子空間約束的一階秩1干擾下的自適應(yīng)檢測

鄒 鯤 來 磊 駱艷卜 李 偉

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院 西安 710077)

1 引言

雷達信號檢測理論是建立在統(tǒng)計假設(shè)檢驗基礎(chǔ)上的[1]，檢測性能在很大程度上依賴背景噪聲統(tǒng)計模型。由于在檢測器設(shè)計階段，雷達工作環(huán)境統(tǒng)計特性無法完全確定下來，因此在對某個待檢測單元進行檢測時，還需要一定數(shù)量的參考單元，用于估計待檢測單元背景噪聲統(tǒng)計特性，從而可以自適應(yīng)調(diào)整檢測器中的權(quán)值，在抑制噪聲的同時完成信號的檢測，這種檢測方法稱為自適應(yīng)檢測器。

經(jīng)典的自適應(yīng)檢測器，如Kelly[2]提出的廣義似然比(Generalized Likelihood Ratio Test， GLRT)檢測器，采用了單步(1-step， 1S)準則，將待檢測數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)一起用于構(gòu)造GLRT檢測器。由于雷達檢測問題一般不存在一致最大勢檢驗，這種GLRT檢測器并不能保證在任何情況下的最優(yōu)性[3]。因此人們提出了不同設(shè)計準則下的自適應(yīng)檢測器，基于雙步(2-Step， 2S)準則，可以得到自適應(yīng)匹配濾波器(Adaptive Matched Filter， AMF)[4]，其與基于Wald準則得到的檢測器[5]具有相同的結(jié)構(gòu)，而基于Rao準則得到的自適應(yīng)檢測器[6]對導(dǎo)向矢量失配較為敏感。

雷達探測環(huán)境的復(fù)雜性[7]一方面顯著降低了這些經(jīng)典檢測器的檢測性能[8]，另一方面也促進了自適應(yīng)檢測技術(shù)的發(fā)展[9]。假定參考數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為Rs，而待檢測單元背景噪聲協(xié)方差矩陣為Rp。經(jīng)典的自適應(yīng)檢測算法要求Rs=Rp，即所謂的均勻性。如果放松這一約束條件，假定Rs=cRp，其中c為某個未知因子，這種探測環(huán)境稱為部分均勻場景，對應(yīng)的GLRT檢測器結(jié)構(gòu)也會發(fā)生變化，即所謂的自適應(yīng)相干估計器[10](Adaptive Coherence Estimator， ACE)。進一步非均勻場景[11]中，即Rs≠Rp，自適應(yīng)檢測將更加困難。導(dǎo)致場景的非均勻性[12]不僅可以來自探測環(huán)境地物分布，也可以來自各種可能的干擾(interference)。干擾對接收信號的影響從統(tǒng)計層面上可以分為1階干擾和2階干擾[13]，其分別影響了回波數(shù)據(jù)的1階和2階統(tǒng)計特性，其中正交干擾[14]、低秩干擾[15]、子空間干擾[16，17]等都屬于1階干擾。對于噪聲干擾源[18]，也可以看作2階干擾[19]。2階干擾在某些情況下也可以等價于非均勻場景模型[20]。在多通道雷達檢測問題中，噪聲干擾源通常具有明顯的方向性，導(dǎo)致干擾分量具有秩1特性[21]。文獻[22]證明了待檢測單元受到2階秩1干擾時，檢測器結(jié)構(gòu)就是ACE。文獻[23]則考慮待檢測單元和參考數(shù)據(jù)同時受到1階子空間干擾和2階秩1干擾時的檢測問題。

