一種低秩張量約束的下視稀疏線陣SAR三維成像算法

張思乾 于美婷 匡綱要

①(國(guó)防科技大學(xué)電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)沙 410073)

②(國(guó)防科技大學(xué)電子導(dǎo)航與時(shí)空技術(shù)工程研究中心 長(zhǎng)沙 410073)

1 引言

近年來(lái)，合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar， SAR)逐步向超寬帶、多極化、多通道等方向發(fā)展，但是傳統(tǒng)2維SAR只能獲得目標(biāo)在距離-多普勒平面上的投影圖像，無(wú)法獲得目標(biāo)的高維度信息。因此，兼具高分辨率成像和3維成像能力的下視稀疏線陣3維SAR[1]成為SAR的研究熱點(diǎn)之一。下視稀疏線陣3維SAR采用下視工作模式可以有效地避免側(cè)視成像帶來(lái)的陰影、疊掩等幾何畸變問(wèn)題；并利用稀疏線陣天線減少數(shù)據(jù)量和系統(tǒng)復(fù)雜度，同時(shí)更符合實(shí)際應(yīng)用中機(jī)翼和機(jī)身結(jié)構(gòu)限制(如存在發(fā)動(dòng)機(jī)等)的要求；實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜場(chǎng)景(城市、山區(qū)等)及特殊目標(biāo)(建筑物、艦船、車(chē)輛等)的高精度3維成像，在3維地形測(cè)繪、目標(biāo)定位與識(shí)別等國(guó)民經(jīng)濟(jì)與軍事領(lǐng)域具有極大的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用前景。

根據(jù)成像機(jī)制的特點(diǎn)，下視稀疏線陣3維SAR通過(guò)距離向發(fā)射寬帶信號(hào)、方位向合成孔徑、切航向稀疏線陣空間采樣，獲得具有高分辨率的目標(biāo)3維圖像，豐富了目標(biāo)的細(xì)節(jié)信息。隨著數(shù)據(jù)的多樣化和對(duì)成像分辨率需求的不斷提高，越來(lái)越多的研究者投入到下視線陣3維SAR的研究中，其可以歸類(lèi)為3類(lèi)成像算法[2—4]：基于分維處理的3維成像、基于時(shí)域處理的3維成像、基于頻域處理的3維成像。文獻(xiàn)[5，6]中還將譜估計(jì)等超分辨數(shù)據(jù)處理方法引入下視線陣3維SAR成像中。但是，稀疏空間采樣導(dǎo)致采樣率不再滿足奈奎斯特采樣定理，必然會(huì)給上述3維成像算法帶來(lái)不可預(yù)期的高旁瓣影響，甚至?xí)?dǎo)致無(wú)法聚焦成像。近年來(lái)，學(xué)者充分利用信號(hào)的稀疏性和低秩性[7]，將壓縮感知[8]和矩陣補(bǔ)全(Matrix Completion， MC)[9]理論廣泛應(yīng)用于下視稀疏線陣3維SAR成像中，高概率地重構(gòu)出原始信號(hào)。然而現(xiàn)有的3維成像算法都是針對(duì)1維向量或2維矩陣數(shù)據(jù)處理的，因此在成像處理之前需要將高維數(shù)據(jù)向量化或矩陣化來(lái)降低3維回波數(shù)據(jù)的維度。向量化或矩陣化后，會(huì)破壞原始3維信號(hào)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，掩蓋了高維數(shù)據(jù)原本存在的冗余信息和高階依賴(lài)性，并且其生成的統(tǒng)計(jì)參數(shù)(如協(xié)方差矩陣)的維度極大，會(huì)導(dǎo)致高的計(jì)算復(fù)雜度和存儲(chǔ)代價(jià)，在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性。

