弧門三叉斜支臂扭角的驗算與求證

盧俊生，秦紅兵

（中國水利水電第十一工程局有限公司，河南 鄭州450001）

1 引言

三叉斜支臂是近年來新出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)類型。當孔口尺寸較大時，弧形閘門高度隨之增高，原有的上、下兩支臂結(jié)構(gòu)不能滿足承載力與穩(wěn)定性要求，采用三根支臂組成的斜支臂用于超大型弧形閘門應(yīng)運而生。為便于區(qū)別，將三根支臂組成的斜支臂簡稱三叉斜支臂。三根支臂分別與門葉上布置的三個主橫梁連接，所以又稱作三主梁斜支臂弧門。

因為需要承受整個門葉的水壓力，支臂（截面形狀常為工字梁、或箱形梁）的腹板，最佳的受力狀態(tài)是位于弧面與支鉸軸線形成的徑向平面上，與主梁腹板保持在同一個平面。因此，需要有意識地繞中線扭轉(zhuǎn)一個角度，這就是所謂斜支臂的扭角。扭角不正確會惡化斜支臂的受力狀態(tài)，可能造成斜支臂失穩(wěn)甚至扭轉(zhuǎn)彎折誘發(fā)事故。

對于由上、下兩根支臂組成的斜支臂（以下簡稱V型斜支臂），“斜支臂水平偏斜角α，上、下支臂夾角2θ，與扭轉(zhuǎn)角φ三個角度之間的函數(shù)關(guān)系”，在《水利水電工程鋼閘門設(shè)計規(guī)范》SL74-2013，以及《水電工程鋼閘門設(shè)計規(guī)范》NB35055-2015（P23，6.1.11條款）已經(jīng)明確規(guī)定其計算公式：

通過研究發(fā)現(xiàn)：上述規(guī)定只適用于V型斜支臂結(jié)構(gòu)類型。因為三叉斜支臂結(jié)構(gòu)類型比較少見，現(xiàn)行《設(shè)計規(guī)范》相應(yīng)的技術(shù)條款尚未涵蓋此結(jié)構(gòu)類型。

2 總體思路

依據(jù)數(shù)學的基本原理與定理作為理論基礎(chǔ)，對弧形閘門三叉斜支臂的空間幾何形狀進行分析，推導求證出支臂結(jié)構(gòu)中：水平偏斜角；上、中支臂中線的夾角（包括中、下支臂中線的夾角）；在支鉸的垂直端面上形成的扭角等相關(guān)角度之間存在的函數(shù)關(guān)系，并總結(jié)出詳細的計算公式。

驗證方法是：弧形閘門三叉斜支臂扭角的數(shù)學計算與三維數(shù)學模型相結(jié)合。采用Autodesk inventor軟件建立三叉斜支臂的三維模型，通過模型在立體空間自然形成的角度加以驗證，校驗計算公式的正確性。

3 數(shù)學公式的推導與求證

3.1 建立三叉斜支臂計算模型

根據(jù)三叉斜支臂結(jié)構(gòu)特點，簡化成數(shù)學計算模型，設(shè)定計算條件及符號代表的內(nèi)容。如圖1為弧形閘門三叉斜支臂左側(cè)支臂的結(jié)構(gòu)簡圖：L1、L2分別表示上中、中下支臂對應(yīng)的弧門面板弧長。BACO所在平面為過上、中、下主梁與斜支臂前端板中心交點的垂直剖面，該垂面與側(cè)墻面、弧門縱向中心面平行。直線BO、AO、CO分別是上、中、下支臂中線在垂面的投影，O點為支鉸軸線在垂面的中心點。當支臂處于BACO平面時，因為與主梁垂直即為直支臂，BO與AO的夾角θ1′，CO與AO的夾角θ2′分別代表上中、中下支臂之間的夾角?？梢宰魅绱说募僭O(shè)：當支鉸中心O點沿支鉸軸線向左側(cè)平移一個距離（即為支臂的水平偏斜距離）到達O1點，分別連接B、A、C與O1點得到BO1、AO1、CO1直線。形成三個直角△BO1O、△AO1O、△CO1O，因為共一個直角短邊且長邊相等，所以，BO1與BO的夾角、AO1與AO的夾角、CO1與CO的夾角均相等，該角即是斜支臂的水平偏斜角α；BO1、AO1、CO1構(gòu)成的面即為三叉斜支臂的中心面。在此情況下，BO1與AO1的夾角θ1，CO1與AO1的夾角θ2分別代表斜支臂上中、中下支臂之間的夾角。

