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    一類(lèi)食餌具有Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型的分歧解

    2021-06-19 07:54:36李艷玲
    關(guān)鍵詞:食餌定理局部

    曹 倩, 李艷玲

    (1- 長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院,西安 710064; 2- 陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710119)

    1 引言

    Allee 效應(yīng)指的是種群密度低時(shí),種群?jiǎn)挝辉鲩L(zhǎng)率和種群密度之間正相關(guān),該效應(yīng)是當(dāng)前反應(yīng)擴(kuò)散模型研究中的熱點(diǎn)問(wèn)題.近年來(lái),許多實(shí)驗(yàn)表明物種存在雙Allee 效應(yīng),例如,一種瀕臨滅絕的物種—島嶼灰狐,它們?cè)a(chǎn)于美國(guó)加利福尼亞州海峽群島的六個(gè)島嶼.金雕的捕食是幼年和成年島嶼灰狐的主要威脅.此外,它們?cè)谖锓N密度較低的情況下,雌性繁殖的可能性降低,這是由于雌性懷孕前缺乏配偶以及很難找到新的配偶.因此,島嶼灰狐的生長(zhǎng)速度受到雙Allee 效應(yīng)的影響(繁殖困難帶來(lái)的Allee 效應(yīng)和捕食驅(qū)動(dòng)的Allee 效應(yīng)).在海洋生態(tài)系統(tǒng)中也存在雙Allee 效應(yīng)[1].然而,形成雙Allee 效應(yīng)的機(jī)制有很多,雙Allee 效應(yīng)對(duì)生物多樣性保護(hù)很重要并且給系統(tǒng)帶來(lái)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,因此研究雙Allee 效應(yīng)是十分必要的.本文研究如下食餌帶有雙Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型

    圖1 弱Allee 效應(yīng)和強(qiáng)Allee 效應(yīng)定義的圖示

    近幾十年來(lái),很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)捕食-食餌型模型進(jìn)行了廣泛的研究[2–14],其中文獻(xiàn)[2]研究了在齊次Dirichlet 邊界條件下一類(lèi)具有強(qiáng)Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型共存解的存在性.文獻(xiàn)[3]研究了一類(lèi)具有脈沖擾動(dòng)的隨機(jī)捕食-食餌系統(tǒng)的周期解和平穩(wěn)分布.文獻(xiàn)[4,5]分別研究了帶有加法Allee 效應(yīng)和乘法Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型共存解的惟一性和多解性.然而在齊次Neumann 邊界條件下帶有雙Allee 效應(yīng)的擴(kuò)散捕食-食餌模型的研究很少見(jiàn).因此,本文主要研究系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)平衡態(tài)系統(tǒng)的分歧解的存在性.下面考慮系統(tǒng)(1)相應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)

    2 穩(wěn)定性分析

    本節(jié)利用穩(wěn)定性理論分別研究強(qiáng)Allee 效應(yīng)和弱Allee 效應(yīng)情形下系統(tǒng)(2)常數(shù)解的穩(wěn)定性.這對(duì)后面分歧解的研究有著重要作用.

    首先,我們研究強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0<β <1)的情形.此時(shí),系統(tǒng)(2)有四個(gè)常數(shù)解:平凡解(0,0),半平凡解(1,0)和(β,0),唯一的正常數(shù)解(θ,vθ),其中

    當(dāng)且僅當(dāng)β <θ <1 時(shí),正常數(shù)解(θ,vθ)存在.

    為了記號(hào)簡(jiǎn)單,我們記u=(u,v)和

    下面我們得到G(u)在u*=(u*,v*)處的線性化

    其中

    假設(shè){λn}是-Δ 在齊次Neumann 邊界條件下的一列可列特征值,滿(mǎn)足0 =λ0<λ1<λ2<··· <λj <···.設(shè)mj是λj(j= 0,1,2,···)的代數(shù)重?cái)?shù)并且φjk(1≤k ≤mj)為λj對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù).下面定義

    容易得到

    下面將系統(tǒng)(2)在u*處線性化

    其中

    下面記

    其中A(u*,v*), B(u*,v*), C(u*,v*)和D(u*,v*)如上所述.

