部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)框支框架部分承擔傾覆力矩的計算方法研究

曾慶立， 魏 璉， 王 森， 杜宏彪

(1 深圳大學土木與交通工程學院， 深圳 518060；2 深圳市力鵬工程結(jié)構(gòu)技術有限公司， 深圳 518034)

0 前言

《建筑抗震設計規(guī)范》(GBJ 11-89)[1](簡稱89抗規(guī))第6.1.13條規(guī)定 “……落地抗震墻數(shù)量不宜小于上部抗震墻數(shù)量的50%……”，對此，文獻[2]的說明為框支層是結(jié)構(gòu)的薄弱層，在地震作用下容易產(chǎn)生塑性變形集中導致框支層首先破壞甚至倒塌，因此應限制過多削弱框支層剛度和承載力?！督ㄖ拐鹪O計規(guī)范》(GB 50011—2001)[3](簡稱01抗規(guī))取消了落地墻數(shù)量不小于上部抗震墻數(shù)量的50%的規(guī)定?！督ㄖ拐鹪O計規(guī)范》(GB 50011—2010)[4](簡稱10抗規(guī))和《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術規(guī)程》(JGJ 3—2010)[5](簡稱10高規(guī))進一步對框支框架部分承擔的地震傾覆力矩作出了規(guī)定。10抗規(guī)第6.1.9條規(guī)定 “……底層框架部分承擔的地震傾覆力矩，不應大于結(jié)構(gòu)總地震傾覆力矩的50%”；10高規(guī)第10.2.16條規(guī)定“框支框架部分承擔的地震傾覆力矩應小于結(jié)構(gòu)總地震傾覆力矩的50%”；文獻[6]對此的說明是，若把框支層視為普通的框架剪力墻結(jié)構(gòu)，當框支框架部分承擔的地震傾覆力矩大于50%時，該框支層為少墻框架結(jié)構(gòu)，對抗震不利。

現(xiàn)行軟件主要是沿用10抗規(guī)關于框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的算法計算框支框架部分部分承擔的傾覆力矩，如式(1)所示：

(1)

式中：n為結(jié)構(gòu)層數(shù)；m為第i層框架柱的總根數(shù)；Vij為第i層第j根框架柱在規(guī)定水平力作用下的剪力；hi為第i層層高。

然而，現(xiàn)行軟件在應用式(1)的抗規(guī)法時均存在一些問題和不足[7-8]，導致計算結(jié)果不能應用或存在疑惑，本文擬通過對現(xiàn)有軟件框支框架部分承擔傾覆力矩比算法的分析研究，指出其不足之處，并提出了抗規(guī)法及力偶法在部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)的合理應用。

1 PKPM，ETABS軟件算法

部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。pi為作用在圖1(b)所示左側(cè)隔離體的第i層水平外力；hi為第i層層高。當將式(1)應用于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)時，假設框支層在第k層，PKPM，ETABS等軟件按照式(2)計算第s層(1≤s≤k)框支框架部分部分承擔的傾覆力矩比ηfs：

(2)

式中:m為第i層框架柱的總根數(shù)；Vij為第i層第j根框架柱在規(guī)定的水平力作用下的剪力；Mov為結(jié)構(gòu)底層傾覆力矩，可按式(3)，(4)計算，其中Vi為規(guī)定水平力作用下第i層的樓層總剪力，F(xiàn)i為第i層的規(guī)定水平力。

(3)

Vi=Fi+Fi+1+…+Fn

(4)

式中n為結(jié)構(gòu)層數(shù)。

將式(3)代入式(2)得

(5)

PKPM，ETABS等軟件將式(5)應用于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)時，該式分子的部分僅包含了框支框架部分的剪力，由于框支層以上樓層不存在框支柱，其計算結(jié)果必然偏小。

圖1 部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)示意圖

在此假設第s層框支框架部分所占的樓層剪力比λfs為：

λfs=Vcs/Vs≤1

(6)

式中：Vcs為第s層框支框架部分分擔的總剪力；Vs為第s層樓層總剪力；對于剪力墻均不落地的框支-剪力墻結(jié)構(gòu)，λfs等于1；對于剪力墻落地的部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)，λfs總小于1。

將式(5)應用于剪力墻均不落地的算例，對于第s層，由于λfs總等于1，其計算結(jié)果為：

(7)

即當采用式(5)計算剪力墻均不落地的框支-剪力墻結(jié)構(gòu)，框支層及其下任意一層框支框架部分部分承擔的傾覆力矩比總是小于1，由此可以判斷式(5)的算法是不正確的。可進一步證明，對于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)，式(5)計算得到的傾覆力矩比是偏小的。

總存在一個折算系數(shù)λs使得式(8)成立。

λfsVshs+λf(s+1)Vs+1hs+1+…+λfkVkhk

=λsVshs+λsVs+1hs+1+…+λsVkhk

(8)

此時，式(5)可進一步表達為：

(9)

不妨假設第i層的規(guī)定水平力Fi可近似采用式(10)求得[4]:

(10)

