(chǎn)生內(nèi)生價格動態(tài)變化.