油在分形有機(jī)納米毛細(xì)管中的有效滲透率

王桂芹，周蔚怡，楊 勇

（1.延安大學(xué)石油工程與環(huán)境工程學(xué)院，陜西延安 716000；2.延長(zhǎng)油田富縣采油廠，陜西延安 716000）

近年來(lái)，隨著頁(yè)巖油氣勘探開(kāi)發(fā)的成功，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到頁(yè)巖不僅具有“源、蓋層”的功能，而且還具有儲(chǔ)層的功能。頁(yè)巖儲(chǔ)層已引起普遍關(guān)注，成為研究熱點(diǎn)[1，2]，儲(chǔ)存在頁(yè)巖中的石油，稱為頁(yè)巖油，它是非常規(guī)石油的重要組成部分[3]。據(jù)估計(jì)，全世界頁(yè)巖油的可采儲(chǔ)量為6.89×1011t，約為常規(guī)原油儲(chǔ)量（碳酸鹽和砂巖）的三倍[2]。特別是，美國(guó)的幾個(gè)大型非常規(guī)地層（Bakken，Eagle Ford，Niobrara 等）的產(chǎn)量已接近美國(guó)國(guó)內(nèi)產(chǎn)量的一半。我國(guó)鄂爾多斯盆地、松遼盆地以及準(zhǔn)格爾盆地等也已發(fā)現(xiàn)了豐富的頁(yè)巖油資源[4]，然而，頁(yè)巖被稱為“致密”巖石，是一種典型的納米孔介質(zhì)，廣泛存在有機(jī)納米級(jí)孔隙[5]，為了模擬油在頁(yè)巖油藏多孔介質(zhì)中的流動(dòng)，首先需要建立單個(gè)有機(jī)納米孔中油的流動(dòng)模型。

Pit 等[6]采用光漂白后的全內(nèi)反射-熒光恢復(fù)實(shí)驗(yàn)方法，得出了第一個(gè)直接的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即十六烷在疏水性光滑表面上流動(dòng)時(shí)存在明顯的滑動(dòng)。Majumder 等[7]通過(guò)由7 nm 對(duì)齊的碳納米管組成的膜，實(shí)驗(yàn)測(cè)量了幾種液體（己烷、癸烷、乙醇）的滑移長(zhǎng)度。他們發(fā)現(xiàn)這些碳?xì)浠衔锏耐勘葻o(wú)滑移泊肅葉定律預(yù)測(cè)的要大4～5 個(gè)數(shù)量級(jí)。Whitby 等[8]也有類似的實(shí)驗(yàn)結(jié)果?；剖且粋€(gè)古老的概念，由Navier 提出，且有很多實(shí)際的用途[9，10]。Wang 等[11，12]利用MDS（分子動(dòng)力學(xué)模擬）研究了辛烷通過(guò)石墨烯納米孔的流動(dòng)，計(jì)算出石墨烯納米孔流動(dòng)增強(qiáng)因子為1～3 個(gè)數(shù)量級(jí)，因?yàn)榛崎L(zhǎng)度太大，速度分布可能從拋物線形狀變?yōu)槿有螤?。Mattia 和Calabro[13]推導(dǎo)了碳納米管中油的滑移速度表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，考慮通過(guò)表面擴(kuò)散和附著功的固液相互作用的影響，以及管的幾何特性得到了描述流動(dòng)增強(qiáng)的理論公式。Cui 等[14]推導(dǎo)了一個(gè)包含邊界滑移和物理吸附的流動(dòng)增強(qiáng)模型。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了敏感性分析，研究了物理吸附和邊界滑移對(duì)流動(dòng)的貢獻(xiàn)。利用歸一化速度的概念，定量地研究了有機(jī)納米孔中速度剖面的形狀與孔隙長(zhǎng)度和孔徑的函數(shù)關(guān)系。Secchi 等[10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在碳納米管中的流動(dòng)滑移是強(qiáng)烈依賴于孔隙半徑而變化的。Zhang 等[2]通過(guò)考慮邊界滑移和約束油的黏度變化以及依賴孔隙半徑變化的滑移長(zhǎng)度建立了一個(gè)原油通過(guò)單個(gè)納米孔的輸運(yùn)模型。