式中：Gi，Gj分別為第i層、第j層的重力荷載代表值；Hi，Hj分別為第i層、第j層的計算高度;FE為總規(guī)定水平力。

又假定質(zhì)量沿樓層均勻分布，層高均相同，則式(10)可簡化為：

(11)

將式(11)代入式(4)得：

(12)

將式(12)代入式(9)并整理簡化可得：

ηfs=λsβs

(13)

(14)

(15)

此處不妨稱βs為傾覆力矩比計算系數(shù)。式(15)表明，傾覆力矩比計算系數(shù)βs與結(jié)構(gòu)樓層總數(shù)及框支層所在的樓層位置有關，表1，2分別給出了不同樓層總數(shù)及框支層在不同位置時，底層以及框支層的傾覆力矩比計算系數(shù)的大小。

底層傾覆力矩比計算系數(shù)β1 表1

框支層傾覆力矩比計算系數(shù)βk 表2

表1，2結(jié)果表明，底層與框支層的傾覆力矩比計算系數(shù)隨結(jié)構(gòu)樓層總數(shù)的增加逐漸減小，隨框支層所在位置的增加逐漸增大；進一步得到了不同樓層總數(shù)的部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)，當框支層位置分別在底層、2層、3層、4層以及5層時，底層以及框支層的傾覆力矩比計算系數(shù)如圖2、圖3所示。由圖2，3可知，當結(jié)構(gòu)樓層總數(shù)相同時，框支層所在位置越靠近底部，其傾覆力矩比計算系數(shù)越小，由此計算得到的傾覆力矩比越?。煌瑫r，當框支層位置保持不變時，隨著樓層總數(shù)的增加，傾覆力矩比計算系數(shù)越小。從圖2，3可看出，當結(jié)構(gòu)樓層總數(shù)不少于20層時，底層傾覆力矩比計算系數(shù)最大值小于0.4，框支層傾覆力矩比計算系數(shù)最大值小于0.1，其數(shù)值較小。

圖2 底層傾覆力矩比計算系數(shù)

圖3 框支層傾覆力矩比計算系數(shù)

綜上分析，由式(13)計算得到的框支框架部分承擔的傾覆力矩比偏小。在此以結(jié)構(gòu)樓層總數(shù)為30層，框支層位置分別在底層、2層、3層、4層以及5層為例說明。由表1，2可知，當結(jié)構(gòu)樓層總數(shù)為30層時，底層傾覆力矩比計算系數(shù)β1隨框支層位置的變化其范圍約為(0.049，0.244)，框支層傾覆力矩比計算系數(shù)βk隨框支層位置的變化，其范圍約為(0.049，0.060)；在此不妨假設λs無限接近于1，可以想象對應的情形是幾乎所有剪力墻均未落地，根據(jù)表1，2的計算結(jié)果，此時底層框支框架部分承擔的傾覆力矩比最大的只有約為0.244，框支層框支框架部分的傾覆力矩比最大的只有約為0.060；根據(jù)工程經(jīng)驗，對于大多數(shù)工程，λs基本達不到0.5，則本例中底層及框支層框支框架部分承擔的傾覆力矩比分別0.122，0.03，恰恰說明了PKPM，ETABS等軟件應用抗規(guī)法計算得到的傾覆力矩比偏小，這使得設計人員僅根據(jù)此計算結(jié)果及相關規(guī)范條文規(guī)定可能會作出落地墻數(shù)量已足夠的不合理判斷。

2 YJK軟件算法

將式(1)應用于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)時，YJK軟件提出了與上述軟件不同的算法。

依然假設框支層在第k層，計算第s層的框支框架部分承擔的傾覆力矩比ηfs時，YJK軟件按式(16)計算。

(16)

式中Mov-p為規(guī)定水平力作用下框支層相鄰上一層的總傾覆力矩。

根據(jù)式(3)，則式(16)的分母可表達為

(17)

將式(4)代入式(17)并整理得：

Mov-Mov-p=(Fs+F2+…+Fn)hs+(Fs+1+F2+…+Fn)hs+1+…+(Fk+Fk+1+…+Fn)hk

(18)

由此可見，YJK軟件的算法實質(zhì)是將圖4(a)的計算模型轉(zhuǎn)化成圖4(b)的計算模型，即模型中將框支層上部樓層的規(guī)定水平力均作用于框支層，將框支層以下樓層視為框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，其框支框架部分部分承擔的傾覆力矩計算方法與10抗規(guī)關于框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的算法相同。

[15] Robert Sutter, Chin-Hao Huang, “China-Southeast Asia Relations: Managing Rising Tensions in the South China Sea”, Comparative Connections, September 2011.

