基于間接法在線能力評估和自主規(guī)劃技術(shù)研究

湛康意，陳海朋，賀從園，甘慶忠，王祿

上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，高密集的發(fā)射任務(wù)已經(jīng)成為常態(tài)。為了保證任務(wù)的成功，對運(yùn)載火箭的可靠性提出了更高的要求。從目前國內(nèi)外發(fā)射失利的情況來看，大約60%的故障源自于火箭動(dòng)力系統(tǒng)。2009年，俄羅斯和歐洲聯(lián)合研制的四級運(yùn)載火箭聯(lián)盟-2-1a，由于三子級提前關(guān)機(jī)，未能把衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。2011年，俄羅斯聯(lián)盟-U在發(fā)射貨運(yùn)飛船任務(wù)中，三級發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生了燃料管路堵塞故障而導(dǎo)致任務(wù)失敗。這些都是動(dòng)力故障導(dǎo)致的[1]。對于一些非致命的動(dòng)力故障，通過在線調(diào)整飛行程序，仍然可以保證任務(wù)的成功。美國土星1號(hào)運(yùn)載火箭在一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)提前關(guān)機(jī)的情況下，通過調(diào)整關(guān)機(jī)時(shí)間進(jìn)入預(yù)期目標(biāo)軌道。美國獵鷹9號(hào)運(yùn)載火箭在2012年的發(fā)射任務(wù)中，火箭一子級的一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障關(guān)機(jī)。通過在線規(guī)劃新的上升軌跡，延長剩余發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間，將龍飛船送入預(yù)定的軌道，但是次要有效載荷OG2原型衛(wèi)星被迫留置在較低的軌道[2]。國外火箭構(gòu)型可以通過增加發(fā)動(dòng)機(jī)來實(shí)現(xiàn)動(dòng)力的冗余，能力較為充足，而國內(nèi)現(xiàn)役運(yùn)載火箭很難再增加一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，在大多數(shù)衛(wèi)星發(fā)射任務(wù)下，能力富余量較小。因此，在小能量故障情況下，當(dāng)不能進(jìn)入原目標(biāo)軌道時(shí)，需要確定一個(gè)次優(yōu)的救援軌道[3]。雖然現(xiàn)役的自適應(yīng)迭代制導(dǎo)能夠適應(yīng)一定程度的推力偏差[4]，但是推力下降后，為了維持彈道，攻角會(huì)變大，用于加速的推力分量減小，導(dǎo)致進(jìn)入目標(biāo)軌道時(shí)燃料不足，耗盡關(guān)機(jī)，不能成功入軌。這種情況下，就需要規(guī)劃新的救援軌道。

國外在線規(guī)劃技術(shù)已經(jīng)有成功應(yīng)用的例子，但是公開的文獻(xiàn)卻很少。國內(nèi)目前還處于方案研究階段，尚未在具體型號(hào)上應(yīng)用。文獻(xiàn)[5]提出了一種推力故障下的彈道重構(gòu)策略，通過離線建立地面彈道庫，設(shè)計(jì)救援軌道和相應(yīng)的飛行諸元。一旦故障后，通過能力預(yù)測在線切換制導(dǎo)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)故障情況下的彈道重構(gòu)。為了覆蓋可能的工況，該方法需要做大量的地面離線仿真工作。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于凸優(yōu)化和自適應(yīng)配點(diǎn)法的自主軌跡規(guī)劃方法，設(shè)計(jì)了一套完整的自主規(guī)劃流程。通過對地心角進(jìn)行估計(jì)，采用凸優(yōu)化求解一個(gè)具有相對精度的初值給自適應(yīng)配點(diǎn)法，極大提高了自適應(yīng)配點(diǎn)法的求解速度。該方法屬于凸優(yōu)化和自適應(yīng)配點(diǎn)法相結(jié)合，求解過程復(fù)雜，對箭載計(jì)算機(jī)的性能提出了一定的要求。