上述學(xué)者都是基于平直納米孔隙建立的單個(gè)有機(jī)納米孔中油的流動(dòng)模型，而實(shí)際頁(yè)巖儲(chǔ)層納米孔隙都是彎曲的[15]。頁(yè)巖儲(chǔ)層多孔介質(zhì)中的彎曲納米孔隙滿足分形理論[16，17]，很多學(xué)者已經(jīng)采用分形幾何理論來(lái)研究頁(yè)巖多孔介質(zhì)中氣體流動(dòng)[18-20]，但采用分形理論分析油在頁(yè)巖儲(chǔ)層中的流動(dòng)還是很少[21]，員美娟等基于分形理論研究了各種非牛頓流體在分形毛細(xì)管中的流動(dòng)特征[22-24]，本文基于Zhang 等建立的考慮邊界滑移和物理吸附的有機(jī)納米孔油的流量方程，結(jié)合實(shí)際彎曲毛細(xì)管的分形特性，建立油在單個(gè)分形毛細(xì)管中流動(dòng)的流量、平均流速以及有效滲透率分形模型，分析孔隙半徑、壓力梯度以及彎曲分形維數(shù)對(duì)各模型的影響。為進(jìn)一步研究頁(yè)巖油藏多孔介質(zhì)中油的流動(dòng)，打下理論基礎(chǔ)。

1 油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)的分形模型

1.1 流量

綜合考慮油在有機(jī)納米管中流動(dòng)時(shí)存在的邊界滑移和吸附油的黏度變化，油在單根有機(jī)納米毛細(xì)管中的流量方程為[2]：

式中：Q-油在單根有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)的體積流量；r0-有機(jī)納米毛細(xì)管的半徑；rb-體相油的流動(dòng)半徑；Δp-施加在有機(jī)納米毛細(xì)管兩端的壓降；L0-有機(jī)納米毛細(xì)管通道的直線長(zhǎng)度；μb、μads、lst-描述油在有機(jī)納米毛細(xì)管流動(dòng)特性的常數(shù)，其中μb、μads分別為油的體相黏度和吸附黏度，lst為滑移長(zhǎng)度。

（r0-rb）為吸附層厚度，在油-固相相互作用下，近壁面4 層油的密度和黏度將受到影響[25，26]。但是，第3層和第4 層的密度和黏度與體相值相差不大，對(duì)油流的影響可以忽略不計(jì)。因此，近壁含油區(qū)域的厚度可以直接假設(shè)為0.96 nm[12]，即辛烷分子直徑（單層0.48 nm）的兩層厚度。所以，有機(jī)納米毛細(xì)管中體相油的流動(dòng)半徑為：

Wang 等[11]利用石墨烯代表有機(jī)孔，辛烷代表頁(yè)巖油，利用MD 模擬，得到了滑移長(zhǎng)度與孔徑、外力、溫度之間的經(jīng)驗(yàn)指數(shù)關(guān)系：

式中：C1、C2、C3-擬合常數(shù)。

Zhang 等[2]利用小剪切速率下的恒定滑移長(zhǎng)度值和指數(shù)方程，獲得可應(yīng)用于油在頁(yè)巖多孔介質(zhì)有機(jī)納米孔中流動(dòng)實(shí)際情況下的滑移長(zhǎng)度方程：

式（1）是基于平直納米管獲得的油的體積流量方程，而實(shí)際頁(yè)巖多孔介質(zhì)中納米孔隙是彎曲的。流體流動(dòng)的彎曲有機(jī)納米毛細(xì)管的長(zhǎng)度與半徑服從如下分形關(guān)系[27，28]：

式中：Lt-頁(yè)巖中有機(jī)納米毛細(xì)管通道的實(shí)際長(zhǎng)度，且Lt≥L0；DT-頁(yè)巖中有機(jī)納米毛細(xì)管的迂曲度分形維數(shù)，1≤DT≤3。

考慮到油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)流線的分形特征，采用毛細(xì)管的實(shí)際長(zhǎng)度，結(jié)合（1）、（2）、（4）和（5）可得油在實(shí)際彎曲有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)的分形流量方程：

忽略油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的吸附和速度滑移流動(dòng)機(jī)理，即式（1）中rb=r0，lst=0 可得油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)不考慮吸附和速度滑移的流量分形表達(dá)式：

式中：當(dāng)DT=1 時(shí)，可得油在無(wú)滑移直管中流動(dòng)時(shí)的泊肅葉方程：

式（6）給出了油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)考慮邊界滑移、邊界層黏度變化以及滑移長(zhǎng)度隨半徑變化的流量方程的分形表達(dá)式，從式（6）可以看出毛細(xì)管半徑、邊界層流體特征參數(shù)、迂曲度分形維數(shù)以及壓力梯度都是影響有機(jī)納米毛細(xì)管中流量的因素。

為了有效分析油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)增強(qiáng)行為，引入無(wú)因次參數(shù)流動(dòng)增強(qiáng)因子ε：