與向量和矩陣相比，張量[10]作為一類(lèi)多線性映射，可以更精確和有效地表示高維數(shù)據(jù)，具有不隨參考系變換的性質(zhì)，能夠最大化地保留高維數(shù)據(jù)的原始結(jié)構(gòu)和判別信息，同時(shí)降低需要估計(jì)的參數(shù)維度，減少模型與計(jì)算的復(fù)雜度。因此本文引入張量數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，提出了一種基于低秩張量約束的下視稀疏線陣3維SAR成像算法。首先，在張量空間構(gòu)建了回波信號(hào)、目標(biāo)散射強(qiáng)度、目標(biāo)位置信息之間的關(guān)系模型。針對(duì)該模型，利用張量補(bǔ)全對(duì)稀疏回波張量中丟失數(shù)據(jù)準(zhǔn)確重構(gòu)，提高算法成像性能和計(jì)算效率。最后，基于X波段下視線陣SAR系統(tǒng)進(jìn)行了點(diǎn)目標(biāo)仿真實(shí)驗(yàn)，在不同信噪比和采樣率下對(duì)比分析成像性能，并基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文算法的有效性。

2 3維SAR成像模型

2.1 成像幾何建模

下視稀疏線陣3維SAR成像依靠發(fā)射寬帶信號(hào)實(shí)現(xiàn)距離向的分辨力，遠(yuǎn)場(chǎng)條件下可近似為高度向；沿航跡方向進(jìn)行孔徑合成，提供方位向的分辨力；沿機(jī)翼方向通過(guò)放置線性陣列天線，形成切航向的分辨力。典型的下視稀疏線陣3維SAR成像幾何模型如圖1所示，其中O-XYZ表示歐氏空間下的直角坐標(biāo)系，場(chǎng)景中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O。

圖1 下視稀疏線陣3維SAR成像幾何模型

為了提高算法的范化能力，通過(guò)上式的1階近似足夠描述場(chǎng)景中點(diǎn)目標(biāo)的數(shù)據(jù)信息，但不適用于具有分布式特性的面目標(biāo)。

2.2 歐氏空間的信號(hào)描述

步進(jìn)頻率(Stepped Frequency， SF)雷達(dá)具有寬頻帶、高分辨率的優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于人造目標(biāo)的定位、跟蹤等[13]。假設(shè)下視稀疏線陣3維SAR雷達(dá)發(fā)射SF信號(hào)，則雷達(dá)能接收到的目標(biāo)上任意強(qiáng)散射點(diǎn) B的回波信號(hào)為

其中，σ 為散射點(diǎn) B的后向散射系數(shù)，f =f0+kΔf為入射電磁波頻率，且 K個(gè)采樣信號(hào)對(duì)應(yīng)信號(hào)序列中的 K個(gè)脈沖，Δt=2R/c為電磁波的雙程時(shí)延，c為光速。將式(2)代入式(3)，信號(hào)在方位向-切航向2維平面為隨機(jī)非均勻離散采樣，因此回波信號(hào)可以表示為離散形式

2.3 張量空間的信號(hào)描述

本文將下視稀疏線陣3維SAR的回波信號(hào)整體上視為一個(gè)3階張量(如圖2所示)，利用多重線性映射構(gòu)建稀疏信號(hào)成像模型。在張量空間中，將3維成像場(chǎng)景以等間隔劃分成P ×Q×L的網(wǎng)格，式(5)中的回波信號(hào)可以改寫(xiě)為

圖2 3階回波張量信號(hào)模型

3 算法描述

3.1 低秩張量約束

3.1.1 相關(guān)運(yùn)算

為了分析回波信號(hào)張量的低秩性，首先給出張量的秩的一些相關(guān)定義[10]：

3.1.2 信號(hào)低秩性分析

由式(9)可知，信號(hào)張量 S 可表示為 B個(gè)3階秩1張量加權(quán)和的形式。根據(jù)定義2可知，張量 S的秩不大于 B。由于3維成像場(chǎng)景中存在許多非目標(biāo)區(qū)域，這保證了信號(hào)在方位向-切航向2維成像平面的稀疏性，即在同一距離分辨單元內(nèi)，僅有極少量的強(qiáng)散射點(diǎn)(金屬結(jié)構(gòu)、二面角、三面角及多面角等)和離散散射點(diǎn)(粗糙表面，如路面、建筑物屋頂和墻面等構(gòu)成的漫散射)分布于不同的方位向和切航向。因此，3維成像場(chǎng)景中強(qiáng)散射點(diǎn)的分布一定是稀疏的，即強(qiáng)散射點(diǎn)數(shù)目遠(yuǎn)小于圖像網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目，那么B ?PQL，則有rank(S)≤B ?PQL。因此，只要場(chǎng)景中目標(biāo)是稀疏的，那么回波張量 S一定是低秩的。

