一種改進(jìn)的雙冪次指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制策略

林潔瓊， 楊雪梅， 閆 東， 孟繁昊

(長春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

滑模變結(jié)構(gòu)控制是眾多非線性控制算法中的一種，能夠根據(jù)當(dāng)前系統(tǒng)的狀態(tài)有目的性地改變控制器結(jié)構(gòu)，使系統(tǒng)朝著預(yù)先設(shè)計好的面運動，最終維持在該曲面上，這也是保證滑?？刂凭哂辛己眯阅艿母疽罁?jù)。該控制算法性能明確、穩(wěn)定性強(qiáng)、響應(yīng)速度快等是變結(jié)構(gòu)控制的優(yōu)勢，同時對參數(shù)變化以及外界擾動等是有適應(yīng)能力的，且系統(tǒng)可以達(dá)到控制要求。與此同時，滑模變結(jié)構(gòu)控制中仍存在一些問題，其中突出的是系統(tǒng)抖振問題[1]。因此，抑制抖振問題目前已經(jīng)成為滑模變結(jié)構(gòu)控制研究中的重要課題。

針對這一問題，國內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)展開了廣泛研究。文獻(xiàn)[2]設(shè)計出一種新的滑?？刂破鳎浞椒ㄊ窃谙到y(tǒng)沒有干擾的前提下，使方向與位置跟蹤誤差可以在一定時間內(nèi)收斂到0，但控制器輸出變量仍然存在抖振現(xiàn)象；文獻(xiàn)[3]采用模糊滑?？刂普{(diào)節(jié)參數(shù)，以此加快軌跡跟蹤誤差，雖然取得較好的結(jié)果，但系統(tǒng)中仍然存在抖振；Pandey等[4]提出一種新型自適應(yīng)趨近律控制，目的是為了讓系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時間最短，這種方法可以忽略抖振現(xiàn)象。上述提到的方法大多都是以指數(shù)趨近律與等速趨近律方法結(jié)合起來抑制抖振現(xiàn)象、加快收斂速度，但在傳統(tǒng)滑?？刂浦?，存在的符號函數(shù)問題使抖振現(xiàn)象并不能夠完全去除。Liu等[5]提出一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律方法(NERL)，該方法在加入冪次項同時，加速提高了系統(tǒng)的收斂性;20世紀(jì)80年代，高為炳[6]提出趨近律的想法,并設(shè)法構(gòu)造出冪次趨近律,通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)k和ε的大小，既可以保證滑動模態(tài)的動態(tài)品質(zhì)，又可以抑制控制信號抖振頻率較高的現(xiàn)象，但如果ε的取值較大，就會導(dǎo)致抖振現(xiàn)象的發(fā)生;傳統(tǒng)的趨近律很難精確地控制到達(dá)滑模面的時間與速度,并且無法權(quán)衡趨近滑模面時間和抖振兩者之間的矛盾關(guān)系[7];文獻(xiàn)[8]提出一種對新型趨近律的積分模糊滑模變結(jié)構(gòu)速度環(huán)控制器的研究方法,在滑模面設(shè)計中加入了誤差信號積分項,由此降低控制量對加速度信號的需求;文獻(xiàn)[9]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上，加入了系統(tǒng)狀態(tài)量與終端吸引子的冪次函數(shù)，提出一種新型指數(shù)趨近律,基于新型趨近律設(shè)計了滑模速度控制器;文獻(xiàn)[10]提出一種增加衰減項的指數(shù)趨近律策略，并且與非匹配不確定系統(tǒng)相結(jié)合，從而達(dá)到削弱抖振并且確保系統(tǒng)平穩(wěn)的性能要求;蒲明等[11]提出一種新的變指數(shù)趨近律方法，采用將有限時間收斂的冪次項與變指數(shù)項結(jié)合在一起的方法，進(jìn)一步實現(xiàn)加快系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面時的收斂速度;Pan等[12]采用等速趨近律和雙冪次趨近律相結(jié)合的方法，從而加快實現(xiàn)滑模變結(jié)構(gòu)控制全局的收斂性，但抖振現(xiàn)象仍然與等速趨近律在滑模面上間斷性的現(xiàn)象共存。文獻(xiàn)[13]以趨近滑?？刂茷槔谒O(shè)計的速度滑?？刂破骰A(chǔ)上搭建三相PMSM調(diào)速系統(tǒng)的仿真模型,從而改善了系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。

文中根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)特點，在對其進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上提出一種雙冪次制數(shù)趨近律控制方法，使其可以較快速地跟蹤期望軌跡，減少系統(tǒng)響應(yīng)時間，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。另外，將單冪次指數(shù)趨近律控制算法與雙冪次指數(shù)趨近律控制算法進(jìn)行Matlab/Simulink仿真比較，驗證了算法的合理性。