本文考慮探測環(huán)境中存在似噪聲覆蓋脈沖(Noise-like Cover Pulse， NCP)的干擾源，其導(dǎo)致了待檢測單元與部分參考單元受到1階秩1干擾。針對該檢測問題，文獻[24]基于2SGLRT檢驗準則，首先假定噪聲協(xié)方差矩陣已知，利用待檢測單元和受干擾的參考數(shù)據(jù)推導(dǎo)廣義似然比檢測器，然后利用未受污染的參考數(shù)據(jù)估計噪聲協(xié)方差矩陣，將其估計值并代入檢測器中，得到的檢測器為D-NCP-D。由于該檢測器在噪聲協(xié)方差矩陣估計時僅僅利用了部分參考數(shù)據(jù)，導(dǎo)致了在干擾功率較低時，檢測性能較差(檢測概率隨著信噪比的增加不能達到100%，參見文獻[24]圖8—圖10)。本文的主要貢獻在于：

(1) 將1階秩1干擾約束在某個已知的子空間內(nèi)。子空間約束(Subspace Constrained， SC)表征了干擾分量的先驗信息，充分利用這些先驗信息有助于提升檢測性能。需要指出的是，若該子空間為整個信號空間，對應(yīng)的檢測問題就退化為文獻[24]的檢測問題，因此D-NCP-D是本文提出的檢測器的一個特例。

(2) 改進檢測器設(shè)計準則，提升檢測性能和計算效率。文獻[24]基于2SGLRT檢驗準則中，噪聲協(xié)方差矩陣的估計僅僅利用了部分未受干擾的參考數(shù)據(jù)，由于參考數(shù)據(jù)使用不充分，檢測性能得不到充分的發(fā)揮。本文提出了M2SGLRT和3SGLRT兩種檢測器設(shè)計準則，其中基于M2SGLRT準則可以利用全部參考數(shù)據(jù)用于噪聲協(xié)方差矩陣的估計，有效提升檢測性能，而基于3SGLRT準則可以顯著降低檢測器計算量，且檢測性能不劣于D-NCP-D。

2 檢測問題

考慮多通道雷達，天線陣列個數(shù)為Na，相干處理間隔內(nèi)的脈沖數(shù)量Np，那么來自待檢測距離單元的回波信號，經(jīng)過下變頻、正交雙通道數(shù)字采樣和匹配濾波之后，可以用一個長度為N=Na×Np的矢量z0表示，假設(shè)其服從復(fù)高斯分布，協(xié)方差矩陣為N維Hermitian正定矩陣M，且假定未知。待檢測單元回波矢量z0中還疊加有未知幅度β0的干擾矢量s，假定該矢量s被約束在由N×r列滿秩矩陣H 的列張成(用＜H ＞表示)的子空間內(nèi)，即s=β0H φ，其中φ 表示干擾矢量s在＜H＞內(nèi)的坐標，且未知。本文假定H是已知的，代表了對干擾的部分先驗信息。假定在H1假設(shè)下，待檢測單元回波矢量z0中包含了未知幅度α的有用信號v，其也稱為導(dǎo)向矢量。在自適應(yīng)檢測問題中，還存在K+L個參考數(shù)據(jù)，即ZL=[z1， z2， ···， zL]， ZK=[z1，z2， ··· ， zK]。這些參考數(shù)據(jù)也服從復(fù)高斯分布，協(xié)方差矩陣為M，但參考數(shù)據(jù)ZL疊加了未知幅度βl的干擾矢量s， l=1， 2， ···， L。綜上所述，考慮如式(1)所示的自適應(yīng)檢測問題

其中，CN(a，A)表示均值矢量為a，協(xié)方差矩陣為A的復(fù)高斯分布，符號～表示“服從某種分布”。在這個假設(shè)檢驗問題中，未知量包括了有用信號幅度α，干擾分量幅度βl， l=0， 1， ···， L，干擾矢量在子空間內(nèi)的坐標矢量 φ和背景噪聲的協(xié)方差矩陣M。在構(gòu)造檢測器過程中，如何充分有效處理這些未知參量，將極大影響最終的檢測性能。