    假設(shè)(Φ(x),Ψ(x))是L算子相應(yīng)于特征值μ的特征函數(shù).那么有

    則可得到

    因此,我們知道當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)j ≥0,使得矩陣μI-Jj的行列式等于0,即

    其中

    因此,類(lèi)似于文獻(xiàn)[15],我們有以下結(jié)論:

    (i)

    顯而易見(jiàn),(0,0)局部漸近穩(wěn)定.

    (ii)

    顯而易見(jiàn),(β,0)不穩(wěn)定.

    (iii)

    當(dāng)θ >1 時(shí),我們得到tr(Ji)<0 和det(Ji)>0(i ≥0).因此,(1,0)局部漸近穩(wěn)定;

    當(dāng)0<θ <1 時(shí),我們得到

    所以(1,0)不穩(wěn)定.

    (iv)

    其中

    那么A(θ) = 0 等價(jià)于f1(θ) = 0.由f1(θ)的表達(dá)式知,當(dāng)θ ∈(-α,+∞)時(shí),f1(θ)單調(diào)遞減,所以f1(θ)在θ ∈(β,1)?(-α,+∞)時(shí)單調(diào)遞減.此外

    那么存在唯一的

    使得

    (a) 當(dāng)β <θ*<θ <1 時(shí),我們得到tr(Ji)<0 和det(Ji)>0(i ≥0).因此(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定.

    (b) 當(dāng)β <θ <θ*<1 時(shí),我們得到A(θ)>0.對(duì)于i=0,我們有tr(J0)>0,這說(shuō)明(5)至少有一個(gè)有正實(shí)部的根.因此(θ,vθ)不穩(wěn)定.

    綜上可得下面的定理,給出強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0<β <1)情形下常數(shù)平衡解(0,0),(β,0),(1,0)和(θ,vθ)的穩(wěn)定性.

    定理1 假設(shè)du, dv, α, δ >0,0<β <1.那么有下列結(jié)論:

    (i) 當(dāng)θ >0 時(shí),(0,0)局部漸近穩(wěn)定;

    (ii) 當(dāng)θ >0 時(shí),(β,0)不穩(wěn)定;

    (iii) 當(dāng)θ >1 時(shí),(1,0)局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)0<θ <1 時(shí),(1,0)不穩(wěn)定;

    (b) 當(dāng)β <θ*<θ <1 時(shí),(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定.

    接下來(lái),我們考慮弱Allee 效應(yīng)(-1<β <0)的情形,此時(shí)系統(tǒng)(2)有平凡解(0,0),半平凡解(1,0)和唯一正常數(shù)解(θ,vθ),其中當(dāng)且僅當(dāng)0<λ <1 時(shí),(θ,vθ)存在.下面我們研究這些常數(shù)解的穩(wěn)定性,下述穩(wěn)定性定理證明與定理1 類(lèi)似,此處定理證明省略.

    定理2 假設(shè)du, dv, α, δ >0,-1<β <0.那么下述結(jié)論成立:

    (i) 當(dāng)θ >0 時(shí),(0,0)不穩(wěn)定;

    (ii) 當(dāng)0<θ <1 時(shí),(1,0)不穩(wěn)定;當(dāng)θ >1 時(shí),(1,0)局部漸近穩(wěn)定;

    (iii) 如果

    那么(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定.

    3 分歧解的存在性

    這一節(jié),我們分別對(duì)強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0<β <1)和弱Allee 效應(yīng)(-1<β <0)的分歧解進(jìn)行分析.我們以du為分歧參數(shù),并利用局部分歧理論研究正常數(shù)解(θ,vθ)鄰域上局部分歧解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).當(dāng)研究Ω=(0,l)時(shí),系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的如下橢圓系統(tǒng)

    下面,我們考慮特征值問(wèn)題

    這個(gè)特征值問(wèn)題有一系列簡(jiǎn)單特征值

    和相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù)

    顯然,這些特征函數(shù)構(gòu)成L2(0,l)上一組正交基.