圖1 弧形閘門三叉斜支臂左側(cè)支臂線框簡圖

3.2 斜支臂與直支臂夾角換算關(guān)系

設(shè)定式中：L1、L2-對應(yīng)面板的弧長；θ1、θ2-斜支臂上中、中下支臂之間的夾角；R-弧門面板圓弧半徑；

θ1′、θ2′- 斜支臂上中、中下支臂在側(cè)墻平面投影的夾角，即直支臂上中、中下支臂的夾角。

弧長與角度的計算公式：

斜支臂與直支臂夾角換算公式：

此半角公式可以化為整角公式：

3.3 斜支臂扭角求證

為方便求證，將中支臂所在的平面AOO1置于水平面，在AO合適位置上作該平面的垂線ED，與AO、BO交于D、E點，ED⊥AO，且ED⊥AOO1平面。

過D點作AO1的垂線交于d點，且另一端與OO1的延長線交于F點，dF⊥AO1。再以兩條直線ED和dDF建立一個平面edDFE，該平面與中支臂中心線垂直即為斜支臂后端板與鉸鏈連接的垂直端面，到中心點O1的距離h即為鉸鏈的高度。eEF與dDF直線形成的夾角φ1即為上支臂腹板平面相對中支臂腹板平面的扭角。

因為AO⊥OO1（即O1F），所以△AO1O為直角三角形。又因為dF⊥AO1，所以△O1dF、△DOF同為直角三角形，Rt△AO1O與Rt△O1dF共一個余角，所以∠DFO＝α。

這即是上支臂腹板中線的扭角公式。

同理可以得出下支臂腹板的扭角公式：

對比《規(guī)范》的“6.1.11”公式，可以得出結(jié)論：現(xiàn)行規(guī)范給出的弧門斜支臂扭角計算公式，只適合于V型斜支臂弧門，不能涵蓋采用三叉斜支臂結(jié)構(gòu)的弧形閘門。

3.4 支臂后端板平面上、下支臂與中支臂中心連線夾角的求證

三叉斜支臂上、中、下支臂的三條中線并不在同一個平面內(nèi)。因此，在后端板平面上三個交點的連線同樣不在一條直線上。

圖2 三叉斜支臂弧門左側(cè)支臂線框簡圖后端板處放大圖

圖2是圖1的局部放大圖。平面dDFOO1是三叉斜支臂中支臂構(gòu)成的平面，將其置于水平位置，其中dO1是中支臂中線的一部分。平面edDFE垂直于水平面dDFOO1且與dO1垂直，相對于O1點的距離用h表示。平移該垂面到O1點的距離，當h等于鉸鏈高度再加上斜支臂后端板的厚度時，即是斜支臂后端板所在平面。與上支臂中心平面eO1OFE交于eEF直線，e為上支臂中線在后端板上的交點。ed連線即是后端板平面上、中支臂截面中心的連線。

在后端板平面內(nèi)，水平中心線在dD直線上。過d點作dF的垂線與eEF的延長線交于g點，得到gd直線，即是后端板的垂直中心線。下面求證這幾個平面構(gòu)成的角度關(guān)系。

在△edF中，設(shè)∠deF＝∠4，∠edF＝∠5，根據(jù)正弦定理得：

dF/sin ∠ 4 ＝ ed/sinφ1，

將（6）、（7） 代 入 上 式 得：sin ∠ 4 ＝ sinφ1/（tanθ1×tanα）

∠4＝sin-1[sinφ1/（tanθ1×tanα）]

在△edF中，∠5＝180°-∠4-φ1，∠5即為后端板平面內(nèi)上中支臂中心連線與后端板水平中線的夾角。

又因為gd⊥ dF，∠gde＝∠4+φ1-90°，∠ gde即為后端板平面內(nèi)上中支臂中心連線與后端板垂直中線的夾角。設(shè)定∠gde＝η1則得出如下表達公式：

將此公式命名為：后端板平面內(nèi)，上、中支臂中心連線與后端板垂直中線的夾角公式。同理可以求證出，在后端板平面內(nèi)：下、中支臂中心連線與后端板垂直中線的夾角公式：

