設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)展理性思維
——以“三角形中邊與角之間的不等關(guān)系”為例

浙江省臨海市外國(guó)語學(xué)校 陳靈寶

新課標(biāo)提出了指向?qū)W生終身發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維的養(yǎng)成。初中是學(xué)生構(gòu)建抽象數(shù)學(xué)知識(shí)體系的關(guān)鍵時(shí)期，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成至關(guān)重要。本文即以人教版八年級(jí)上冊(cè)《軸對(duì)稱》一章中的“三角形中邊與角的不等關(guān)系”實(shí)驗(yàn)教學(xué)為例，探討分析如何通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，一步步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性的數(shù)學(xué)知識(shí)推理和應(yīng)用。

一、教材和學(xué)情分析

1.教學(xué)目標(biāo)

通過動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)三角形邊與角之間的不等關(guān)系進(jìn)行探索分析；巧妙利用三角形知識(shí)進(jìn)行猜想和推理，形成整體意識(shí)；總結(jié)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)幾何空間模型；學(xué)用結(jié)合，發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理性思維。

2.教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角形邊與角的不等關(guān)系的探索、歸納與應(yīng)用。

難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生利用三角形知識(shí)進(jìn)行邊、角的大小比較，用實(shí)驗(yàn)法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思維。

3.學(xué)情分析

本節(jié)課包含在《等腰三角形》實(shí)驗(yàn)探究環(huán)節(jié)中，承接軸對(duì)稱和等腰三角形知識(shí)。學(xué)生通過《三角形》《等腰三角形》兩章，對(duì)三角形的數(shù)學(xué)關(guān)系已有理解。本次的實(shí)驗(yàn)探究與軸對(duì)稱全等、角關(guān)系、線段等基礎(chǔ)知識(shí)一脈相通。本節(jié)課采用趣味性的實(shí)驗(yàn)探究法，激發(fā)學(xué)生動(dòng)手操作能力，手腦并用，開發(fā)初中生個(gè)性化的數(shù)學(xué)思維。

二、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)具體方法

數(shù)學(xué)理性意識(shí)與核心素養(yǎng)息息相關(guān)，是指用數(shù)學(xué)眼光觀察、分析、推理、抽象的思維方法。幫助學(xué)生開發(fā)數(shù)學(xué)理性思維智力，可以使學(xué)生進(jìn)行綜合思考，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)。

1.探索型實(shí)驗(yàn)策略——指向抽象邏輯思維

抽象邏輯思維是理性的集中體現(xiàn)，初中生需要在具體的實(shí)驗(yàn)中化具體為抽象，不斷訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)思維，將觀察所得用理性的數(shù)學(xué)方式進(jìn)行推理和表達(dá)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

【片段1】初步實(shí)驗(yàn)，探索新知

師：上節(jié)課所學(xué)的“等邊對(duì)等角”適用于哪類三角形？

眾生：等邊三角形和等腰三角形。

師：那么在邊長(zhǎng)各不相等的三角形中，邊和角又具有怎樣奇妙的規(guī)律呢？請(qǐng)同學(xué)們剪一剪這類三角形并標(biāo)注字母。

師：請(qǐng)同學(xué)們挑出AB＞AC的三角形，如圖1，可以看出∠B與∠C的關(guān)系嗎？

圖1

生1：看起來∠C>∠B。

生2：有些模糊，感覺兩角差別不大。

師：既然我們用肉眼觀察產(chǎn)生了分歧，那現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們親自動(dòng)手做一做，看看能否找到比較兩角大小的方法。

生3：我 通 過 對(duì) 折 使AC與AB重 合，更 明 顯 地 觀 察 到∠C>∠B。

師：大家差不多都觀察到∠C>∠B，那么我們不妨將其作為數(shù)學(xué)設(shè)想，你能用邊角相等和內(nèi)角關(guān)系證明它嗎？

生3：用軸對(duì)稱推理。通過對(duì)折，我發(fā)現(xiàn)原三角形出現(xiàn)了全等三角形。

師：直接推理嗎？三角形中如何出現(xiàn)其他三角形？

生3：不，作輔助線，如圖2，在AB上截取AE=AC，從A點(diǎn)出發(fā)作角平分線交BC于D，連接ED就可得出全等三角形。

師：很好，你作了兩條輔助線，還有同學(xué)有新的想法嗎？

生4：也可以繞過作角平分線這一步，如圖3，直接將點(diǎn)E與點(diǎn)C相連作輔助線，形成等腰三角形，用補(bǔ)角關(guān)系仍然可以推理出∠ACB>∠B。

圖3

生5：如圖4，還可以在BC上找一點(diǎn)F，使得AF=AC，然后推理。

圖4

設(shè)計(jì)分析：片段1的教學(xué)注重在實(shí)驗(yàn)中引導(dǎo)學(xué)生利用之前所學(xué)進(jìn)行新知識(shí)的探索，教師處在引導(dǎo)地位，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)體系觀念，將動(dòng)手操作所得轉(zhuǎn)化為抽象的輔助線、內(nèi)角補(bǔ)角關(guān)系等知識(shí)，從而形成理性思維。

2.遷移型實(shí)驗(yàn)策略——指向數(shù)學(xué)建模意識(shí)

