張 榮 彬
(德州德工機械有限公司 山東 德州 253000)
經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解類算法能將非線性、非平穩(wěn)信號分解成按照頻率由高到低順序排列的固有模態(tài)函數(shù)的形式,因而當(dāng)信號中含有噪聲成分時利用該方法便可以有效地提取可用信息,從而達到降噪目的[1]。小波降噪在此方面已有舉足輕重的地位,但由于小波方法存在基函數(shù)與分解層數(shù)的選取問題,自適應(yīng)性遠不如經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解算法。浙江大學(xué)的曹沖鋒[2]研究對比了小波方法、EMD方法、EEMD方法在機械振動信號降噪中的應(yīng)用,已經(jīng)證明了小波降噪雖然能抑制干擾信號。但由于算法自身的匹配性問題會造成降噪結(jié)果失真;EMD方法在處理含有噪聲及脈沖干擾時,由于自身的模態(tài)混疊現(xiàn)象嚴重導(dǎo)致降噪不理想;EEMD降噪較小波與EMD降噪效果更佳。后有學(xué)者對經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解類算法在模態(tài)混疊現(xiàn)象方面做了具體研究,發(fā)現(xiàn)EEMD仍存在一定的模態(tài)混頻現(xiàn)象[3-4]?;谝陨涎芯?,本文提出一種利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解類算法中EEMD的改進算法CEEMDAN,能夠減小模態(tài)混疊,從而提高研究的準確性。
通常利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解類方法進行自適應(yīng)濾波時是根據(jù)固有模態(tài)函數(shù)與原始信號的波形相似度來設(shè)計濾波器的,但是該過程中缺乏對濾波器的篩選指標,這樣可能會導(dǎo)致降噪結(jié)果存在一定的偏差。為了解決這一問題,本文提出一種基于CEEMDAN的最優(yōu)平滑降噪算法,該算法可通過參數(shù)調(diào)節(jié)方式設(shè)計性能最優(yōu)的濾波器。
本文將提出的最優(yōu)平滑降噪算法用于轉(zhuǎn)動機械噪聲信號的降噪處理,對于轉(zhuǎn)動機械聲學(xué)故障診斷中信號的預(yù)處理起到實質(zhì)性輔助作用,并通過實驗驗證算法在實際應(yīng)用中的有效性。
EEMD算法中雖然添加了均值為零的高斯白噪聲,但經(jīng)過有限次添加高斯白噪聲后的求平均處理并不能完全消除噪聲,反而會在IMF分量中產(chǎn)生噪聲殘留,因此會導(dǎo)致EEMD算法完備性欠缺,使得信號的重構(gòu)誤差較大;每次處理中加入不同的白噪聲,則會產(chǎn)生不同的IMF分量,且分解余量也是不同的[5-6]。EEMD的缺點可以通過增加算法集成次數(shù)來進行改善,但是這樣做使得計算量激增而帶來處理時間過長等新的問題。
針對EEMD算法存在以上不足,改進的CEEMDAN算法主要有以下兩個優(yōu)點[7]:(1) 與EEMD算法在每次分解中直接對源信號添加白噪聲信號不同,該方法是在求IMF分量的每個階段添加相對應(yīng)的具有自適應(yīng)性能的高斯白噪聲信號,其自適應(yīng)性表現(xiàn)在添加的高斯白噪聲是經(jīng)過EMD分解得到的;(2) 與EEMD算法中最后匯總求平均值得到IMF分量不同,該方法是對第一階段處理后得到的IMF求平均值,并以此獲得具有唯一性的余量,依次進行重復(fù)處理直到信號分解完畢。
改進EEMD算法的具體實現(xiàn)步驟如下:
(1) 假設(shè)源信號為X(t),添加的高斯白噪聲信號為n(t),其中第i次添加的噪聲記為ni(t)。定義Ek(·)是信號經(jīng)EMD分解得到的第k個IMF分量,首次對源信號添加噪聲后進行EMD分解得到首個IMF分量為E1(X(t)+ε0n1(t)),然后實驗進行I次得到I個IMF分量,對第一階段獲得的IMF分量求平均值即可提取出總體第一個IMF分量:
(1)
式中:ε0為噪聲幅值系數(shù)。
(2)