    并把S看做具有C2(Ω)范數(shù)的Banach 空間.易知系統(tǒng)(7)的解是映射?F: (0,∞)×S →Y的零點(diǎn),所以

    對(duì)某個(gè)τ >0,如果?F(τ,(θ,vθ))在(0,∞)×S上的鄰域包含不同于(du,(θ,vθ))(du >0)的零點(diǎn),那么(τ,(θ,vθ))為方程?F= 0 的分歧點(diǎn).根據(jù)文獻(xiàn)[16]的定理1.7,如果下述條件成立,則(τ,(θ,vθ))為方程?F=0 的分歧點(diǎn).

    綜上,我們得到下述強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0<β <1)情形下的局部分歧結(jié)論.

    定理3 假設(shè)

    和當(dāng)k/=j時(shí),dj/=dk,那么(dj,(θ,vθ))是?F= 0 的一個(gè)分歧點(diǎn).并且,當(dāng)|s|足夠小時(shí),系統(tǒng)(2)有一個(gè)單參數(shù)的非常數(shù)解Γj(s)=(du(s),u(s),v(s)),其中和du(0)=dj.此外,du(s), u(s), v(s)是關(guān)于s連續(xù)可微的函數(shù).

    證明 考慮?F(du,u)關(guān)于u 在正常數(shù)解(θ,vθ)處的Fr′echet 導(dǎo)數(shù)及?Fu(du,(θ,vθ))的伴隨算子

    其中

    由此可得

    取du=dj,則有

    所以,我們得到

    因此條件(b)成立.

    最后,因?yàn)?/p>

    我們得到

    所以條件(c)成立.

    類(lèi)似于定理3 的證明方法,我們可以證明弱Allee 效應(yīng)(-1<β <0)情形下的局部分歧結(jié)論.此處證明過(guò)程省略.

    定理4 假設(shè)

    和當(dāng)k/=j時(shí),dj/=dk,那么(dj,(θ,vθ))是?F= 0 的一個(gè)分歧點(diǎn).并且,當(dāng)|s|足夠小時(shí),系統(tǒng)(2)有一個(gè)單參數(shù)的非常數(shù)解Γj(s)=(du(s),u(s),v(s)),其中

    和du(0)=dj.此外,du(s), u(s), v(s)是關(guān)于s連續(xù)可微的函數(shù).

    4 數(shù)值模擬

    本節(jié)利用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,用以驗(yàn)證前面的理論分析.這里研究強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0<β <1)的情況.弱Allee 效應(yīng)情形可以用類(lèi)似的方法研究.

    圖2 中的參數(shù)選取α=1, β=0.2, δ=3, θ=0.4, l=3, t=2000,此時(shí)

    圖3 中的參數(shù)選取α=1, β=0.2, δ=3, θ=0.8, l=3, t=2000.此時(shí)

    圖2 和圖3 驗(yàn)證了定理1 和定理3:強(qiáng)Allee 情形下,存在一個(gè)臨界值θ*,使得當(dāng)θ ∈(θ*,1)時(shí),(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定;而當(dāng)θ ∈(β,θ*)時(shí),(θ,vθ)不穩(wěn)定,此時(shí)系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)非常數(shù)正解.

    圖3 λ >λ*時(shí),系統(tǒng)(1)共存解(u,v)的時(shí)空?qǐng)D和系統(tǒng)(1)在t=2000 時(shí),共存解(u,v)的空間分布

    圖2 λ <λ*時(shí),系統(tǒng)(1)共存解(u,v)的時(shí)空?qǐng)D和系統(tǒng)(1)在t=2000 時(shí),共存解(u,v)的空間分布

    5 結(jié)語(yǔ)

    本文主要運(yùn)用穩(wěn)定性理論和局部分歧理論研究了一類(lèi)食餌具有雙Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型,得到了該模型常數(shù)解的穩(wěn)定性、分歧解的存在性和分歧解的性質(zhì).結(jié)果表明,當(dāng)

    和當(dāng)k/=j時(shí),dj/=dk,那么(dj,(θ,vθ))是?F=0 的一個(gè)分歧點(diǎn);當(dāng)

    和當(dāng)k/=j時(shí),dj/=dk,那么(dj,(θ,vθ))是?F=0 的一個(gè)分歧點(diǎn).

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