1 滑?？刂频幕驹?/h2>

1.1 滑動模態(tài)定義

圖1 切換超曲面上的三類特征點

1.2 滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的抖動問題

器件的特性不理想是引起“抖振”的主要原因。延遲引起的抖振示意圖如圖2所示。

圖2 延遲導(dǎo)致抖振示意圖

運動點在靠近滑模面一定范圍上下穿越產(chǎn)生鋸齒運動，稱為抖振。

理想滑動模態(tài)軌跡與實際滑動模態(tài)軌跡如圖3所示。

圖3 理想滑動模態(tài)軌跡與實際滑動模態(tài)軌跡

控制系統(tǒng)中期望軌跡是圖3中的滑動模態(tài)軌跡。

在實際控制系統(tǒng)中，因為存在慣性，期望的繼電器特性就會變成帶有滯環(huán)特點的繼電器特性，如圖4所示。

圖4 滯環(huán)型繼電器特性

抖振對控制系統(tǒng)造成的不利影響：

1)削弱系統(tǒng)控制精度；

2)加大系統(tǒng)能量的消耗；

3)激發(fā)甚至誘發(fā)系統(tǒng)的高頻未建模動態(tài)，容易導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩并且失穩(wěn)；

4)磨損控制器各部件。

抖振的存在是目前滑?？刂拼罅繎?yīng)用及進(jìn)一步發(fā)展的嚴(yán)重障礙。因此，如何高效地抑制滑模控制系統(tǒng)的抖振已經(jīng)成為滑?？刂频难芯空n題。

2 滑?？刂破髟O(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計包含以下兩個步驟：

1)設(shè)計切換函數(shù)，使其可以確保系統(tǒng)的滑動模態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定，考慮單輸入、單輸出線性系統(tǒng)：

(1)

(2)

(3)

或者寫成

(4)

式中:F1=〈cj,ai〉xi;

F2=〈cj,bk〉uk;

ai----矩陣A的列矢量,i=1,2，…,n;

bk----矩陣B的列矢量,k=1,2，…,m;

〈…,…〉----矢量的內(nèi)積。

由式(1)分析可得

ueq=-(CB)-1CAx,

滑模方程為

(5)

如果選擇C為三角陣

(6)

則方程(6)很容易聯(lián)立求解，此時在第j個滑模面sj=0，對應(yīng)于控制矢量u中的第(m-j+1) 個元um-j+1，依次組成在n,n-1,…,n-m維的超平面上。根據(jù)式(6)，把s=Cx=0代入

可得

其中，Am是一個m×m矩陣，且其元可由n×n矩陣A的元遞推關(guān)系算出。假設(shè)滑動模態(tài)s1=0由第m個控制成分um控制，有：

(7)

(8)

式中:F3=〈aj,c1〉-c1j〈an,c1〉;

aj,bj----分別為矩陣A及B的列矢量;

〈…,…〉----矢量的內(nèi)積，且不等于零。

將式(7)、式(8)代入式(1)，得到在滑動模態(tài)s1=0上的系統(tǒng)運動為

(9)

式中:x1,U1----分別為n-1及m-1維列矢量,x1=[x1,…,xn-1]T,U1=[u1,…,um-1]T;

A1,B1----分別為(n-1)×(n-1)及(n-1)×(m-1)維矩陣,其元各為

(10)

式中：F4=〈ai,c1〉-c1j〈an,c1〉。

再設(shè)同時在滑動模態(tài)s1=0及s2=0上系統(tǒng)的運動描述為(n-2)維方程

(11)

以此類推，同時在滑動模態(tài)s1,s2，…,sk上系統(tǒng)的運動由(n-k)維方程來描述

(12)

2)滑模控制律的設(shè)計，使其滿足系統(tǒng)到達(dá)條件，確?；Ｃ嫔峡梢孕纬苫瑒幽B(tài)區(qū)。

3 滑模變結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計

3.1 雙冪次指數(shù)趨近律的提出

20世紀(jì)80年代，高為炳[14]提出趨近律的想法，并設(shè)法構(gòu)造出冪次趨近律

(13)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)臨近滑模面時，趨近速度會隨著距離減小而減慢，這樣有利于抑制抖振，但當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)離滑模面越來越遠(yuǎn)時，趨近速度小，趨近時間長的問題就會出現(xiàn)。為改善這一缺陷，更進(jìn)一步抑制抖振現(xiàn)象，文中將提出一種改進(jìn)的滑?？刂品椒ǎ措p冪次指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制。

(14)

其中，0<α<1,β>1,k1>0,k2>0。

文中提出的滑?？刂品椒ㄒ詜s|=1為分界點，將系統(tǒng)到達(dá)滑模面的過程分為2個階段：

第一階段：系統(tǒng)接近滑模面時動態(tài)品質(zhì)，即|s|<1，此時由式(15)可知，ε1越大，趨近速度變快，但抖振也隨之變大;α越小，抖振變小，但趨近速度卻變慢。

第二階段：系統(tǒng)離開滑模面時動態(tài)品質(zhì)，即|s|>1，此時同樣由式(15)可知，ε2越大，趨近速度變快的同時抖振也增大;β越小，抖振變小,但趨近速度卻逐漸變慢。