2.1 基于2SGLRT的檢測器設(shè)計

所謂2SGLRT準則，就是首先假定噪聲協(xié)方差矩陣M是已知的，利用待檢測單元數(shù)據(jù)z0和L個受干擾的參考數(shù)據(jù)ZL完成GLRT檢測器結(jié)構(gòu)設(shè)計，然后再利用K個未受干擾的參考數(shù)據(jù)完成噪聲協(xié)方差矩陣M的估計，將其估計值并代入該檢測器結(jié)構(gòu)中。文獻[24]采用了這種檢測器設(shè)計策略，本文進一步假定了干擾約束在某個子空間內(nèi)，因此文獻[24]獲得的檢測器可以作為本文提出的2SGLRT檢測器的一個特例，即H為單位矩陣的情況。

利用統(tǒng)計假設(shè)問題式(1)，在H0下的似然函數(shù)可以表示為

其中

將式(4)代入式(3)中得到

在H1下的似然函數(shù)可以表示為

其中

如果給定參數(shù)β可以得到

采用循環(huán)優(yōu)化的方法可以得到最終估計值，具體方法參見文獻[24]。再將未受干擾的K個參考可以得到噪聲協(xié)方差矩陣M的最大似然估計[2]

需要指出的是，如果矩陣H=IN，那么SC-2SGLRT就退化為文獻[24]的D-NCP-D檢測器。從推導(dǎo)過程可以看出，噪聲協(xié)方差矩陣M的估計僅僅使用了K個未受干擾的參考數(shù)據(jù)，如果K取值較小，可能導(dǎo)致噪聲協(xié)方差矩陣估計質(zhì)量變差，嚴重影響了檢測性能。文獻[24]的研究結(jié)論中，當噪聲占主導(dǎo)作用時，D-NCP-D檢測器性能明顯下降，甚至當信噪比足夠大時，檢測概率仍然達不到100%。而SC-2SGLRT采用子空間約束干擾模型，可以通過利用干擾的先驗信息提升檢測性能。

2.2 基于M2SGLRT的檢測器設(shè)計

采用2SGLRT準則設(shè)計檢測器過程中，噪聲協(xié)方差矩陣M的估計僅僅利用了K個參考數(shù)據(jù)，如果K值不夠大，那么必然會帶來M的估計質(zhì)量降低，影響最終的檢測性能。為此本文提出了一種修正的雙步廣義似然比檢驗(M2SGLRT)準則，其也分為兩個步驟設(shè)計檢測器結(jié)構(gòu)。首先假設(shè)噪聲協(xié)方差矩陣M和干擾矢量在子空間坐標φ已知，利用待檢測單元構(gòu)造似然比。然后利用L+K個參考數(shù)據(jù)對噪聲協(xié)方差矩陣M和干擾矢量在子空間中的坐標φ進行估計，將估計值代入檢測器結(jié)構(gòu)中，完成檢測器設(shè)計。這種設(shè)計思路可以充分利用有限的參考數(shù)據(jù)獲得較好的噪聲協(xié)方差矩陣M的估計，對提升檢測器性能是有幫助的。

為此首先給出待檢測單元在H0下的似然函數(shù)

該似然函數(shù)中，首先假定僅β0未知，容易得到其最大似然估計

代入式(15)中可以得到

同樣，H1下的待檢測單元似然函數(shù)可以寫成

其中，β=[β1， β2， ···， βL]是討厭參數(shù)，其不參與最終的檢測器結(jié)構(gòu)設(shè)計。可以利用式(11)的方法得到估計值，并代入式(21)中，可以得到

由于參數(shù)M和 φ的估計不能單獨給出，為此也可以采用循環(huán)優(yōu)化的方法。當給定M時，利用式(6)的推導(dǎo)方法，可以得到

該檢測器的最大特點在于利用了L+K個參考數(shù)據(jù)估計噪聲協(xié)方差矩陣，從而可以有效提高噪聲占優(yōu)時的檢測性能。與SC-2SGLRT對比還可以發(fā)現(xiàn)，SC-M2SGLRT具有簡單的檢測器結(jié)構(gòu)，其中表示白化后的待檢測數(shù)據(jù)，和分別是信號和干擾聯(lián)合子空間和干擾子空間H～φ上的兩個正交投影矩陣，因此式(25)可以看作在這兩個子空間上投影長度平方差。