1.2 平均流速

由有機(jī)納米毛細(xì)管中油流動(dòng)的分形流量模型式（6）可得有機(jī)納米毛細(xì)管中考慮油在其中流動(dòng)時(shí)的各種流動(dòng)機(jī)理的平均流速：

式中：A-單根有機(jī)納米孔隙的橫截面積。

從式（10）可以看出，與考慮油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的各種流動(dòng)機(jī)理的體積流量分形模型一樣，油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)的平均流速分形模型受有機(jī)納米毛細(xì)管的迂曲度分形維數(shù)DT、有機(jī)納米毛細(xì)管半徑r0、施加在有機(jī)納米毛細(xì)管兩端的壓力梯度（Δp/L0）以及油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)的特性參數(shù)（μb、μads）的影響。

式（10）中，若不考慮油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的速度滑移，吸附層等流動(dòng)微觀機(jī)理，可得油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)只考慮毛細(xì)管分形特征的平均流速表達(dá)式：

當(dāng)DT=1 時(shí)，可得油在單根平直有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的平均流速：

1.3 有效滲透率

單根有機(jī)納米毛細(xì)管中的流體流動(dòng)仍然遵循廣義達(dá)西定律[29]：

式中：ke-有效滲透率。

結(jié)合式（6）和（13），可得油在單根有機(jī)納米毛細(xì)管流動(dòng)的表觀滲透率：

式（14）中，若不考慮有機(jī)納米管中油流動(dòng)時(shí)的速度滑移、邊界層等流動(dòng)機(jī)理，即可得只考慮有機(jī)納米毛細(xì)管分形特征時(shí)油的有效滲透率：

根據(jù)式（14）和（15）的對(duì)比，可以看出，考慮油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的各種流動(dòng)機(jī)理，油的流動(dòng)特性參數(shù)以及毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)均是影響油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)有效滲透率的參數(shù)。而不考慮油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的多重流動(dòng)機(jī)理，油的流動(dòng)特性參數(shù)不再影響油的有效滲透率，只有毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)影響油的有效滲透率。

毛細(xì)管的本質(zhì)滲透率為：

為了進(jìn)一步說(shuō)明油在分形有機(jī)納米孔中獨(dú)特的輸運(yùn)行為，引入滲透率修正系數(shù)λ：

2 結(jié)果與討論

不考慮油的黏度隨壓力和溫度變化，有機(jī)納米孔中邊界層油的黏度是體相油的1.1 倍[2，14]。根據(jù)參考文獻(xiàn)[30]令μb=1.5 mPa·s，同時(shí)令有機(jī)納米毛細(xì)管長(zhǎng)度L0=50 μm。

令有機(jī)納米毛細(xì)管半徑r0=50 nm，油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的體積流量隨有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)以及施加在毛細(xì)管兩端壓力梯度的變化規(guī)律（見(jiàn)圖1）。根據(jù)圖1 可以得出，施加在毛細(xì)管兩端的壓力梯度越大，油的體積流量就越大，且油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)不存在啟動(dòng)壓力梯度；而在相同壓力梯度條件下，有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)越大，油在其中流動(dòng)時(shí)的體積流量就越小，即毛細(xì)管越彎曲，油在毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)受到的阻力越大，流速就會(huì)變小，從而導(dǎo)致在毛細(xì)管中流動(dòng)的流體流量變小。令Δp=2 MPa，油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的體積流量以及流動(dòng)增強(qiáng)因子隨毛細(xì)管半徑和迂曲度分形維數(shù)的變化規(guī)律（見(jiàn)圖2，圖3）。從圖2 可以看出有機(jī)納米毛細(xì)管中油的體積流量會(huì)隨毛細(xì)管半徑的增大而不斷增大，與實(shí)際情況相符；但會(huì)隨著毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)的增大而不斷減小，即在相同半徑和壓力梯度條件下，毛細(xì)管彎曲程度會(huì)影響毛細(xì)管中的流量，毛細(xì)管越彎曲，流量越小，與上述結(jié)論相同。從圖3 可以看出彎曲有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)增強(qiáng)因子為1～3 個(gè)數(shù)量級(jí)。同時(shí)，從圖中還可以看出流動(dòng)增強(qiáng)因子會(huì)隨著毛細(xì)管半徑的增大而變小，這是因?yàn)橛袡C(jī)納米毛細(xì)管中油的滑移長(zhǎng)度會(huì)隨著孔隙半徑的增大而減小；此外，還可以從圖3 中看出毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)越大，流動(dòng)增強(qiáng)因子越小，這是毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)變大導(dǎo)致流量變小所致。