針對運(yùn)載火箭上升制導(dǎo)問題，基于間接法推導(dǎo)了許多制導(dǎo)方法，如迭代制導(dǎo)[7-9]、動(dòng)力顯示制導(dǎo)(PEG)等[10]。間接法的優(yōu)勢在于解的精度高且滿足一階最優(yōu)性必要條件，對于一些動(dòng)力學(xué)模型簡單的問題，間接法具有一定的優(yōu)勢。國內(nèi)外學(xué)者在間接法求解上升軌跡方面做了大量工作。文獻(xiàn)[11-12]基于間接法研究了大氣層內(nèi)的上升制導(dǎo)，采用有限差分和密度同輪技術(shù)來求解兩點(diǎn)邊值問題。文獻(xiàn)[13-15]也對該方法進(jìn)行了研究，但是并沒有考慮故障條件下的制導(dǎo)問題。文獻(xiàn)[16]針對傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)小角度修正假設(shè)的不足，基于間接法研究了一種多終端約束的最優(yōu)制導(dǎo)方法，并通過引入權(quán)重因子來提高制導(dǎo)方程數(shù)值求解精度。對于大氣層外制導(dǎo)，不考慮過程約束，只需要求解滿足終端目標(biāo)的兩點(diǎn)邊值問題，即可確定最優(yōu)軌跡。對于變目標(biāo)軌道要素的制導(dǎo)問題，間接法不依賴標(biāo)稱軌跡,可用來實(shí)現(xiàn)軌跡的在線規(guī)劃。

本文基于間接法，研究了一種大氣層外的在線能力評估和自主規(guī)劃方法，在發(fā)生推力故障的情況下，能夠自主在線規(guī)劃救援軌道。通過數(shù)值仿真，驗(yàn)證了方法的有效性、收斂性和實(shí)時(shí)性。該方法能夠提高發(fā)射任務(wù)的可靠性，具有一定工程實(shí)用價(jià)值。

1 問題建模

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

假定發(fā)動(dòng)機(jī)的推力始終沿運(yùn)載火箭的體軸方向且為常值，則在發(fā)射慣性坐標(biāo)系下建立運(yùn)載火箭大氣層外速度、位置無量綱化的運(yùn)動(dòng)模型：

式中：r∈R3為運(yùn)載火箭相對發(fā)射慣性系的地心位置矢量；V∈R3為運(yùn)載火箭相對發(fā)射慣性系的速度矢量；g0為標(biāo)準(zhǔn)海平面重力加速度大?。籘vac為發(fā)動(dòng)機(jī)真空推力；Ib∈R3為體軸方向單位矢量；m是運(yùn)載火箭的質(zhì)量；μ為秒耗量。

1.2 最優(yōu)問題描述

一般情況下，當(dāng)發(fā)生動(dòng)力故障，原目標(biāo)軌道不可達(dá)時(shí)，重新規(guī)劃軌跡后需要耗盡關(guān)機(jī)，充分挖掘火箭的潛力。在這種情況下，飛行時(shí)間基本確定，本文先構(gòu)建末端時(shí)刻固定，以入軌點(diǎn)能量最大為最優(yōu)性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。

性能指標(biāo)：

終端約束：

設(shè)哈密爾頓函數(shù)如下：

式中：λr∈R3、λV∈R3為協(xié)態(tài)變量;ν為乘子變量。采用極大值原理有：

求解可得：

協(xié)態(tài)變量方程為：

求解可得：

邊值條件為：

式中：Ψ∈R3表示終端約束；ξ∈R3為乘子變量；λrf∈R3，λVf∈R3為協(xié)態(tài)變量終端值。消去乘子變量可得：

式中：Hf=rf×Vf為無量綱軌道動(dòng)量矩。結(jié)合終端約束條件(2)～(4)，可得到6個(gè)等式約束。至此，以入軌能量最大為最優(yōu)性能指標(biāo)的兩點(diǎn)邊值問題構(gòu)建完畢。