2.3 基于3SGLRT的檢測器設(shè)計

無論是2SGLRT還是M2SGLRT，得到的檢測器需要用到循環(huán)優(yōu)化方法或不動點迭代算法，這些算法計算量較大。為此本文提出了一種基于3SGLRT的檢測方法，分為3個步驟設(shè)計檢測器結(jié)構(gòu)。首先假定噪聲協(xié)方差矩陣M和干擾分量在子空間坐標φ已知，利用待檢測單元構(gòu)造GLRT檢測器，其檢測器結(jié)構(gòu)中包含了未知參數(shù) φ和M。然后假定噪聲協(xié)方差矩陣M已知，利用受污染的參考數(shù)據(jù)獲得干擾分量在子空間坐標 φ的估計值，替換GLRT中的未知參數(shù) φ。最后利用未受干擾的參考數(shù)據(jù)獲得噪聲協(xié)方差矩陣M的估計，并代入GLRT中，替換未知參數(shù)M。

該檢測器設(shè)計的第1步是利用待檢測單元構(gòu)造似然比，其推導(dǎo)過程與SC-M2SGLRT相同，可以得到式(20)，噪聲協(xié)方差矩陣M的估計為式(13)，參數(shù) φ的為式(23)，將上述估計值代入式(20)中，可以得到最終的檢測器結(jié)構(gòu)

值得指出的是，SC-3SGLRT具有與SC-M2SGLRT相同的檢測器形式，主要區(qū)別在于M的估計值不一樣。正是由于此處噪聲協(xié)方差矩陣M的估計使用了K個未受干擾的參考數(shù)據(jù)，因此整個檢測器計算過程中不涉及迭代計算問題，計算效率得到了顯著提升。

3 檢測性能分析

本文采用蒙特卡羅仿真分析檢測性能，基于Neyman-Pearson準則，計算指定虛警概率Pfa的檢測門限，再計算給定信噪比條件下的檢測概率Pd。門限的計算采用了100/Pfa次獨立仿真獲得，檢測概率的計算則是采用了1000次獨立仿真獲得。在仿真噪聲數(shù)據(jù)過程中，噪聲包含了白噪聲分量和相關(guān)噪聲分量，對應(yīng)的噪聲協(xié)方差矩陣M包含白噪聲協(xié)方差矩陣和相關(guān)噪聲協(xié)方差矩陣兩個部分

干擾與噪聲的功率比(Interference to Noise Ratio，INR)則定義[23]為

秩1干擾約束在已知子空間內(nèi)，子空間由矩陣H的列矢量張成。

對于基于2SGLRT和M2SGLRT檢驗準則的檢測器，涉及了迭代計算問題，為此首先分析本文提出的檢測器計算效率問題。M2SGLRT檢測器中在計算噪聲協(xié)方差矩陣M的估計時，采用了不動點估計方法，圖1(a)給出了迭代計算過程中兩次計算值之差的范數(shù)隨著迭代的變化關(guān)系。誤差的計算采用獨立運行10次進行平均。由此可以得到迭代次數(shù)與平均誤差的曲線關(guān)系。仿真中N取4， 8和16時的不動點估計性能，其中L=N+2， K=N+4?？梢钥闯鰩缀踔恍璧?次就可以達到最小誤差值，且最小誤差隨N的增加變化不大。圖1(b)給出了3種檢測方法的計算耗時對比分析。這里設(shè)定H=IN，因此檢測問題中干擾不受子空間約束，那么2SGLRT檢測器等價于文獻[24]的D-NCP-D檢測器。計算耗時與檢測問題的尺寸N有關(guān)，采用200次獨立運行，獲得計算1個統(tǒng)計量所需的時間的平均值，計算機采用的是Intel Core i5處理器。可以看出，隨著N的增加，檢測器計算時間都會增加，但D-NCP-D的運算量最大，而3SGLRT的計算不涉及迭代計算，其計算量最小，M2SGLRT計算量居于上述兩者之間。因此，從本文的分析結(jié)果來看，采用M2SGLRT和3SGLRT準則得到的檢測器，具有較好的計算效率。