圖4 YJK軟件計算方法簡圖

由此可見，對比其他軟件的算法，YJK軟件的算法相當于將式(5)的分母部分扣除了框支層相鄰上一層的傾覆力矩，使得YJK軟件的算法計算結(jié)果較其他軟件算法大，但該法僅僅考慮了框支框架部分的剪力，并未解決其他軟件應用抗規(guī)法時存在的問題，其值實際上仍然偏小。

3 抗規(guī)法于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)的合理應用

根據(jù)文獻[9]的研究，抗規(guī)法計算結(jié)果的實質(zhì)是底層框架及以上隔離體所分配到的層水平外力對底層框架的力矩之和，由此可見，當抗規(guī)法應用于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)時，框支框架部分部分承擔的傾覆力矩應為底層(框支層)框支框架部分及以上隔離體所分配到的層水平外力對底層(框支層)框支框架部分的力矩之和，如圖1(b)所示左側(cè)的帶框支層隔離體，底層框支框架部分承擔的傾覆力矩應為：

Mf=pn(hn+hn-1+…+h1)+

pn-1(hn-1+…+h1)+…+p1h1

(19)

對該式進一步簡化后，得到本文建議的抗規(guī)算法：

(20)

對比現(xiàn)有軟件，本文在應用抗規(guī)法時，不僅僅只包含框支層及以下各層框支柱的剪力，式(20)中還計算了框支柱及各非落地墻的剪力，其本質(zhì)計算的是各層水平外力對底部框支框架部分的外力矩之和，該計算方法與抗規(guī)法在框架-剪力墻結(jié)構(gòu)中的應用是一致的。

需特別指出，如圖5所示的部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)，承托非落地剪力墻的轉(zhuǎn)換梁一側(cè)支撐在框支柱另一側(cè)支撐在落地剪力墻時，應用式(20)計算框支框架部分部分承擔的傾覆力矩時，該公式是否能包括此轉(zhuǎn)換梁所承托的非落地墻尚需要進一步深入的研究。

圖5 轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)示意圖

4 軸力法

由于抗規(guī)法存在的種種問題，有學者[10]提出了基于結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力及彎矩的軸力法，使用式(21)計算框架部分X向承擔的傾覆力矩。

(21)

式中：n為底層框架柱的總數(shù)；Ni為結(jié)構(gòu)底層第i根框架柱在規(guī)定水平力作用下的軸力；xi為第i根框架柱的橫坐標;x0為取矩點的橫坐標；Mci為第i根框架柱柱底彎矩。

因此，框支框架部分承擔的傾覆力矩比例ηc為：

(22)

文獻[7]指出軸力法存在不同求矩點計算結(jié)果不一致的問題。

5 力偶法于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)的應用

根據(jù)文獻[9]的研究成果，對于框架-剪力墻結(jié)構(gòu)而言，框架部分承擔的傾覆力矩為：

(23)

(24)

(25)

由此可得由力偶法計算得到的框支框架部分承擔的傾覆力矩比為：

(26)

與式(2)的抗規(guī)法相比，力偶法考慮了豎向構(gòu)件軸力及位置對抵抗外力矩的影響，更符合各豎向構(gòu)件的實際受力狀態(tài)；與軸力法相比，力偶法嚴格根據(jù)梁受力反彎點位置進行計算，理論嚴密合理。

6 算例

圖6為非對稱的部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)算例，框支柱截面為1 000mm×1 000mm，轉(zhuǎn)換梁截面b×h為500mm×1 000mm，連梁截面b×h為200mm×800mm剪力墻墻厚為200mm，混凝土強度等級均為C30。在圖6所示水平力作用下，分別采用PKPM軟件的抗規(guī)法、軸力法以及本文的抗規(guī)法、力偶法得到的框支層框支框架部分承擔的傾覆力矩比，計算結(jié)果見表3。

圖6 部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)案例示意圖

X向框支框架部分承擔的傾覆力矩比表3

表3計算結(jié)果表明，PKPM軟件采用的抗規(guī)法計算結(jié)果為13.86%，此計算結(jié)果明顯偏小，會造成不合理的判斷；軸力法及力偶法的計算結(jié)果約為65.9%，而本文提出的抗規(guī)法計算結(jié)果為50.8%，比其他軟件采用的抗規(guī)法大得多。由于不平衡軸力較小，由文獻[9]可知，此案例的軸力法與力偶法計算結(jié)果接近。

7 結(jié)論

(1)PKPM，ETABS應用抗規(guī)法計算的框支框架部分承擔的傾覆力矩占比偏小。

(2)YJK軟件的算法將框支層以上的地震力集中在框支層后沿用抗規(guī)法計算傾覆力矩比，雖然計算結(jié)果較PKPM，ETABS軟件的計算結(jié)果大，但僅僅

考慮了框支框架部分的剪力，其計算結(jié)果仍然是偏小的。

(3)軸力法考慮了框支柱底部軸力對抵抗外力矩的貢獻是合理的，但計算結(jié)果會因求矩點的不同有所差異。

(4)抗規(guī)法應用于部分框支-剪力墻結(jié)構(gòu)時，框支框架部分部分承擔的傾覆力矩應為框支層框支框架部分及以上隔離體所分配到的層水平外力對框支層框支框架部分的力矩之和。

(5)軸力法求矩點定在底層的一個點，而力偶法則嚴格根據(jù)梁受力反彎點位置進行計算，理論嚴密合理，供工程界參考使用。