式中：0<β≤1；當(dāng)‖Yk+1-Yk‖≤εY或‖E(Yk)‖≤εΨ，停止迭代，εY、εΨ為相應(yīng)的收斂精度。

2 入軌能力評估

通過仿真發(fā)現(xiàn)，隨著入軌高度hf的增大，入軌點(diǎn)速度先增大，后減小，存在一個(gè)使得入軌點(diǎn)速度最大的入軌高度，火箭飛行時(shí)間Tgo越長，相同入軌高度情況下，速度越大，見圖1。當(dāng)飛行時(shí)間較短，能力不足時(shí)，近地點(diǎn)曲線Hp與遠(yuǎn)地點(diǎn)曲線Ha沒有交點(diǎn)，此時(shí)只能進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道，且存在一個(gè)使得近地點(diǎn)最高的入軌高度；當(dāng)火箭飛行時(shí)間長，能力富足時(shí)，近地點(diǎn)曲線Hp與遠(yuǎn)地點(diǎn)曲線Ha存在兩個(gè)交點(diǎn)，見圖2。

圖1 入軌點(diǎn)速度曲線

圖2 遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)曲線

圖3為近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)曲線存在交點(diǎn)的典型情況，hf1和hf2為遠(yuǎn)地點(diǎn)曲線與近地點(diǎn)曲線相交處的入軌高度。通過分析，可以得到以下結(jié)論：1)當(dāng)入軌點(diǎn)高度小于hf1，或大于hf2時(shí)，在遠(yuǎn)地點(diǎn)入軌，且只能進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道；2)當(dāng)入軌點(diǎn)高度為hf1和hf2時(shí)，可以進(jìn)入一個(gè)圓軌道，其中，hf1對應(yīng)最小的圓軌道，hf2對應(yīng)最大的圓軌道；3)當(dāng)入軌點(diǎn)高度在hf1和hf2之間時(shí)，入軌點(diǎn)為近地點(diǎn)，此時(shí)通過縮短飛行時(shí)間，也能夠使得火箭進(jìn)入一個(gè)圓軌道。同時(shí)，在hf1和hf2區(qū)間內(nèi)，存在一個(gè)能量最大的軌道。

圖3 遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)曲線(Tgo=544 s)

通過上述分析，可以設(shè)計(jì)如下的特征量Rk來判斷運(yùn)載火箭的入軌能力：

Rk=Ha(hf)+Hp(hf)-2hf

式中：Ha(hf)、Hp(hf)分別為軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)高度曲線和近地點(diǎn)高度曲線；hf為入軌點(diǎn)高度。則特征量Rk關(guān)于入軌點(diǎn)高度的曲線關(guān)系如圖4所示。

圖4中包含了不同飛行時(shí)間條件下特征量曲線與入軌高度之間的關(guān)系，通過分析可以得出如下結(jié)論：1)特征量曲線隨著入軌高度的增大，先增大，后減小，存在唯一的極大值；2)當(dāng)火箭飛行時(shí)間長，能力足時(shí)，特征量Rk的極大值大于零，有兩個(gè)零點(diǎn)，大零點(diǎn)對應(yīng)著最大的圓軌道，較小零點(diǎn)對應(yīng)著最小圓軌道；3)當(dāng)火箭飛行時(shí)間較短，能力不足時(shí)，特征量Rk的極大值小于零，此時(shí)火箭只能進(jìn)入橢圓軌道。

3 自主在線規(guī)劃策略

從算法層面上來看自主規(guī)劃技術(shù)，需要解決故障的在線診斷和辨識(shí)[17]，入軌能力在線評估，以及新的目標(biāo)軌道在線規(guī)劃等問題。在線故障診斷和辨識(shí)主要目的是提供當(dāng)前火箭的推力、比沖、秒耗量、燃料質(zhì)量等狀態(tài)信息，為后面基于動(dòng)力學(xué)模型的在線入軌能力評估和目標(biāo)軌道規(guī)劃提供輸入信息，此內(nèi)容不是本文重點(diǎn)工作，不在此贅述。入軌能力在線評估主要是基于當(dāng)前的火箭狀態(tài)信息，判斷能否進(jìn)入原目標(biāo)軌道。當(dāng)不能進(jìn)入原目標(biāo)軌道時(shí)，需要進(jìn)行在線目標(biāo)軌道重規(guī)劃。