圖1 體積流量隨壓力梯度與迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)

圖2 體積流量隨孔隙半徑與迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)

圖3 流量增強(qiáng)因子隨孔隙半徑與迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)

同樣令有機(jī)納米毛細(xì)管半徑r0=50 nm，油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的平均流速隨有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)以及施加在毛細(xì)管兩端的壓力梯度的變化規(guī)律（見(jiàn)圖4）。從圖中可以看出，施加在有機(jī)納米毛細(xì)管兩端的壓力梯度越大，有機(jī)納米毛細(xì)管中油的平均流速就越大；而在相同壓力梯度條件下，有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)越大，油在其中流動(dòng)時(shí)的平均流速就越小，即有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)越大，油在其中流動(dòng)時(shí)受到的流動(dòng)阻力就越大，油的平均流速就會(huì)變小，與流量的結(jié)論相符。為了保持統(tǒng)一仍然令Δp=2 MPa，有機(jī)納米毛細(xì)管中油的平均流速隨孔隙半徑與迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)（見(jiàn)圖5）。從圖中可以看出油的平均流速會(huì)隨著孔隙半徑增大而增大，而會(huì)隨著迂曲度分形維數(shù)的增加而變小，與流量變化規(guī)律一致。

圖4 油的平均流速隨壓力梯度和迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)

圖5 油的平均流速隨孔隙半徑和迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)

從式（14）可以看出，有機(jī)納米毛細(xì)管中油的有效滲透率與壓力梯度無(wú)關(guān)，油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的有效滲透率和滲透率修正系數(shù)隨有機(jī)納米毛細(xì)管半徑和毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)（見(jiàn)圖6和圖7）。根據(jù)圖6 可以得出，有機(jī)納米毛細(xì)管半徑越大，油在其中流動(dòng)時(shí)的有效滲透率就越大，與實(shí)際相符；而有機(jī)納米毛細(xì)管的迂曲度分形維數(shù)越大，油的有效滲透率就越小，且有機(jī)納米毛細(xì)管半徑大于10 nm時(shí)，分形有機(jī)納米毛細(xì)管中油流動(dòng)的有效滲透率受迂曲度分形維數(shù)影響就越大。從圖7 可以得出，滲透率修正系數(shù)會(huì)隨有機(jī)納米毛細(xì)管半徑增大而不斷變小，這是因?yàn)橛袡C(jī)納米毛細(xì)管中油的滑移長(zhǎng)度會(huì)隨著孔隙半徑的增大而減小；而有機(jī)納米毛細(xì)管的迂曲度分形維數(shù)越大，油的滲透率修正系數(shù)就越小，這是因?yàn)槊?xì)管迂曲度分形維數(shù)越大，毛細(xì)管就越彎曲，油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)受到的阻力越大。

圖6 油的有效滲透率隨孔隙半徑和迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)

圖7 油的滲透率修正系數(shù)隨孔隙半徑和迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢(shì)

3 結(jié)論

（1）有機(jī)納米毛細(xì)管中油的體積流量會(huì)隨著壓力梯度和孔隙半徑的增大而不斷增大，但會(huì)隨著有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)的增大而不斷減小。有機(jī)納米毛細(xì)管中油的流動(dòng)增強(qiáng)因子為1～3 個(gè)數(shù)量級(jí)，流動(dòng)增強(qiáng)因子會(huì)隨著毛細(xì)管半徑和迂曲度分形維數(shù)的增大而變小，且半徑越小，迂曲度分形維數(shù)對(duì)流動(dòng)增強(qiáng)因子影響越大。

（2）油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的平均流速會(huì)隨著施加在有機(jī)納米毛細(xì)管兩端的壓力梯度以及有機(jī)納米毛細(xì)管半徑的增大而增大，但會(huì)隨著有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)的增大而減小，與流量的變化趨勢(shì)相同。

（3）油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的有效滲透率會(huì)隨著有機(jī)納米毛細(xì)管半徑的增大而增大；而有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)越大，油在其中流動(dòng)時(shí)的有效滲透率就越小，且有機(jī)納米毛細(xì)管半徑大于10 nm時(shí)，油在其中流動(dòng)時(shí)的有效滲透率受迂曲度分形維數(shù)的影響就越大。油在有機(jī)納米毛細(xì)管中流動(dòng)時(shí)的滲透率修正系數(shù)會(huì)隨有機(jī)納米毛細(xì)管半徑以及有機(jī)納米毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)的增大而不斷變小。