由于當(dāng)|s|>1時，-ε1|s|αsgn(s)所起作用越小，可忽略其對系統(tǒng)的影響；當(dāng)|s|<1時，-ε2|s|αsgn(s)所起作用越小，可忽略其對系統(tǒng)的影響。這等同于將系統(tǒng)采用分階段控制方法，這種方法會影響系統(tǒng)在分界點的平滑過渡，降低系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。為改進(jìn)這一缺點，文中加入了自適應(yīng)項-k|s|λ，可以自適應(yīng)地改變雙冪次指數(shù)趨近速度，為了讓被控對象可以及時地跟蹤期望軌跡和靠近滑模面時可以具有較好的動態(tài)品質(zhì)，文中又在雙冪次指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上增加了|s|λ項，因此定義|s|<1。根據(jù)項-k|s|λ可知，當(dāng)λ變大時，被控對象趨近速度加快，系統(tǒng)響應(yīng)速度也隨之變快;當(dāng)增大k時，被控對象接近滑模面的動態(tài)品質(zhì)也逐漸提高。

3.2 滑模變結(jié)構(gòu)控制的性質(zhì)

3.2.1 滑動模態(tài)可達(dá)性

若運動點與遠(yuǎn)離切換面之間的距離較遠(yuǎn)時，應(yīng)該使得運動點能夠向靠近切換面的方向運動，就是啟動條件是滿足能達(dá)條件。因為

-ε1|s|α+1-ε2|s|β+1-k|s|λ,

(15)

所以式(15)滿足條件。

3.2.2 系統(tǒng)到達(dá)滑模面時間有限性

假定初始狀態(tài)s(0)>1，把系統(tǒng)到達(dá)滑模面的過程分為2個階段：

第一階段:當(dāng)|s|<1時，項-ε1|s|αsgns起主要作用，忽略-ε2|s|βsgns，式(15)則可以寫為

(16)

即系統(tǒng)從初始狀態(tài)到達(dá)s(t)=1的過程，當(dāng)s=1時有

(17)

式(17)兩邊同乘s-α，則有

(18)

令z=sλ+1-α,則

(19)

兩邊同乘1-α，得到

(20)

(21)

第二階段：當(dāng)|s|>1時，項-ε2|s|βsgns起主要作用，忽略-ε1|s|αsgns，式(13)可變?yōu)?/p>

(22)

因此，系統(tǒng)從s(t)=1到達(dá)滑模面平衡點的時間

(23)

結(jié)合式(21)、式(23)總的到達(dá)時間為

(24)

由式(23)和式(24)可以看出，系統(tǒng)到達(dá)滑模面時間同時還與k和λ有關(guān)。因此，改進(jìn)的雙冪次指數(shù)趨近律的滑?？刂破骺梢栽谟邢迺r間內(nèi)到達(dá)平衡點。

4 仿真實驗分析

通過Matlab/Simulink進(jìn)行仿真實驗，滑?？刂破鱏imulink仿真結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 改進(jìn)趨近律滑?？刂扑惴ǖ腟imulink仿真結(jié)構(gòu)

基于改進(jìn)趨近律的抖振跟蹤曲線如圖6所示。

由圖6可知，采用單冪次數(shù)趨近律，剛到達(dá)滑模面時，抖振較大，且呈高頻抖振，而采用雙冪次指數(shù)趨近抖振頻率明顯優(yōu)于單冪次指數(shù)。

基于改進(jìn)趨近律的角度跟蹤曲線如圖7所示。

圖7 基于改進(jìn)趨近律的角度跟蹤曲線

基于改進(jìn)趨近律的角速度跟蹤曲線如圖8所示。

圖8 基于改進(jìn)趨近律的角速度跟蹤曲線

由圖7和圖8可知,雙冪次指數(shù)趨近滑模面的速度較快，在剛到達(dá)滑模面時的頻率偏低，系統(tǒng)抖振比較弱，隨后抖振又迅速減弱，最后逐漸趨于穩(wěn)定。這表明雙冪次指數(shù)趨近律方法明顯降低了系統(tǒng)剛到達(dá)滑模面時的抖振頻率,并且較好的抑制了抖振。

基于改進(jìn)趨近律的角度跟蹤誤差曲線如圖9所示。

圖9 基于改進(jìn)趨近律的角度跟蹤誤差曲線

圖9中角度跟蹤誤差進(jìn)一步驗證了此結(jié)論。

5 結(jié) 語

針對單指數(shù)趨近律控制算法系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時抖振頻率大與時間長的問題，對傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種雙冪次指數(shù)趨近律的控制策略，并進(jìn)行分析驗證。

根據(jù)改進(jìn)趨近律完成了控制器的設(shè)計，最后將單指數(shù)趨近律與雙冪次趨近律進(jìn)行對比仿真，結(jié)果表明，改進(jìn)后的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法有較好的系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)，可以降低系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時的抖振頻率，且最大限度地削弱系統(tǒng)抖振，快速跟蹤給定的期望軌跡，提升了算法的動態(tài)品質(zhì)。