自主規(guī)劃還需要確定新目標(biāo)軌道的選取原則，針對救援問題，主要目的是讓火箭能夠進(jìn)入一個(gè)安全的軌道，為后期的救援任務(wù)創(chuàng)造良好的條件。因此，本文在保證目標(biāo)軌道傾角，放開升交點(diǎn)赤經(jīng)約束的條件下，以近地點(diǎn)最高為救援軌道的選取準(zhǔn)則。第2節(jié)的入軌能力分析，為在線目標(biāo)軌道規(guī)劃提供了基本依據(jù)。當(dāng)能夠入圓軌道時(shí)，近地點(diǎn)最高對應(yīng)著最大圓軌道，需要求解最大圓軌道對應(yīng)的入軌高度；當(dāng)只能入橢圓軌道時(shí)，則需要搜索使得橢圓軌道近地點(diǎn)最高的入軌高度。

在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了如圖5所示的自主在線規(guī)劃策略。

圖5 自主在線規(guī)劃策略

Step1：獲取發(fā)動(dòng)機(jī)推力、比沖和剩余燃料Mleft等信息。

Step2：按照原目標(biāo)軌道參數(shù)，利用迭代制導(dǎo)求解程序角，數(shù)值積分運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，計(jì)算消耗的燃料質(zhì)量Mneed。

Step3：判斷是否達(dá)到目標(biāo)軌道。如果達(dá)到，則燃料充足，直接結(jié)束；否則，進(jìn)入Step4。

Step4：當(dāng)Mneed≥Mleft時(shí)，燃料不足，需要重新規(guī)劃目標(biāo)軌道，進(jìn)入Step5；當(dāng)Mneed

Step6：當(dāng)特征量Rk的最大值Rkmax≥0時(shí)，存在圓軌道，進(jìn)入Step7；當(dāng)特征量Rk的最大值Rkmax<0時(shí)，只能入橢圓軌道，進(jìn)入Step8。

Step7：以入軌高度為自變量，割線法[19]求解特征量Rk的最大零點(diǎn)，進(jìn)一步求解對應(yīng)的最大圓軌道，進(jìn)入Step9。

Step8：以入軌高度為自變量，以近地點(diǎn)高度最大為優(yōu)化性能指標(biāo)。牛頓法求解近地點(diǎn)極大值對應(yīng)的入軌高度，進(jìn)一步求解相應(yīng)的近地點(diǎn)最高的橢圓軌道。

Step9：更新迭代制導(dǎo)目標(biāo)和參數(shù)，結(jié)束。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 典型工況仿真結(jié)果

仿真參數(shù)如表1所示，設(shè)置故障時(shí)刻t=30 s，推力下降后占比75%，按目標(biāo)半長軸或者燃料耗盡關(guān)機(jī)。

表1 仿真參數(shù)

圖6為規(guī)劃前后的仿真結(jié)果曲線，從圖中可以看出，規(guī)劃后降低了入軌高度，減少了側(cè)向機(jī)動(dòng)。從表2仿真結(jié)果可知，當(dāng)在30 s發(fā)生推力下降故障時(shí)，如果不采用自主在線規(guī)劃方法，燃料耗盡關(guān)機(jī)時(shí)，火箭只能進(jìn)入一個(gè)300.380 km×(-9.636 km)的不可行軌道，任務(wù)失??；采用本文自主在線規(guī)劃方案后，使火箭進(jìn)入一個(gè)246.738 km×245.614 km的近似圓軌道，為后期的自主救援提供良好的條件。

表2 典型故障仿真結(jié)果

圖6 典型故障仿真結(jié)果曲線

4.2 故障度與故障時(shí)間綜合仿真

以故障時(shí)刻和推力下降后占比來刻畫故障工況，并對故障工況進(jìn)行網(wǎng)格化遍歷仿真，采用燃料耗盡關(guān)機(jī)或半長軸關(guān)機(jī)。