圖1 數(shù)值計算性能分析

再分析檢測性能。在計算機仿真參數(shù)中，設(shè)定N=8， L=10， K=12，虛警概率Pfa=10—3， H為N×2列滿秩矩陣時，表示干擾受子空間約束，檢測器名稱前帶有前綴符號“SC-”。若H為N×N單位矩陣，表示干擾不受子空間約束，此時檢測器名稱不帶前綴符號。

考慮到INR與檢測性能密切相關(guān)，首先分析INR較小時，各種檢測器的性能對比。檢測性能結(jié)果如圖2所示。其中圖2(a)為無干擾情況下的檢測性能，圖2(b)為INR=0 dB的檢測性能。可以看出，當干擾功率較小時，采用2SGLRT的檢測器D-NCP-D的性能最差，這是因為其僅僅利用了部分參考數(shù)據(jù)完成噪聲協(xié)方差矩陣的估計，噪聲的抑制能力減弱，最終降低了檢測性能。還可以發(fā)現(xiàn)，隨著信噪比的增加，D-NCP-D的檢測概率很難達到100%，這一點與文獻[24]描述是一致的。而采用了子空間約束的SC-2SGLRT檢測器，其檢測性能得到了提升，這說明可以利用干擾的先驗信息提升D-NCP-D的檢測性能。但從仿真結(jié)果來看，利用干擾的先驗信息提升檢測性能對3SGLRT的提升效果不明顯，而對2SGLRT和M2SGLRT提升顯著。

當干擾強度較高時，檢測性能如圖3所示?？梢钥闯觯S著干擾強度的增加，D-NCP-D的檢測性能得到了增強，但由于未使用干擾的先驗信息，其檢測性能弱于對應(yīng)的子空間約束版本SC-2SGLRT。由于干擾功率較強，意味著回波中蘊含干擾的信息較多，因此采用子空間約束對于性能的提升效果減弱了，即SC-M2SGLRT的性能較為接近M2SGLRT，而SC-3SGLRT的性能幾乎與3SGLRT一樣。仔細對比圖3(a)和圖3(b)還可以看出，對于強度較高的干擾，如INR=20 dB， 2SGLRT檢測性能會略高于3SGLRT，但自始至終2SGLRT檢測性能明顯優(yōu)于其他檢測器性能。因此從仿真分析結(jié)果來看，對于高強度干擾，采用子空間約束提升檢測性能效果較弱，但采用合適的檢驗準則可以顯著提升檢測性能。

圖2 INR較低時的檢測性能對比分析

圖3 INR較高時的檢測性能對比分析

4 結(jié)論

本文針對待檢測單元和部分參考數(shù)據(jù)受到1階秩1干擾的自適應(yīng)檢測問題展開研究，提出了干擾受子空間約束時的3種檢測方法。通過理論分析和計算機仿真，得到了如下結(jié)論：

(1) 采用子空間約束的秩1干擾模型，由于利用了干擾的部分先驗信息，有助于提升干擾條件下的檢測性能，特別是在INR較低的情況下，采用子空間約束版本的檢測器性能提升明顯。

(2) 采用M2SGLRT準則得到的檢測器，可以獲得較好的檢測性能，其計算量低于2SGLRT檢測器。

(3) 采用3SGLRT準則得到的檢測器，可以獲得較高的計算效率，且僅僅在高INR值時，其檢測性能略低于2SGLRT檢測器。

綜上所述，在干擾功率較強時，推薦采用不受子空間約束的M2SGLRT檢測器，而在干擾較弱時，推薦使用子空間約束版本。對計算效率要求較高時，推薦使用3SGLRT檢測器。2SGLRT計算效率低，且在低INR時的檢測性能下降顯著，一般不推薦使用。