(3) 將r1(t)視為新的源信號,對r1(t)同樣要加入高斯白噪聲信號n(t),此時的噪聲信號是經(jīng)過EMD分解得到的具有自適應(yīng)性的白噪聲E1(ni(t)),為了得到總體的第二個IMF分量,需要對r1(t)+E1(ni(t))實驗I次求平均值:
(3)
(4) 根據(jù)前兩步可以求取其他的IMF分量,即k=2,3,…,K時,第k個剩余信號與總體的第k+1個IMF分量計算如下:
(4)
(5) 按照步驟(4)依次提取IMF分量,直到最后一個剩余量不能再被分解為止,該分解終止條件符合EMD算法終止條件,則最后得到的唯一的殘余量信號為:
(5)
所以,源信號可以表示為:
(6)
由此可見,改進EEMD算法將源信號分解成一系列IMF分量和唯一的余量之和,計算過程中,在求出第一階IMF分量時,用源信號減去這一IMF分量得到剩余量,之后以此類推求取剩余量,這樣就保證了每次添加的噪聲信號不被帶到下一次分解中,使得整個分解過程中不會有噪聲的殘留,這也是該算法比EEMD算法完備性好、重構(gòu)誤差小的原因。在每一階IMF分量的求取過程中,添加的自適應(yīng)性白噪聲幅值可通過系數(shù)εk進行調(diào)整,系數(shù)εk=β0std(rk(t)),k=1,2,…,K,其中:ε0=β0std(X(t))/std(E1(ni(t))),β0一般取0.2;std表示計算標準差。
圖1給出了CEEMDAN算法的流程。
圖1 CEEMDAN算法流程
利用CEEMDAN算法可將含噪信號表示成IMF分量加余量的形式,選擇不同頻段的IMF分量可以構(gòu)造低通、高通和帶通濾波器。
構(gòu)造低通濾波器,表達式為:
(7)
構(gòu)造高通濾波器,表達式為:
(8)
構(gòu)造帶通濾波器,表達式為:
(9)
式中:j為濾波器上截止參數(shù);i為濾波器下截止參數(shù);k為IMF分量個數(shù)(不含余量)。
首先需要對降噪前后信號建立算法評價指標。將均方根誤差作為第一個指標,以衡量降噪信號與原始信號之間的偏差大小,計算式表示為:
(10)
均方根誤差表征了降噪信號在原始信號曲線上下方向的波動程度。均方根誤差越小,則表明降噪結(jié)果偏離原始信號程度越小。
考慮到降噪信號在原始信號曲線左右方向的延遲情況,定義相關(guān)誤差指標作為算法的第二個指標,計算式表示為:
(11)
式中:Cov為計算協(xié)方差;D為計算方差。
根據(jù)統(tǒng)計學(xué)理論,ρ*的值越接近于零,則表明降噪后信號與原始信號線性相關(guān)度越好,兩者波形越接近。
對于降噪后的信號,還需要其具有良好的平滑性,根據(jù)曲率與二階導(dǎo)數(shù)公式可以定義曲線f(x)上x0點的平滑度指標如下[8-9]:
SI=f(x0+2h)-f(x0-2h)-
2[f(x0+h)-f(x0-h)]
(12)
式中:h為采樣步長,曲線在某點的平滑度值越接近零時表明曲線在該點的彎折越小,越平緩。曲線f(x)上所有點的平滑度SI就構(gòu)成了f(x)整體的平滑度,求每一個濾波器構(gòu)成的曲線的平滑度,所有濾波器的平滑度組合為整個降噪算法的平滑度,記為SMSE。
以上三個降噪評價指標均是其值越接近于零時表明降噪效果越好,因此,建立最優(yōu)平滑降噪算法的目標函數(shù)如下:
min{f}=min{αRMSE+βρ*+(1-α-β)SMSE}
(13)
式中:α為均方根誤差指標權(quán)重系數(shù);β為相關(guān)誤差指標權(quán)重系數(shù);1-α-β為平滑度指標權(quán)重系數(shù)。
計算目標函數(shù)時,為了使三個降噪評價指標地位相當(dāng),需要先對其進行歸一化處理。在降噪過程中可以通過調(diào)節(jié)這三個參數(shù)篩選最優(yōu)算法。
根據(jù)轉(zhuǎn)動電機啟動時聲音信號的特點,構(gòu)造調(diào)頻調(diào)幅信號x(t)如下:
x(t)=(1+0.5sin(5πt))sin(30πt2+10πt)
(14)