圖7(a)為傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)仿真結(jié)果，圖7(b)為加入了自主在線規(guī)劃策略后的仿真結(jié)果。圖7中“*”表示300 km圓軌道，“o”表示近地點(diǎn)大于150 km安全軌道，“x”表示近地點(diǎn)小于150 km的不安全軌道。對比圖7(a)(b)中的仿真結(jié)果可以看出，采用在線規(guī)劃策略后，近地點(diǎn)小于150 km的工況顯著減少，原來不能進(jìn)入安全軌道的故障工況，采用在線規(guī)劃后，可以進(jìn)入一個(gè)近地點(diǎn)大于150 km的安全軌道，增大了火箭對故障的適應(yīng)范圍。其中，當(dāng)推力下降到75%時(shí)，不采用自主規(guī)劃，故障時(shí)刻只能適應(yīng)70 s以后，采用自主在線規(guī)劃，則故障時(shí)刻能夠適應(yīng)全程范圍，保證任務(wù)安全。

圖7 綜合仿真結(jié)果

從仿真結(jié)果還可看出，原來不能進(jìn)入300 km圓軌道的工況，在采用了在線規(guī)劃后進(jìn)入300 km的圓軌道，主要原因是第1.2小節(jié)中的間接法在約束處理上優(yōu)先保證軌道傾角，放開了升交點(diǎn)赤經(jīng)約束，使得軌道面在保證軌道傾角的前提下發(fā)生了挪動(dòng)，減少了火箭垂直軌道面?zhèn)认驒C(jī)動(dòng)的能力損失，充分挖掘了火箭的潛能。

4.3 算法收斂性和實(shí)時(shí)性分析

本文在求解算法的設(shè)計(jì)上均基于成熟的數(shù)值方法。對于第1.2小節(jié)中的兩點(diǎn)邊值問題，由于有6個(gè)等式約束，6個(gè)協(xié)態(tài)變量初值，在有解前提下，問題解是唯一的。此外，協(xié)態(tài)變量主矢量λV跟實(shí)際的推力方向一致，而推力方向與速度方向之間的夾角通常不大，因此可以直接選擇協(xié)態(tài)變量主矢量λV的初值為當(dāng)前速度方向，協(xié)態(tài)變量λr初值為0，即可保證該兩點(diǎn)邊值問題迭代求解收斂。本文仿真環(huán)境為Intel Core i5-7500,3.4GHz,4GB RAM的電腦，編程環(huán)境為VS2013。仿真結(jié)果表明，自主規(guī)劃算法在本文所有故障工況下均可靠收斂，完成一次自主規(guī)劃平均耗時(shí)25 ms，滿足實(shí)時(shí)性要求。

5 結(jié)束語

本文針對軌道救援問題，研究了一種基于間接法的在線能力評估和自主規(guī)劃方法。仿真結(jié)果表明：

1)以入軌高度為自變量，基于最大能量軌道兩點(diǎn)邊值問題，數(shù)值分析得出的入軌速度、遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)跟入軌高度之間的關(guān)系具有普遍性。設(shè)計(jì)的自主在線規(guī)劃策略，不僅可以適用于推力故障，后續(xù)還能用于火箭一子級提前關(guān)機(jī)故障。

2)構(gòu)建的特征量，能夠?qū)θ胲壞芰ψ龀鲈u估，判斷當(dāng)前狀態(tài)下，火箭能夠進(jìn)入圓軌道還是橢圓軌道，為目標(biāo)軌道選擇提供依據(jù)。

3)自主在線規(guī)劃策略具有明顯的效果，部分不能進(jìn)入安全軌道的故障工況，通過自主在線規(guī)劃后進(jìn)入了安全救援軌道，提高了火箭對故障的適應(yīng)范圍，增強(qiáng)了任務(wù)的可靠性。

4)自主在線規(guī)劃算法子問題規(guī)模小，求解目標(biāo)明確，求解算法簡單，有解情況下能夠可靠收斂。完成一次規(guī)劃耗時(shí)短，滿足制導(dǎo)實(shí)時(shí)性要求，針對軌道救援問題，具有一定工程實(shí)用價(jià)值。

5)目前的方法固定了軌道傾角，放開了升交點(diǎn)赤經(jīng)約束，后續(xù)還需要綜合考慮目標(biāo)軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)的選擇問題，進(jìn)一步挖掘火箭故障情況下的潛能，使得火箭更加智能[20]。