3.2 張量補(bǔ)全稀疏數(shù)據(jù)

張量補(bǔ)全[14]是根據(jù)數(shù)據(jù)的低秩性質(zhì)來(lái)恢復(fù)出所有元素，在數(shù)學(xué)上可以描述為秩最小化求解問(wèn)題，廣泛應(yīng)用于解決計(jì)算機(jī)視覺(jué)問(wèn)題。對(duì)于下視稀疏線陣3維SAR，如果其3階回波張量 S是低秩的，且其特征向量是充分“擴(kuò)散”的，那么可以通過(guò)求解張量秩的最小化來(lái)恢復(fù)張量中丟失元素

與矩陣相比，這類(lèi)通過(guò)秩函數(shù)凸松弛至核范數(shù)最小化的凸優(yōu)化方法，對(duì)較大規(guī)模的高階張量數(shù)據(jù)而言，其中的奇異值分解計(jì)算使得核范數(shù)計(jì)算復(fù)雜度極高。文獻(xiàn)[14]中該優(yōu)化求解問(wèn)題通過(guò)求解交替方向乘子算法(Alternating Direction Method of Multipliers， ADMM)完成，得到補(bǔ)全后的3-?；夭ㄐ盘?hào)張量 X。

針對(duì)補(bǔ)全后的信號(hào)張量，基于傅里葉變換的經(jīng)典3維成像算法，可以獲得高分辨率的成像性能。此外，基于譜估計(jì)的成像算法[6，15]也可以應(yīng)用在下視稀疏線陣3維SAR上，實(shí)現(xiàn)超分辨、低旁瓣的成像性能。圖3給出了下視稀疏線陣3維SAR成像算法原理框圖，具體實(shí)現(xiàn)流程如表1所示。

圖3 基于低秩張量補(bǔ)全的下視稀疏線陣3維SAR成像算法原理框圖

表1 基于低秩張量補(bǔ)全的下視稀疏線陣3維SAR成像算法流程

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 點(diǎn)目標(biāo)成像

為了驗(yàn)證本文所提成像算法有效性，模擬了X波段下視稀疏線陣3維SAR點(diǎn)目標(biāo)回波，仿真采用系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。在實(shí)驗(yàn)中，先采集全采樣3維回波數(shù)據(jù)，作為基準(zhǔn)對(duì)比數(shù)據(jù)；然后針對(duì)每一個(gè)方位向-切航向2維數(shù)據(jù)，通過(guò)隨機(jī)選擇數(shù)據(jù)不采樣，降采樣得到的3維稀疏回波數(shù)據(jù)，用于性能驗(yàn)證。

成像仿真場(chǎng)景包括5個(gè)點(diǎn)目標(biāo)，圖4給出了采樣率為80%、信噪比為10 dB的4種算法成像結(jié)果(3維顯示限幅—15 dB)。圖4(a)中稀疏數(shù)據(jù)導(dǎo)致傳統(tǒng)3維RD算法成像結(jié)果惡化，旁瓣增加，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)虛假目標(biāo)。而圖4(b)中本文所提成像算法，未采樣的數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)張量補(bǔ)全準(zhǔn)確恢復(fù)，很好地抑制了旁瓣影響，從而提高了3維成像性能。本文認(rèn)為回波張量的每一維度的低秩性對(duì)張量補(bǔ)全的貢獻(xiàn)是相等的，因此加權(quán)系數(shù)設(shè)為α1=α2=α3=1/3，初始化正則化參數(shù)設(shè)為ρ=1.1。

表2 仿真系統(tǒng)參數(shù)