數(shù)學(xué)建模立足于現(xiàn)代建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)知與構(gòu)建，將數(shù)學(xué)解題方法上升為普遍性的規(guī)律，采用“公式、遷移、變式”等形式，將已經(jīng)構(gòu)建起的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行模型式的創(chuàng)新運(yùn)用。

【片段2】再次實(shí)驗(yàn)，遷移知識(shí)

師：我們?cè)購(gòu)囊呀?jīng)剪好的三角形中挑出另外一個(gè)∠B＞∠C的三角形，如圖5。經(jīng)過之前的推理，我們已經(jīng)得出了“大邊對(duì)大角”的定理，那么我們能肯定大角一定對(duì)大邊嗎？

圖5

眾生：不能!這是主觀猜測(cè)，沒有經(jīng)過上述推理證明。

師：我們之前的證明用了何種方法？

眾生：用輔助線分割三角形。

師：請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行小組交流，探討如何通過作輔助線的方式來分析大角是否對(duì)大邊。

設(shè)計(jì)分析：讓學(xué)生在體會(huì)“變與不變”之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，形成科學(xué)理性的建模思維，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)模型不是死記硬背、生搬硬套，而是根據(jù)具體的問題具體分析，進(jìn)行模型的細(xì)節(jié)變式，從而有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)探索。

3.歸納型實(shí)驗(yàn)策略——指向推理創(chuàng)新意識(shí)

推理和創(chuàng)新是基于數(shù)學(xué)理性的個(gè)性化發(fā)展，即學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行拓展性推理、靈活思考，在細(xì)致的觀察和實(shí)驗(yàn)中獨(dú)立地進(jìn)行知識(shí)的創(chuàng)新運(yùn)用，以實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)理性思維的提高。

【片段3】觀察推理，學(xué)會(huì)創(chuàng)新

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)通過推理知道了“大邊對(duì)大角”“大角對(duì)大邊”的定理，現(xiàn)在你們也是一名小小的教師了!大家手中有許多已經(jīng)制作好的三角形，請(qǐng)你運(yùn)用這兩個(gè)定理去描述你手中的三角形吧！

生1：根據(jù)“大邊對(duì)大角”原理，在△ABC中，如果BC>AB>AC，那么∠A>∠C>∠B。

生2：我還發(fā)現(xiàn)了如果三角形最長(zhǎng)的邊所對(duì)的角是銳角，那么這個(gè)三角形一定是銳角三角形，也是應(yīng)用“大邊對(duì)大角”的原理。

設(shè)計(jì)分析：在實(shí)驗(yàn)中肯定學(xué)生的價(jià)值，幫助其樹立自信心，這種實(shí)驗(yàn)探索方式可以讓學(xué)生大膽地進(jìn)行個(gè)性化的觀察和知識(shí)延伸，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生自己的科學(xué)理解，并且促進(jìn)學(xué)生基于數(shù)學(xué)理論進(jìn)行深層的數(shù)學(xué)創(chuàng)新。

4.應(yīng)用型實(shí)驗(yàn)策略——指向理性應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是數(shù)學(xué)學(xué)科工具性價(jià)值的體現(xiàn)，學(xué)習(xí)的最終目的在于合理運(yùn)用。要想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，不能只依靠實(shí)驗(yàn)進(jìn)行知識(shí)傳授、抽象記憶，而是要適當(dāng)擴(kuò)展，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。

【片段4】實(shí)例應(yīng)用，理性思考

師：請(qǐng)同學(xué)們剪一個(gè)如圖6所示的直角三角形，這是一個(gè)特殊三角形，它的哪條邊最長(zhǎng)呢？

圖6

師：通過觀察實(shí)驗(yàn)、結(jié)合知識(shí)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)哪條邊最長(zhǎng)了嗎？

眾生：斜邊。

師：為何是斜邊呢？你的理由是？

生1：因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°，直角是90°，所以直角三角形內(nèi)直角最大，它所對(duì)的邊，也就是斜邊，肯定也最大。

生3補(bǔ)充：這是大角對(duì)大邊原理。

師：還有別的方法嗎？斜邊和直角邊還有什么關(guān)系？

生2：兩點(diǎn)之間，線段最短。

師：很好，這是我們學(xué)習(xí)線段時(shí)用到的知識(shí)點(diǎn)，在直角三角形中也適用。同學(xué)們拿起自己手中的直角三角形，以頂點(diǎn)為中心，仔細(xì)觀察三邊關(guān)系，你可以推理出“斜邊最長(zhǎng)”的定理嗎？

設(shè)計(jì)分析：片段4仍然采用實(shí)驗(yàn)法策略，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)進(jìn)行知識(shí)的推理和應(yīng)用探索，更加注重學(xué)生知識(shí)的構(gòu)建和獨(dú)立的數(shù)學(xué)應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)應(yīng)用過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的鍛煉和提升，掌握理性的數(shù)學(xué)推理方法。

三、設(shè)計(jì)反思

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)該具有連續(xù)性、趣味性和開放性，以興趣激發(fā)學(xué)生的好奇心為基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性化數(shù)學(xué)思考。教師結(jié)合實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行有目的的開放性引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生的有效參與，把更多的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，使學(xué)生在逐層深入的實(shí)驗(yàn)探索中進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、建模和空間符號(hào)抽象，內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，通過有意義的實(shí)驗(yàn)真正提高初中生的數(shù)學(xué)理性思維。