上述公式，只是弧形閘門三叉斜支臂扭角計算的一種派生公式。提出這個公式的意義在于，更詳細的說明與V型斜支臂存在的不同之處：在V型斜支臂的后端板平面內(nèi)，該角度與扭角是同一個值；三叉斜支臂則是不同值，也是容易出現(xiàn)錯誤的地方。

4 弧門三叉斜支臂扭角驗算方法

將相關(guān)公式進行歸納，總結(jié)出弧形閘門三叉斜支臂扭角的驗算步驟和方法。

使用的前提條件：弧形閘門采用三叉斜支臂結(jié)構(gòu)類型時，當中支臂作為弧門所受水壓的合力方向，上、中、下支臂與主橫梁水平連接且水平偏斜角相等時，以垂直于中支臂平面且與中支臂中線垂直的面，作為斜支臂后端板與支鉸的分界面，在此種結(jié)構(gòu)狀態(tài)下適用。

三叉斜支臂的構(gòu)造角度（見圖3）：斜支臂水平偏斜角α；上、中支臂之間的夾角θ1，中、下支臂之間的夾角θ2；在支臂后端板平面，上支臂相對于中支臂的扭角φ1，下支臂相對于中支臂的扭角φ2；以及上、中支臂中心連線與后端板垂直中線的夾角η1，下、中支臂中心連線與后端板垂直中線的夾角η2。這四種角度之間存在必然的函數(shù)關(guān)系，使三叉斜支臂結(jié)構(gòu)的相關(guān)尺寸與之對應(yīng)。

圖3 弧形閘門三叉斜支臂結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)定計算公式中：L1、L2-對應(yīng)面板的外緣弧長；θ1、θ2- 斜支臂上中、中下支臂中線的夾角；θ1′、θ2′-斜支臂上中、中下支臂軸線在側(cè)墻平面投影的夾角；η1、η2-上中、下中支臂中心連線與后端板垂直中線的夾角；R-弧門面板外緣半徑，h-面板外弧到支臂前端板距離，L-支鉸跨距，l-支臂前端板跨距。以上角度單位：（°）度，長度、距離單位：（mm）毫米。

（1）基本驗算公式

斜支臂水平偏斜角計算公式：tanα=（L-l）/2（R-h）

面板弧長與斜支臂側(cè)墻面投影的夾角計算公式：L1=θ1′×Rπ/180，L2=θ2′×Rπ/180

斜支臂夾角與側(cè)墻面投影夾角的換算公式：

上述公式，也適用V型斜支臂。

（2）三叉斜支臂扭角計算公式

上支臂腹板中線相對于中支臂腹板中線的扭角公式：tanφ1＝ sinα×tanθ1′；

下支臂腹板中線相對于中支臂腹板中線的扭角公式：tanφ2＝ sinα×tanθ2′。

（3）支臂后端板平面，上、下支臂與中支臂中心連線夾角計算公式

η1、η2是扭角的一種變形，或者說，是同一角度在不同位置的顯示值。在三叉斜支臂的制作和檢測過程中，后者比前者更實用。

5 三叉斜支臂的結(jié)構(gòu)特點

當設(shè)定三支臂水平偏斜角α相同的條件下，三叉斜支臂的上、中、下支臂的中線并不處在同一個平面內(nèi)，而是組成一個圓錐弧面，上中、中下支臂中線分屬于2個平面?？梢赃@樣理解：如果將弧門門葉視作車輪輪圈的一部分，支鉸視作輪箍的話，上、中、下支臂中線可以看作斜向外側(cè)的三根輻條，呈現(xiàn)傘骨狀分布。

圖4是三叉斜支臂的三維線框：如果將中支臂調(diào)整到與上下支臂夾角相等位置：BO1、AO1、CO1分別代表三叉斜支臂的中線，與側(cè)墻的夾角相等；A′O1是上、下支臂的平分線，明顯看出A′O1與AO1并不相同，說明了三叉斜支臂與V型斜支臂兩種結(jié)構(gòu)的不同。

圖4 三叉斜支臂三維線框

如果將中支臂布置到“上、下支臂夾角平分線上”形成三叉斜支臂：會產(chǎn)生中支臂前端跨距不等于上、下支臂；且中支臂長度、水平偏斜角也不相等；如果強制將中支臂移動到水平偏斜角與長度相等，保持原支臂后端板位置不變，又會造成原后端板不垂直于中支臂中線，這樣就違背現(xiàn)行《規(guī)范》“在平分線的垂直剖面上”的條件；如果后端板與中支臂中線保持垂直一起移動，就轉(zhuǎn)化成本文所論述的三叉斜支臂結(jié)構(gòu)類型。