圖4(c)中基于MC的3維成像結(jié)果旁瓣明顯減少，但是本文所提3維成像算法的旁瓣抑制效果更優(yōu)，這是因?yàn)閺埩垦a(bǔ)全更好地保留了高維數(shù)據(jù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，對(duì)稀疏回波的恢復(fù)更準(zhǔn)確。此外，張量補(bǔ)全避免了矩陣化和向量化處理，更好地提高了成像算法的計(jì)算效率。相比于基于MC的3維成像算法，本文所提成像算法的計(jì)算時(shí)間從253.24 s降低為178.34 s。從圖4(d)來(lái)看，基于克羅內(nèi)克壓縮感知(Kronecker Compressed Sensing， KCS)[17]成像算法引入過(guò)完備字典提高重構(gòu)圖像分辨能力，實(shí)現(xiàn)超分辨成像性能。但是，KCS算法中的高維數(shù)據(jù)矢量化處理對(duì)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量和計(jì)算量帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。本實(shí)驗(yàn)中3維數(shù)據(jù)維度為120×200×120，成像場(chǎng)景空間采樣網(wǎng)格為241×401×241，對(duì)應(yīng)的字典尺寸為2880000×23290481。相比于本文所提3維成像算法運(yùn)行時(shí)間為178.34 s， KCS成像算法運(yùn)行時(shí)間需要約1292.36 s。

圖4 下視稀疏線陣3維SAR成像結(jié)果(80%采樣率)

圖5給出了兩種采樣率的點(diǎn)目標(biāo)(0 m， 0 m， 5 m)的3維成像結(jié)果，分別沿方位向、切航向、高度向的1維截面圖，信噪比為10 dB。針對(duì)80%采樣率的稀疏回波，3維RD成像結(jié)果峰值旁瓣比很高。基于MC的成像算法對(duì)旁瓣有一定的抑制作用，但本文所提成像算法有更優(yōu)的旁瓣抑制效果，聚焦成像性能更好。此外，分析和比較方位向、切航向、高度向的峰值旁瓣比和積分旁瓣比(見(jiàn)表3)，本文所提成像算法對(duì)高維稀疏數(shù)據(jù)的聚焦性能更好。當(dāng)采樣率降低為60%時(shí)，本文所提成像算法對(duì)旁瓣的抑制性能依然明顯。但基于MC的成像算法在采樣率降低到60%時(shí)，成像性能變差，旁瓣惡化明顯。從表3也可以發(fā)現(xiàn)本文所提成像算法對(duì)高維稀疏數(shù)據(jù)的聚焦性能在兩種采樣率下均很穩(wěn)定，而基于MC的3維成像算法成像性能劇烈惡化?；贙CS成像算法在80%和60%采樣率條件下均表現(xiàn)出超分辨的性能，但時(shí)效性較差。

4.2 不同成像條件下的性能比較

為進(jìn)一步驗(yàn)證成像算法性能，一方面，對(duì)全采樣回波數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)降采樣，基于10%～90%采樣率的稀疏回波張量；另一方面，在不同信噪比條件下，SNR=-10 ～10 dB。圖6給出了3維成像結(jié)果的性能。通過(guò)50次蒙特卡羅仿真的，利用標(biāo)準(zhǔn)均方誤差(Normalized Square Error， NSE)定量地評(píng)價(jià)張量補(bǔ)全后的成像質(zhì)量，即NSE=‖ITC-I0‖F(xiàn)/‖I0‖F(xiàn)，其中， ITC， I0分別表示基于稀疏回波張量和基于全采樣回波張量的3維重構(gòu)圖像。從圖6可以看出，隨著采樣率的增加，重構(gòu)誤差逐漸減小。當(dāng)信噪比增加，對(duì)重構(gòu)誤差的影響也相應(yīng)地減小。當(dāng)SNR=10 dB時(shí)，盡管在采樣率非常低時(shí)，重構(gòu)誤差NSE的值也可以保持很小。當(dāng)SNR=—10 dB時(shí)，雖然重構(gòu)誤差增加，但采樣率為50%時(shí)的重構(gòu)誤差NSE也保持在0.4以下。