對調(diào)幅調(diào)頻信號x(t)加上信噪比為15 dB的高斯白噪聲信號與幅值為3.5、-2.5和2的脈沖信號(如圖2所示),經(jīng)計算混合信號的信噪比為11.609 1 dB,對混合信號采用最優(yōu)平滑降噪算法進行降噪處理?;旌闲盘柦?jīng)CEEMDAN算法分解得到9個IMF分量與1個余量Rs,根據(jù)得到的固有模態(tài)函數(shù)構(gòu)造低通濾波器EIMF1-EIMF9,其中EIMF1表示除去第一個IMF外構(gòu)造的低通濾波器,其余降噪算法也如此表示。算法權(quán)重系數(shù)α、β和1-α-β的取值,目標函數(shù)的最小值及對應(yīng)的最優(yōu)平滑降噪算法如表1所示。
圖2 波形圖及時頻譜圖
表1 權(quán)重系數(shù)、目標函數(shù)f最小值及最優(yōu)平滑降噪算法
根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可知,當(dāng)算法權(quán)重系數(shù)α、β和1-α-β三個值在較大范圍內(nèi)變化時,構(gòu)造的低通濾波器算法EIMF1-EIMF9中,算法EIMF4是最優(yōu)的。其中α、β綜合表征降噪信號與原始信號的相似性程度,與平滑度表征值1-α-β是相互矛盾的關(guān)系,在實際應(yīng)用該最優(yōu)降噪算法時,考慮三個權(quán)重系數(shù)的意義,可以折中取值。根據(jù)分析,取三個權(quán)重系數(shù)分別為(0.3,0.3,0.4),對應(yīng)的相關(guān)分析結(jié)果如圖3和表2所示。
圖3 算法均方根誤差、相關(guān)誤差、平滑度及目標函數(shù)值分布曲線
表2 算法均方根誤差、相關(guān)誤差、平滑度和目標函數(shù)數(shù)據(jù)
根據(jù)以上分析,EIMF4是最優(yōu)的平滑降噪算法,其次是算法EIMF5和EIMF3。對EIMF3-EIMF5算法及函數(shù)值為排名第四低的EIMF6算法降噪效果進行對比,如圖4所示。
圖4 降噪效果對比圖
圖4中細的曲線是含噪原始信號的波形,粗的曲線是對應(yīng)降噪后的信號波形。可以看出,EIMF4算法降噪后的波形在相似度和平滑度方面均較其他降噪算法效果好;EIMF3算法雖然曲線的相似度很高,但是在處理脈沖信號時不理想;EIMF5算法平滑性很好,但是在信號高頻處相似度保持得不好,降噪過度了;EIMF6算法很明顯降噪過度,效果最差。
將最優(yōu)平滑降噪算法EIMF4處理前后信號的波形與時頻譜進行對比,結(jié)果如圖5所示。
圖5 EIMF4算法降噪前后波形圖及時頻譜圖
三種降噪算法的性能指標如表3所示。
表3 不同濾波器算法降噪效果指標對比
可以看出,濾波器算法降噪效果指標中,信噪比、相關(guān)系數(shù)越大越好,含噪信號與降噪誤差比、均方根誤差越小越好。因此,通過對三個降噪濾波器進行定量分析,也可得出篩選出的濾波器EIMF4的降噪性能最優(yōu)。
上述實驗仿真案例驗證了本文算法處理含噪模擬信號時,在篩選最優(yōu)濾波器方面具有一定的優(yōu)越性,并且能達到很好的降噪目的。下面對實際采集的轉(zhuǎn)動電機聲信號進行降噪處理,驗證本文方法處理實際問題的可行性。
實驗中電動機的額定轉(zhuǎn)速為1 400 r/min,運行頻率為50 Hz,電動機輻射聲采樣頻率為44.1 kHz,采樣時間為1 s。對實測信號經(jīng)CEEMDAN算法分解得到11個IMF分量與一個余量Rs,根據(jù)得到的固有模態(tài)函數(shù)構(gòu)造帶通濾波器EIMF1-EIMF11。按照前述方法調(diào)整權(quán)重系數(shù)得到最優(yōu)平滑降噪EIMF6算法,實測電機聲音信號降噪前后效果如圖6所示。
圖6 EIMF6算法降噪前后波形圖及時頻譜圖
可以看出,降噪后的信號波形圖及時頻譜圖均較原始信號有了明顯改善,降噪效果較好。經(jīng)計算,降噪后信號與原始信號相關(guān)度為0.967 7,均方根誤差為0.001 3,這說明本文方法針對實際轉(zhuǎn)動機械聲音信號降噪處理效果良好。
本文提出一種基于CEEMDAN算法的最優(yōu)平滑降噪算法,給出算法的具體實現(xiàn)過程,并通過模擬信號與實際信號對本文算法進行實驗驗證。實驗結(jié)果表明本文算法的有效性,解決了利用模態(tài)分解類算法進行自適應(yīng)濾波時濾波器缺乏篩選指標的問題,從而進一步降低了該類算法的降噪偏差。同時以轉(zhuǎn)動機械聲音信號為研究對象,為轉(zhuǎn)動機械聲學(xué)故障診斷提供幫助。