通過以上分析可以認清：所提出的“弧門三叉斜支臂扭角驗算方法”是《規(guī)范》的“6.1.11”條款的延伸與發(fā)展。

6 實施效果檢驗

6.1 原圖紙設(shè)計數(shù)據(jù)

洪都拉斯PATUCAⅢ水電站溢洪道14m×22m×21.5m表孔弧門，是三叉斜支臂弧形閘門。圖紙設(shè)定的斜支臂水平偏斜角a=3.9362°，上中支臂的夾角θ1＝ 15.8036°，中下支臂的夾角θ2＝ 11.1357°，圖紙給出在支臂后端板平面上的扭角φ1=1.1598°，φ2=0.7909°。扭角值為套用規(guī)范“6.1.11條款計算公式”得出，進行計算可以證明。

6.2 圖紙扭角的驗算

對此類型弧形閘門框架結(jié)構(gòu)布局進行分析，符合上述標題“4”驗算方法使用條件，運用總結(jié)的方法加以驗證。不要局限圖紙設(shè)定的角度，在弧門結(jié)構(gòu)中，角度只是表示相互位置，因為角度與尺寸單位誤差的不同，如果水平偏斜角相差0.001°，該弧門斜支臂前端板跨距就會產(chǎn)生0.88mm誤差，這是安裝定位螺栓絕對不允許的。所以，依據(jù)基本尺寸對所有角度進行計算，是得出正確結(jié)論的前提條件。

L=12000mm，l=8537.58mm，h=1840mm，R=27000mm，L1=7465mm，L2=5260mm。代入“本文 4（1）”條公式計算得出：α＝ 3.936205413°（三維軟件自動顯示科學數(shù)據(jù)，為了與實測結(jié)果一致，盡可能保留多位小數(shù)），θ1′＝ 15.841222°，θ2′＝11.16206668°。

將計算得出角度參數(shù)代入上述推出的三叉斜支臂扭角計算公式：

得 出 的 結(jié) 果：φ1＝ 1.115873729°，φ2＝0.776023576°；

繼續(xù)代入上、下支臂與中支臂中心連線夾角計算公式：

得 出 的 結(jié) 果：η1＝ 0.547189252°，η2＝0.384319474°；

6.3 三維模型自然生成的扭角檢測

單憑一個計算結(jié)果，還不足以認定圖紙錯誤。下面采用Autodesk inventor軟件建立弧門斜支臂的三維模型，通過模型在立體空間自然形成的角度加以驗證。詳見圖5和圖6。

圖5 三叉斜支臂三維模型

為了簡化視圖，模型省略了支柱間連接撐桿，加大了支鉸到后端板的距離，省略了斜支臂的褲衩部份，這些改變不會影響角度。通過圖6可以看出三維模型得到的上、下扭角φ1＝1.11587°、φ2＝0.77602°，η1＝ 0.54719°，η2＝ 0.38432°與計算結(jié)果一致?？臻g的立體模型驗證了三叉斜支臂扭角計算公式的正確性。

7 結(jié)語

對三叉斜支臂結(jié)構(gòu)存在的模糊認識，并非簡單的只是個別圖紙錯誤。甚至一些帶有嚴重錯誤的專業(yè)論文在刊物上出現(xiàn)。例如：張峰水庫溢洪道三支臂弧形鋼閘門由山西某地方水利設(shè)計院設(shè)計，同樣出現(xiàn)生硬套用規(guī)范計算斜支臂扭角的現(xiàn)象，論文（百度可以找到）介紹的計算結(jié)果φ＝1.136°；采用本文“驗算求證方法”的計算值是φ＝1.114°。

圖6 三叉斜支臂三維模型后端板投影截屏

該項技術(shù)涉及弧形閘門設(shè)計與制作的基礎(chǔ)理論，以及對規(guī)范條款的理解和澄清。推廣應(yīng)用后能提高行業(yè)技術(shù)水準、減少不必要的設(shè)計錯誤發(fā)生，避免了制造組拼過程中因扭角錯誤造成的返工和材料浪費。鑒于弧門扭角錯誤重復(fù)出現(xiàn)，有必要《規(guī)范》修訂時，將“驗算求證方法”作為補充條款備注。為標準的形成提供了理論準備和資料支持。