4.3 基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的有效性驗(yàn)證

在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下設(shè)計(jì)了下視稀疏線陣3維SAR原理性實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)獲得3維SAR的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，如圖7所示。系統(tǒng)由矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(Vector Network Analyzer， VNA)、導(dǎo)軌架、收發(fā)天線對(duì)和控制系統(tǒng)構(gòu)成，目標(biāo)為以包裹鋁箔的5 cm邊長(zhǎng)的方泡沫塊，位于懸掛于天花板頂?shù)呐菽迳?。天線對(duì)工作于T/R模式，VNA工作于X波段，發(fā)射并接收步進(jìn)頻信號(hào)，具體系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表4。導(dǎo)軌通過(guò)控制機(jī)發(fā)送移動(dòng)指令，移動(dòng)至下一個(gè)采樣點(diǎn)位置，其中橫向掃描完成后縱向移動(dòng)至下一行，直至完成縱向所有點(diǎn)掃描，這樣就形成了非均勻采樣的網(wǎng)格數(shù)據(jù)。與實(shí)際下視稀疏線陣3維SAR相對(duì)應(yīng)，橫向?yàn)榍泻较颍v向?yàn)榉轿幌颉?/p>

圖5 不同采樣率的3維SAR成像結(jié)果一維截面圖

表3 基于80%采樣率稀疏數(shù)據(jù)的點(diǎn)目標(biāo)的3維成像性能

圖6 不同成像條件下的成像性能比較

圖7 原理性實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)儀器及場(chǎng)景

表4 下視線陣3維SAR系統(tǒng)參數(shù)

圖8 基于實(shí)測(cè)稀疏數(shù)據(jù)的3維成像結(jié)果比較

通過(guò)上述3維SAR系統(tǒng)，按60%采樣率進(jìn)行稀疏采樣獲得稀疏回波數(shù)據(jù)，比較3維RD算法、基于MC的成像算法、基于KCS的成像算法與本文提出的成像算法的3維成像結(jié)果，如圖8所示。顯而易見(jiàn)，稀疏采樣引起了3維RD成像結(jié)果中高的旁瓣和柵瓣，降低了圖像質(zhì)量，如圖8(a)。特別的是，由于切航向的采樣率比方位向更低，旁瓣和柵瓣的影響在切航向上顯得尤為突出。通過(guò)MC后的成像結(jié)果如圖8(b)，雖然對(duì)旁瓣有一定的抑制作用，但成像性能明顯不如基于KCS的成像算法和本文提出的成像算法。從圖8(c)和圖8(d)可以看出，雖然這兩種成像算法都可以獲得滿意的成像性能，但從算法效率來(lái)看，基于KCS的成像算法和本文提出的成像算法消耗的計(jì)算時(shí)間分別為2413.18 s， 126.41 s，這是因?yàn)镵CS重構(gòu)過(guò)程中高維數(shù)據(jù)的矢量化處理帶了巨大的存儲(chǔ)和計(jì)算負(fù)擔(dān)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)下視稀疏線陣3維SAR系統(tǒng)，對(duì)稀疏回波信號(hào)進(jìn)行張量空間建模。結(jié)合回波張量低秩性，提出了一種基于低秩張量補(bǔ)全的下視稀疏線陣SAR 3維成像算法。本算法先利用稀疏回波信號(hào)的低秩性，重構(gòu)丟失的信號(hào)數(shù)據(jù)，再3維聚焦成像，高效率地獲得高分辨率、低旁瓣圖像。針對(duì)3維場(chǎng)景中點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行了仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，并在多種成像條件下，與不同成像算法的成像性能進(jìn)行了比較和分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性，表明針對(duì)高維稀疏信號(hào)在方位向、切航向、高度向都取得了良好的聚焦性能，可以更有效地抑制旁瓣影響、提高計(jì)算效率。本文的理論推導(dǎo)是通過(guò)1階泰勒展開(kāi)近似來(lái)描述數(shù)據(jù)信息，因此僅適用于3維場(chǎng)景中的點(diǎn)目標(biāo)展開(kāi)研究。在下一步工作中，將針對(duì)具有分布式特性的面目標(biāo)開(kāi)展3維成像的深入研究。